ogólna forma prostej
teraz, gdy omówiłem wszystkie formy równań linii prostej (z wyjątkiem jednej), spójrzmy na ogólną postać równania linii prostej.
to znaczy, jakie równanie reprezentowałoby linię prostą? A jaki Nie?
mogą być różne równania, takie jak:
x + 5Y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
które z nich reprezentowałby linię prostą?, A które z nich nie będzie?
twierdzę, że równanie postaci Ax + przez + C = 0 będzie reprezentować linię prostą. Tutaj A, B, C są dowolnymi stałymi(A i B nie mogą być jednocześnie 0), a x i y są zmiennymi (które reprezentują współrzędne punktów w linii).
oto dowód (nieco).
Załóżmy, że B ≠ 0, a następnie po podzieleniu równania przez B i przestawianiu terminów otrzymujemy
y = (-a/B)x + (-C/B)
umieszczając-A/B = M I-C/B = C, powyższe równanie staje się
y = mx + c
wygląda znajomo.,
w przypadku B = 0, wtedy równanie Ax + By + C = 0 stanie się
x = -C/a
przedstawia linię równoległą do osi Y (wyjaśnione tutaj).
Podobnie, jeśli A = 0, to równanie Ax + By + C = 0 stanie się
y = -c/B
przedstawia linię równoległą do osi X (wyjaśnione tutaj).
w każdym przypadku równanie Ax + przez + C = 0 przedstawiało linię prostą.
ale co by było, gdybyśmy wcześniej nie wyprowadzali tych równań? Dam jeszcze jeden dowód.,
chodzi o udowodnienie, że dowolne trzy punkty na krzywej reprezentowanej przez Ax + przez + C = 0 są kolinearne. Bo jeśli tak, to ta krzywa może być niczym innym jak linią!
niech P(x1, y1) i Q (x2, y2) i R(x3, y3) będą dowolnymi trzema punktami na krzywej, których równanie wynosi Ax + przez + C = 0.
wtedy współrzędne tych trzech punktów muszą spełniać równanie. Otrzymujemy następujące trzy relacje.,
Ax1 + By1 + C = 0 … I
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
, jeśli te relacje są prawdziwe, to punkty muszą być kolinearne. Spróbujmy to udowodnić.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
podobnie, po odjęciu II od III, otrzymujemy
(y3 – y2)/(x3 – x2) = a/b … v
z IV i v otrzymamy
(Y2 – Y1)/(x2 – x1) = (Y3 – Y2)/(x3 – x2)
to, po przestawianiu, daje
X1(Y2 – Y3) + x2(y3 – Y1) + X3(y1 – Y2) = 0
wreszcie, po podzieleniu tego przez 2, otrzymujemy
1/2 = 0
oznacza to, że obszar trójkąta PQR wynosi 0, dowodząc, że punkty są kolinearne., (Wcześniej robiliśmy coś takiego.)
i gotowe! Zdobyliśmy 3 losowe punkty na zakręcie i udowodniliśmy, że te 3 punkty są koliniowe. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy krzywa jest linią. Zatem równanie Ax + przez + C = 0 musi reprezentować linię.
Phew! To może być dla Ciebie zbyt skomplikowane. Przeczytaj jeszcze raz, a potem jeszcze raz. Będzie lepiej. Do tego czasu, oto Symulacja dla Ciebie, gdzie można zobaczyć wykres równania Ax + przez + C = 0.,
możesz przeciągnąć trzy suwaki i obserwować wykres-zawsze jest to linia prosta (z wyjątkiem sytuacji, gdy zarówno A, jak i B są równe 0). Obserwuj również, co się dzieje, gdy jeden z A, B lub C staje się 0. Zauważyłeś coś wyjątkowego?
podsumowanie lekcji
dowolne równanie postaci Ax + przez + C = 0 (tj. równanie liniowe w jednej lub dwóch zmiennych), będzie reprezentować linię prostą na płaszczyźnie XY, gdzie A i B nie powinny być zarówno zerem.
następna lekcja mówi o relacji między dwoma równaniami reprezentującymi tę samą linię. Do zobaczenia!