algemene vorm van een rechte lijn
nu ik alle vormen van de rechte lijnvergelijkingen heb behandeld (behalve één), laten we eens kijken naar de algemene vorm van de vergelijking van de rechte lijn.
dat wil zeggen, wat voor soort vergelijking zou een rechte lijn voorstellen? En wat voor soort niet?
Er kunnen allerlei soorten vergelijkingen zijn, zoals:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
welke van deze zou een rechte lijn vertegenwoordigen?, En wie van hen niet?
Ik claim dat een vergelijking van de vorm Ax + door + C = 0, een rechte lijn vertegenwoordigt. Hier zijn A, B, C willekeurige constanten (A en B kunnen niet beide 0 zijn), en x en y zijn variabelen (die de coördinaten van punten op de lijn vertegenwoordigen).
Hier is een bewijs (enigszins).
stel dat B ≠ 0, dan bij het delen van de vergelijking door B en het herschikken van de termen krijgen we
y = (-a/B)x + (-C/B)
Door-A/B = m en-C/B = c te zetten, wordt de bovenstaande vergelijking
y = mx + c
Dit komt me bekend voor.,
in geval B = 0, dan wordt de vergelijking Ax + door + C = 0
x = -C/A
Dit vertegenwoordigt een lijn evenwijdig aan de Y-as (hier uitgelegd).
Evenzo, als A = 0, dan wordt de vergelijking Ax + door + C = 0
y = -C/B
Dit vertegenwoordigt een lijn evenwijdig aan de x-as (hier uitgelegd).
in elk geval was de vergelijking Ax + door + C = 0 een rechte lijn.
maar wat als we deze vergelijkingen niet eerder hadden afgeleid? Ik zal nog een bewijs geven.,
het idee is om te bewijzen dat alle drie punten genomen op de kromme vertegenwoordigd door Ax + door + C = 0 collineair zijn. Want als dat zo is, dan kan die kromme niets anders zijn dan een lijn!
zij P(x1, y1) en Q(x2, y2) en R (x3, y3) alle drie punten op de curve waarvan de vergelijking Ax + door + C = 0 is.
dan moeten de coördinaten van deze drie punten aan de vergelijking voldoen. We krijgen de volgende drie relaties.,
Ax1 + By1 + C = 0 … I
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
punten moeten collineair zijn. Laten we dat proberen te bewijzen.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
Ook na het aftrekken II van III, krijgen we een
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
Van IV en V, we krijgen
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Deze, op het herschikken, geeft
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
tot slot, op het verdelen van dit door 2, krijgen we een
1/2 = 0
Dit betekent dat de oppervlakte van driehoek PQR is 0, waaruit blijkt dat de punten collineair zijn., (We hebben zoiets eerder gedaan.)
en we zijn klaar! We Namen 3 willekeurige punten op de curve, en bewezen dat die 3 punten collineair zijn. Dit kan alleen als de kromme een lijn is. Daarom moet de vergelijking Ax + door + C = 0 een lijn voorstellen.
Phew! Dit is misschien iets te ingewikkeld voor je. Lees het nog een keer, en dan nog een keer. Het zal beter worden. Tot dan, hier is een simulatie voor u, waar u de grafiek van de vergelijking Ax + door + C = 0 kunt zien.,
u kunt de drie schuifregelaars slepen en de grafiek observeren – het is altijd een rechte lijn (behalve wanneer zowel A als B 0 zijn). Let ook op wat er gebeurt als A, B of C 0 wordt. Valt je iets speciaals op?
Lessamenvatting
elke vergelijking van de vorm Ax + By + C = 0 (d.w.z. een lineaire vergelijking in één of twee variabelen), zal een rechte lijn op het xy-vlak vertegenwoordigen, waar A en B niet beide nul zouden moeten zijn.
de volgende les gaat over de relatie tussen twee vergelijkingen die dezelfde lijn vertegenwoordigen. Ik zie je daar!