Forma generale

Forma generale di una linea retta

Ora che ho coperto tutte le forme delle equazioni della linea retta (tranne una), diamo un’occhiata alla forma generale dell’equazione della linea retta.

Cioè, che tipo di equazione rappresenterebbe una linea retta? E che tipo non lo farebbe?

Ci possono essere tutti i tipi di equazioni, come la seguente:

x + 5y – 6 = 0

xy = 3

x2 + y2 = 4

Quale di questi vorresti rappresentare una linea retta?, E quale di loro non lo farà?

Sostengo che un’equazione della forma Ax + Per + C = 0, rappresenterà una linea retta. Qui A, B, C sono costanti arbitrarie (A e B non possono essere entrambi 0), e x e y sono variabili (che rappresentano le coordinate dei punti sulla linea).

Ecco una prova (in qualche modo).

Supponiamo che B ≠ 0, allora sul dividendo l’equazione per B e riordinando i termini si ottiene

y = (-A/B)x + (-C/B)

mettendo -A/B = m e -C/B = c, l’equazione diventa

y = mx + c)

Questo sembra familiare.,

Nel caso B = 0, allora l’equazione Ax + By + C = 0 diventerà

x = -C/A

Questo rappresenta una linea parallela all’asse Y (spiegato qui).

Allo stesso modo, se A = 0, allora l’equazione Ax + Per + C = 0 diventerà

y = -C/B

Questo rappresenta una linea parallela all’asse X (spiegato qui).

In ogni caso, l’equazione Ax + Per + C = 0 rappresentava una linea retta.

Ma cosa succede se non avessimo derivato queste equazioni in precedenza? Darò un’altra prova.,

L’idea è di dimostrare che tutti e tre i punti presi sulla curva rappresentata da Ax + By + C = 0 sono collineari. Perché se lo sono, allora quella curva non può essere altro che una linea!

Sia P (x1, y1) e Q(x2, y2) e R(x3, y3) essere qualsiasi tre punti sulla curva la cui equazione è Ax + Per + C = 0.

Quindi le coordinate di questi tre punti devono soddisfare l’equazione. Otteniamo le seguenti tre relazioni.,

Ax1 + By1 + C = 0 … I

Ax2 + By2 + C = 0 … II

Ax3 + By3 + C = 0 … III

Ora, l’obiettivo è quello di dimostrare che, se queste relazioni sono vere, allora i punti devono essere collineari. Proviamo a dimostrarlo.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)

(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B IV …

allo stesso modo, dopo la sottrazione II, III, otteniamo

(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B V …

Dal IV e V, si otterrà

(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)

Questo, sulla riorganizzazione, dà

x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0

Infine, sul dividendo questo per 2, otteniamo

1/2 = 0

Questo significa che l’area del triangolo PQR è 0, il che dimostra che i punti sono collineari., (Abbiamo fatto qualcosa di simile in precedenza.)

E abbiamo finito! Abbiamo preso 3 punti casuali sulla curva e abbiamo dimostrato che quei 3 punti sono collineari. Questo può essere possibile solo se la curva è una linea. Pertanto, l’equazione Ax + Per + C = 0 deve rappresentare una linea.

Uff! Questo potrebbe essere un po ‘ troppo complesso per te. Leggilo ancora una volta, e poi ancora una volta. Le cose andranno meglio. Fino ad allora, ecco una simulazione per te, dove puoi vedere il grafico dell’equazione Ax + Per + C = 0.,

Puoi trascinare i tre cursori e osservare il grafico – è sempre una linea retta (tranne quando sia A che B sono 0). Inoltre, osserva cosa succede quando uno di A, B o C diventa 0. Hai notato qualcosa di speciale?

Riassunto della lezione

Qualsiasi equazione della forma Ax + By + C = 0 (cioè un’equazione lineare in una o due variabili), rappresenterà una linea retta sul piano XY, dove A e B non dovrebbero essere entrambi zero.

La prossima lezione parla della relazione tra due equazioni che rappresentano la stessa linea. Ci vediamo li’!

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