Generelle Form af en Lige Linje
Nu, at jeg har dækket alle former for den lineære ligninger (bortset fra en), så lad os se på den generelle form af ligningen for den rette linje.
det vil sige, hvilken slags ligning ville repræsentere en lige linje? Og hvilken slags ville ikke?
det kan Der være alle mulige former for ligninger, som følgende:
x + 5y – 6 = 0
xy = 3
x2 + y2 = 4
Hvilken af disse ville udgøre en lige linje?, Og hvem af dem vil ikke?
Jeg hævder, at en ligning af formen A. + ved + c = 0, vil repræsentere en lige linje. Her er A, B, C vilkårlige konstanter (A og B kan ikke være både 0), og variables og y er variabler (som repræsenterer koordinaterne for punkter på linjen).
Her er et bevis (noget).
Antag, at B ≠ 0, så at dividere ligning af B og omarrangere de vilkår, vi får
y = (-A/B)x + (-C/B)
Ved at sætte -A/B = m -C/B = c, ovenstående ligning bliver
y = mx + c
Det ser bekendt ud.,
i tilfælde B = 0 bliver ligningen a. + By + c = 0
. = – C/a
dette repræsenterer en linje parallelt med Y-aksen (forklaret her).
tilsvarende, hvis A = 0, bliver ligningen a. + By + c = 0
y = -c/b
dette repræsenterer en linje parallelt med axis-aksen (forklaret her).
i hvert tilfælde repræsenterede ligningen A. + ved + c = 0 en lige linje.
men hvad nu hvis vi ikke tidligere havde afledt disse ligninger? Jeg giver endnu et bevis.,
ideen er at bevise, at tre punkter taget på kurven repræsenteret ved A. + ved + c = 0 er collinear. For hvis de er, så kan den kurve ikke være andet end en linje!
lad P (11, y1) og. (.2, y2) og R(.3, y3) være tre punkter på kurven, hvis ligning er A. + ved + c = 0.
derefter koordinaterne for disse tre punkter skal opfylde ligningen. Vi får følgende tre relationer.,
Ax1 + By1 + C = 0 … jeg
Ax2 + By2 + C = 0 … II
Ax3 + By3 + C = 0 … III
Nu, målet er at bevise, at, hvis disse forbindelser er tilfældet, så er de punkter, der skal være collinear. Lad os prøve at bevise det.,>A(x2 – x1) = B(y2 – y1)
(y2 – y1)/(x2 – x1) = A/B … IV
på samme måde, efter fradrag II, III, vi får
(y3 – y2)/(x3 – x2) = A/B … V
Fra IV og V, vi får
(y2 – y1)/(x2 – x1) = (y3 – y2)/(x3 – x2)
Denne, om at omarrangere, giver
x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2) = 0
Endelig, om dividere denne med 2, vi får
1/2 = 0
Dette betyder, at arealet af trekant PQR er 0, hvilket viser at de punkter, der er collinear., (Vi har gjort noget som dette tidligere.)
og vi er færdige! Vi tog 3 tilfældige punkter på kurven, og bevist, at disse 3 punkter er collinear. Dette kan kun være muligt, hvis kurven er en linje. Derfor skal ligningen A. + ved + c = 0 repræsentere en linje.
Pyha! Dette kan være lidt for kompliceret for dig. Læs det igen, og derefter en gang mere. Tingene bliver bedre. Indtil da er her en simulering for dig, hvor du kan se grafen for ligningen A. + Ved + C = 0.,
Du kan trække de tre skydere og observere grafen – det er altid en lige linje (undtagen når både A og B er 0). Også, observere, hvad der sker, når en af A, B, eller C bliver 0. Bemærk noget særligt?
Lektion Resumé
Enhver ligning af formen Ax + By + C = 0 (dvs en lineær ligning i én eller to variabler), vil repræsentere en lige linje på XY-planet, hvor A og B bør ikke begge nul.
Den næste lektion taler om forholdet mellem to ligninger, der repræsenterer den samme linje. Vi ses der!