forma General de una línea recta
ahora que he cubierto todas las formas de las ecuaciones de línea recta (excepto una), veamos la forma general de la ecuación de la línea recta.
es decir, ¿qué tipo de ecuación representaría una línea recta? ¿Y qué tipo no lo haría?
puede haber todo tipo de ecuaciones, como las siguientes:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
lo Que representa una línea recta?, ¿Y cuál de ellos no lo hará?
reclamo que una ecuación de la forma Ax + por + C = 0, representará una línea recta. Aquí A, B, C son constantes arbitrarias (A y B no pueden ser ambos 0), y x E y son variables (que representan las coordenadas de los puntos en la línea).
Aquí hay una prueba (algo).
Supongamos que B ≠ 0, entonces al dividir la ecuación por B y reordenando los términos obtenemos
y = (A/B)x + (-B/a)
Por poner -A/B = m-C/B = c, la ecuación anterior se convierte en
y = mx + c
Esto parece familiar.,
en el caso B = 0, entonces la ecuación Ax + por + C = 0 se convertirá en
x = – C/a
esto representa una línea paralela al eje y (explicado aquí).
del mismo modo, si A = 0, entonces la ecuación Ax + por + C = 0 se convertirá en
y = -C/b
esto representa una línea paralela al eje X (explicado aquí).
en cada caso, la ecuación Ax + por + C = 0 representa una línea recta.
pero ¿y si no hubiéramos derivado estas ecuaciones previamente? Le daré una prueba más.,
la idea es probar que cualquier tres puntos tomados en la curva representada por Ax + por + C = 0 son colineales. Porque si lo son, entonces esa curva no puede ser más que una línea!
Sea P(x1, y1) y Q(x2, y2) y R(x3, y3) cualquier tres puntos en la curva cuya ecuación es Ax + por + C = 0.
Entonces las coordenadas de estos tres puntos deben satisfacer la ecuación. Tenemos las siguientes tres relaciones.,
Ax1 + By1 + C = 0 … I
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
Ahora, el objetivo es demostrar que, si estas relaciones son ciertas, a continuación, los puntos deben ser colineales. Intentemos demostrarlo.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
del mismo modo, después de restar II de III, obtenemos
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B V …
a partir De IV y V, se obtendrá
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Esta, en la reorganización, da
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
por último, en la división de este por 2, obtenemos
1/2 = 0
Esto significa que el área del triángulo PQR es igual a 0, lo que prueba que los puntos son colineales., (Hemos hecho algo como esto anteriormente.)
y hemos terminado! Tomamos 3 puntos aleatorios en la curva, y probamos que esos 3 puntos son colineales. Esto solo puede ser posible si la curva es una línea. Por lo tanto, la ecuación Ax + por + C = 0 debe representar una recta.
¡Uf! Esto podría ser un poco demasiado complejo para ti. Lea una vez más, y luego una vez más. Las cosas mejorarán. Hasta entonces, aquí es una simulación para usted, donde se puede ver el gráfico de la ecuación Ax + por + C = 0.,
puede arrastrar los tres controles deslizantes y observar el gráfico-siempre es una línea recta (excepto cuando tanto A como B son 0). Además, observe lo que sucede cuando cualquiera de A, B O C se convierte en 0. ¿Notas algo especial?
resumen de la lección
cualquier ecuación de la forma Ax + por + C = 0 (es decir, una ecuación lineal en una o dos variables), representará una línea recta en el plano XY, donde A y B no deben ser ambos cero.
la siguiente lección habla de la relación entre dos ecuaciones que representan la misma línea. Nos vemos allí!