Generell Form av en Rett Linje
Nå som jeg har dekket alle former av lineære ligninger (unntatt ett), la oss se på den generelle formen av ligningen for en rett linje.
Det vil bety, og hva slags en ligning som ville representere en rett linje? Og hva ville ikke?
Det kan være alle typer ligninger, som følgende:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
Hvilke av disse ville representere en rett linje?, Og hvilke av dem som ikke vil?
jeg hevder at en ligning på formen Ax + By + C = 0, vil representere en rett linje. Her er A, B, C er vilkårlige konstanter (A og B ikke kan være både 0), og x-og y-variabler (som representerer koordinatene til punktene på linjen).
Her er et bevis (noe).
Tenk B ≠ 0, og deretter på å dele ligningen med B og omorganisere de vilkårene vi få
y = (-A/B)x + (-C/B)
Ved å sette -A/B = m og -P/B = c, ligningen over blir
y = mx + c
Denne ser kjent ut.,
I tilfelle B = 0, så likningen Ax + By + C = 0 vil bli
x = -C/A
Dette representerer en linje parallell med Y-aksen (forklart her).
på samme måte, hvis A = 0, så likningen Ax + By + C = 0 vil bli
y = -C/B
Dette representerer en linje parallell med X-aksen (forklart her).
I hvert enkelt tilfelle, likningen Ax + By + C = 0 representert en rett linje.
Men hva hvis vi ikke hadde hentet disse ligningene tidligere? Jeg vil gi en mer bevis.,
ideen er å bevise at noen tre poeng er tatt på kurven representert ved Ax + By + C = 0 er likhet kollineære. Fordi hvis de er, og at kurven kan være ingenting annet enn en linje!
La P(x1, y1) og Q(x2, y2) og R(x3, y3) være alle tre punkter på kurven som har ligningen Ax + By + C = 0.
Da koordinatene til disse tre punktene må tilfredsstille ligningen. Får vi følgende tre forhold.,
Ax1 + By1 + C = 0 … jeg
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
Nå, målet er å bevise at dersom disse forbindelsene hold sant, deretter poeng må være likhet kollineære. La oss prøve å bevise det.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
på samme måte, etter å trekke II fra III, får vi
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B V …
Fra IV og V, vi får
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
i Dette, omorganisere, gir
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
til Slutt, på å dele dette med 2, får vi
1/2 = 0
Dette betyr at arealet av trekanten PQR er 0, som beviser at poeng er likhet kollineære., (Vi har gjort noe som dette tidligere.)
Og vi er ferdig! Vi tok 3 tilfeldige punkter på kurven, og viste at disse 3 punktene er likhet kollineære. Dette kan bare være mulig hvis kurven er en linje. Derfor ligningen Ax + By + C = 0 må representere en linje.
Puh! Dette kan være litt for komplisert for deg. Les det igjen, og så enda en gang. Ting vil bli bedre. Inntil da, her er en simulering for deg, hvor du kan se grafen til ligningen Ax + By + C = 0.,
Du kan dra tre glidere og observere graf – det er alltid en rett linje (bortsett fra når både A og B er 0). Også observere hva som skjer når det er enten A, B eller C blir 0. Legger merke til noe spesielt?
leksjonssammendrag q q
Noen ligning på formen Ax + By + C = 0 (dvs. en lineær ligning i én eller to variabler), vil representere en rett linje på XY-planet, hvor A og B skal ikke være både null.
Den neste leksjonen handler om forholdet mellom to ligninger som representerer samme linje. Se deg der!