allmän Form av en rak linje
Nu när jag har täckt alla former av raka linjeekvationer (förutom en), låt oss titta på den allmänna formen av ekvationen för den raka linjen.
det vill säga, vilken typ av ekvation skulle representera en rak linje? Och vilken typ skulle inte?
det kan finnas alla slags ekvationer, som följande:
X + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
vilken av dessa skulle representera en rak linje?, Och vilka kommer inte?
Jag hävdar att en ekvation av formen Ax + med + C = 0, kommer att representera en rak linje. Här är A, B, C godtyckliga konstanter (A och B kan inte vara både 0), och x och y är variabler (som representerar koordinaterna för punkter på linjen).
här är ett bevis (något).
Antag b 0, sedan på att dela ekvationen med B och omarrangera de termer vi får
y = (-a/b)x + (-c/b)
genom att sätta-A/B = M och-c/b = c blir ovanstående ekvation
y = mx + c
det här ser ut som en bekant.,
i fall b = 0 blir ekvationen Ax + By + C = 0
x = -c/a
detta representerar en linje parallell med Y-axeln (förklaras här).
På samma sätt, om A = 0, blir ekvationen Ax + med + C = 0
y = -c/b
detta representerar en linje parallell med X-axeln (förklaras här).
i varje fall representerade ekvationen Ax + med + C = 0 en rak linje.
men vad händer om vi inte hade härlett dessa ekvationer tidigare? Jag ska ge ett bevis till.,
tanken är att bevisa att alla tre punkter som tas på kurvan som representeras av Ax + med + c = 0 är collinear. För om de är, kan den kurvan inte vara något annat än en linje!
låt p (x1, y1) och Q(x2, y2) och R(x3, y3) vara tre punkter på kurvan vars ekvation är Ax + med + C = 0.
då måste koordinaterna för dessa tre punkter uppfylla ekvationen. Vi får följande tre relationer.,
Ax1 + By1 + c = 0 … i
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
nu är målet att bevisa att, om dessa relationer håller sant, måste punkterna vara collinear. – herr talman! Vi försöker bevisa det.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
På samma sätt får vi efter att ha subtraherat II från III
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
från IV och v, vi får
(Y2 – Y1)/(x2 – x1) = (Y3 – Y2)/(x3 – X2)
detta, vid omarrangering, ger
x1(Y2 – y3) + X2(Y3 – Y1) + x3(Y1 – Y2) = 0
slutligen, när vi delar detta med 2, får vi
1/2 = 0
det betyder att området för triangeln PQR är 0, vilket visar att punkterna är collinear., (Vi har gjort något sådant tidigare.)
och vi är klara! Vi tog 3 slumpmässiga punkter på kurvan och visade att de 3 punkterna är collinear. Detta kan endast vara möjligt om kurvan är en linje. Därför måste ekvationen Ax + med + C = 0 representera en linje.
Phew! Det här kan vara lite för komplicerat för dig. Läs det igen, och sedan en gång till. Det kommer att bli bättre. Till dess, här är en simulering för dig, där du kan se grafen i ekvationen Ax + med + C = 0.,
Du kan dra de tre reglagen och observera grafen – det är alltid en rak linje (utom när både A och B är 0). Observera också vad som händer när någon av A, B eller C blir 0. Märker du nåt speciellt?
Lektionssammanfattning
varje ekvation av formen Ax + med + C = 0 (dvs. en linjär ekvation i en eller två variabler), kommer att representera en rak linje på xy-planet, där A och B inte ska vara både noll.
nästa lektion talar om förhållandet mellan två ekvationer som representerar samma rad. Vi ses där!