egy egyenes általános formája
most, hogy lefedtem az egyenes egyenletek minden formáját (kivéve egyet), nézzük meg az egyenes egyenlet általános formáját.
Ez azt jelenti, hogy milyen egyenlet jelent egy egyenes vonalat? És miféle nem?
mindenféle egyenlet létezik, mint például a következő:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
Ezek közül melyik jelent egy egyenes vonal?, És melyikük nem?
azt állítom, hogy az AX + + + C = 0 forma egyenlete egyenes vonalat képvisel. Itt a, B, C tetszőleges állandók (A és B nem lehet mind 0), x és y pedig változók (amelyek a vonal pontjainak koordinátáit képviselik).
itt van egy bizonyíték (kissé).
tegyük fel, hogy b ≠ 0, majd elosztjuk az egyenletet B és átrendezzük a kifejezéseket kapunk
y = (-a/B)X + (-C/B)
– A/B = m és-C/B = c, a fenti egyenlet lesz
y = mx + c
Ez ismerősnek tűnik.,
B = 0 esetben az AX + + + C = 0 egyenlet
x = -C/a
Ez az Y tengelygel párhuzamos vonalat jelenti (itt magyarázható).
hasonlóképpen, ha A = 0, akkor az AX + + + C = 0 egyenlet
y = -C/B
Ez egy X tengelygel párhuzamos vonalat jelent (itt magyarázható).
minden esetben az AX + + + C = 0 egyenlet egyenes vonalat képviselt.
de mi lenne, ha korábban nem származtattuk volna ezeket az egyenleteket? Adok még egy bizonyítékot.,
az ötlet annak bizonyítása, hogy az Ax + által + C = 0 által képviselt görbén szereplő három pont kollineáris. Mert ha igen, akkor ez a görbe nem lehet más, mint egy vonal!
legyen p(x1, y1) és Q(x2, y2) és R(x3, y3) a görbe bármely három pontja, amelynek egyenlete Ax + By + C = 0.
ezután a három pont koordinátáinak meg kell felelniük az egyenletnek. A következő három kapcsolatot kapjuk.,
Ax1 + By1 + C = 0 … i
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
most a cél annak bizonyítása, hogy ha ezek a kapcsolatok igazak, akkor a pontoknak kollineárisnak kell lenniük. Próbáljuk bebizonyítani.,>Egy(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B …, IV.
Hasonlóképpen, miután levonjuk a II., III., kapunk
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
A IV., illetve V. kapunk
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Ez átrendezése, ad
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
Végül osztani 2-vel, megkapjuk
1/2 = 0
Ez azt jelenti, hogy a terület a PQR háromszög 0, bizonyítva, hogy a pontok egy egyenesre esnek., (Korábban is csináltunk már ilyet.)
és végeztünk! 3 véletlenszerű pontot vettünk a görbén, és bebizonyítottuk, hogy ez a 3 pont kollineáris. Ez csak akkor lehetséges, ha a görbe vonal. Ezért az AX + + + C = 0 egyenletnek vonalat kell képviselnie.
Phew! Lehet, hogy ez egy kicsit túl bonyolult az Ön számára. Olvassa el még egyszer, majd még egyszer. A dolgok jobbra fordulnak. Addig itt van egy szimuláció az Ön számára, ahol láthatja a + + + C = 0 egyenlet grafikonját.,
A három csúszkát húzhatja, és megfigyelheti a grafikont – ez mindig egyenes vonal – kivéve, ha mind az A,mind a B 0). Figyelje meg azt is, hogy mi történik, ha az a, B vagy C 0 lesz. Észrevettél valami különlegeset?
Tanulságösszefoglalás
Az AX + + + + C = 0 (azaz egy vagy két változóban lineáris egyenlet) egyenlete egyenes vonalat képvisel az XY síkon, ahol az A és B nem lehet nulla.
a következő lecke két egyenlet közötti kapcsolatról szól, amelyek ugyanazt a vonalat képviselik. Ott találkozunk!