Allgemeine Form einer geraden Linie
Nachdem ich nun alle Formen der geraden Gleichungen (außer einer) abgedeckt habe, schauen wir uns die allgemeine Form der Gleichung der Geraden an.
Das heißt, welche Art von Gleichung würde eine gerade Linie darstellen? Und welche Art nicht?
Es können alle Arten von Gleichungen, wie die folgenden:
– x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
Die dieser darstellen würde einer geraden Linie?, Und wer von ihnen wird nicht?
ich behaupte, dass eine Gleichung der form Ax + By + C = 0 ist, wird eine gerade Linie. Hier sind A, B, C beliebige Konstanten (A und B können nicht beide 0 sein) und x und y sind Variablen (die die Koordinaten von Punkten auf der Linie darstellen).
Hier ist ein Beweis (etwas).
Angenommen, B ≠ 0, dann erhalten wir beim Teilen der Gleichung durch B und beim Neuordnen der Begriffe
y = (-A/B)x + (-C/B)
Durch Setzen von-A/B = m und-C/B = c wird die obige Gleichung
y = mx + c
Dies sieht so aus, als vertraut.,
Falls B = 0 ist, wird die Gleichung Ax + By + C = 0
x = -C/A
Dies stellt eine Linie parallel zur Y-Achse dar (hier erklärt).
Wenn A = 0 ist, wird die Gleichung Ax + By + C = 0 in ähnlicher Weise zu
y = – C/B
Dies stellt eine Linie parallel zur X-Achse dar (hier erklärt).
Jeweils stellte die Gleichung Ax + By + C = 0 eine gerade Linie dar.
Aber was wäre, wenn wir diese Gleichungen vorher nicht abgeleitet hätten? Ich gebe noch einen Beweis.,
Die Idee ist zu beweisen, dass alle drei Punkte auf der Kurve, die durch Ax + By + C = 0 dargestellt wird, kollinear sind. Denn wenn sie es sind, dann kann diese Kurve nichts anderes als eine Linie sein!
Seien P(x1, y1) und Q(x2, y2) und R (x3, y3) beliebige drei Punkte auf der Kurve, deren Gleichung Ax + By + C = 0 ist.
Dann müssen die Koordinaten dieser drei Punkte die Gleichung erfüllen. Wir erhalten die folgenden drei Beziehungen.,
Ax1 + By1 + C = 0 … I
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
Nun, das Ziel ist, zu beweisen, dass, wenn diese Beziehungen halten true, dann werden die Punkte sind kollinear. Versuchen wir das zu beweisen.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
In ähnlicher Weise erhalten wir nach Subtraktion von II von III
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
Von IV und V, wir erhalten
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Dies ergibt bei der Neuanordnung
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
Schließlich beim Teilen mit 2 erhalten wir
1/2 = 0
Dies bedeutet, dass die Fläche des Dreiecks PQR 0 ist, was beweist, dass die Punkte kollinear sind., (Wir haben so etwas schon einmal gemacht.)
, Und wir sind fertig! Wir haben 3 zufällige Punkte auf der Kurve genommen und bewiesen, dass diese 3 Punkte kollinear sind. Dies kann nur möglich sein, wenn die Kurve eine Linie ist. Daher muss die Gleichung Ax + By + C = 0 eine Linie darstellen.
Puh! Dies könnte für Sie etwas zu komplex sein. Lesen Sie es noch einmal und dann noch einmal. Die Dinge werden besser. Bis dahin ist hier eine Simulation für Sie, in der Sie den Graphen der Gleichung Ax + By + C = 0 sehen können.,
Sie können die drei Schieberegler ziehen und das Diagramm beobachten – es ist immer eine gerade Linie (außer wenn sowohl A als auch B 0 sind). Beobachten Sie auch, was passiert, wenn einer von A, B oder C 0 wird. Bemerken Sie etwas Besonderes?
Zusammenfassung
Jede Gleichung der form Ax + By + C = 0 (d.h. eine lineare Gleichung in einer oder zwei Variablen), wird eine gerade Linie auf der XY-Ebene, wobei A und B nicht beide null.
Die nächste Lektion spricht über die Beziehung zwischen zwei Gleichungen, die dieselbe Linie darstellen. Wir sehen uns dort!