la Forme Générale d’une Ligne Droite
Maintenant que j’ai couvert toutes les formes de la ligne droite des équations (sauf un), regardons la forme générale de l’équation de la ligne droite.
C’est-à-dire, ce genre d’équation représenterait une ligne droite? Et quel genre ne le ferait pas?
Il peut y avoir toutes sortes d’équations, comme suit:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
Lequel de ces représenterait une ligne droite?, Et lequel d’entre eux ne le fera pas?
je prétends qu’une équation de la forme Ax + By + C = 0, représentera une droite. Ici A, B, C sont des constantes arbitraires (A et B ne peuvent pas être à la fois 0), et x et y sont des variables (qui représentent les coordonnées des points sur la ligne).
Voici une preuve (un peu).
Supposons que B ≠ 0, puis en divisant l’équation en B et en réarrangeant les termes nous obtenons
y = (A/B)x + (-C/B)
En mettant -A/B = m-C/B = c, l’équation ci-dessus devient
y = mx + c
Cela vous semble familier.,
Dans le cas B = 0, alors l’équation Ax + By + C = 0 deviendra
x = -C/A
Cela représente une ligne parallèle à l’axe des Y (expliqué ici).
de Même, si A = 0, alors l’équation Ax + By + C = 0 deviendra
y = -C/B
Cela représente une ligne parallèle à l’axe des X (expliqué ici).
dans chaque cas, L’équation Ax + By + C = 0 représentait une droite.
Mais si nous n’avions pas dérivé ces équations auparavant? Je vais vous donner une preuve de plus.,
l’idée est de prouver que les trois points pris sur la courbe représentée par Ax + par + C = 0 sont colinéaires. Parce que s’ils le sont, alors cette courbe ne peut être qu’une ligne!
soient P(x1, y1) et Q(x2, y2) et R(x3, y3) trois points quelconques de la courbe dont L’équation est Ax + par + C = 0.
Puis les coordonnées de ces trois points doivent satisfaire l’équation. Nous obtenons les trois relations.,
Ax1 + By1 + C = 0 … j’
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
Maintenant, le but est de prouver que, si ces relations sont vraies, ensuite, les points doivent être colinéaires. Nous allons essayer de prouver que.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
de Même, après la soustraction II de la partie III, nous get
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
à Partir de IV et V, nous allons obtenir
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Ce, sur le réaménagement, donne
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
Enfin, sur les divisant par 2, on obtient
1/2 = 0
Cela signifie que l’aire du triangle PQR est 0, prouvant que les points sont colinéaires., (Nous avons déjà fait quelque chose comme ça.)
Et nous y sommes! Nous avons pris 3 points aléatoires sur la courbe, et prouvé que ces 3 points sont colinéaires. Cela ne peut être possible que si la courbe est une ligne. Par conséquent, L’équation Ax + By + C = 0 doit représenter une droite.
ouf! Cela pourrait être un peu trop complexe pour vous. Lire une fois de plus, et une fois de plus. Les choses vont aller mieux. Jusqu’alors, voici une simulation pour vous, où vous pouvez voir le graphique de l’équation Ax + By + C = 0.,
Vous pouvez faire glisser les trois curseurs et d’observer le graphique, c’est toujours une ligne droite (sauf lorsque A et B sont à 0). Observez également ce qui se passe lorsque A, B ou C devient 0. Remarqué quelque chose de spécial?
résumé de la leçon
toute équation de la forme Ax + By + C = 0 (c’est-à-dire une équation linéaire en une ou deux variables) représentera une droite sur le plan XY, où A et B ne devraient pas être tous les deux nuls.
La leçon suivante parle de la relation entre deux équations représentant la même droite. Vous y voir!