Teilbarkeitsregel

Teilbarkeit durch 2

Nehmen Sie zuerst eine beliebige Zahl (für dieses Beispiel ist es 376) und notieren Sie die letzte Ziffer in der Zahl, wobei Sie die anderen Ziffern verwerfen. Nehmen Sie dann diese Ziffer (6), während Sie den Rest der Zahl ignorieren, und stellen Sie fest, ob sie durch 2 teilbar ist. Wenn es durch 2 teilbar ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 2 teilbar.,

Beispiel

  1. 376 (Die ursprüngliche Zahl)
  2. 37 6 (Nehmen Sie die letzte Ziffer)
  3. 6 ÷ 2 = 3 (Überprüfen Sie, ob die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist)
  4. 376 ÷ 2 = 188 (Wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 2 teilbar)

Teilbarkeit durch 3 oder 9

Zuerst nehmen Sie eine beliebige Zahl (für dieses Beispiel ist es 492) und addieren Sie jede Ziffer in der Zahl (4 + 9 + 2 = 15). Nehmen Sie dann diese Summe (15) und bestimmen Sie, ob sie durch 3 teilbar ist. Die ursprüngliche Zahl ist nur dann durch 3 (oder 9) teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 3 (oder 9) teilbar ist.,

Wenn Sie die Ziffern einer Zahl nach oben addieren und dann den Vorgang mit dem Ergebnis wiederholen, bis nur noch eine Ziffer übrig ist, erhalten Sie den Rest der ursprünglichen Zahl, wenn sie durch neun geteilt wurde (es sei denn, diese einzelne Ziffer ist selbst neun, in diesem Fall ist die Zahl durch neun teilbar und der Rest ist Null).,

Dies kann auf jedes Standardpositionssystem verallgemeinert werden, bei dem der betreffende Divisor dann eins kleiner als das Radix wird; In Basis-zwölf addieren sich die Ziffern zum Rest der ursprünglichen Zahl, wenn sie durch elf geteilt werden, und Zahlen sind nur dann durch elf teilbar, wenn die Ziffernsumme durch elf teilbar ist.

Wenn eine Zahl eine Multiplikation von 3 identischen aufeinanderfolgenden Ziffern in beliebiger Reihenfolge ist, ist diese Zahl immer durch 3 teilbar. Dies ist nützlich, wenn die Zahl hat die form von (n × (n − 1) × (n + 1))

Beispiel.,

  1. 492 (Die ursprüngliche Zahl)
  2. 4 + 9 + 2 = 15 (Addiere jede einzelne Ziffer zusammen)
  3. 15 ist durch 3 teilbar, an welchem Punkt wir anhalten können. Alternativ können wir die gleiche Methode verwenden, wenn die Zahl immer noch zu groß ist:
  4. 1 + 5 = 6 (Addieren Sie jede einzelne Ziffer zusammen)
  5. 6 ÷ 3 = 2 (Überprüfen Sie, ob die empfangene Zahl durch 3 teilbar ist)
  6. 492 ÷ 3 = 164 (Wenn die mit der Regel erhaltene Zahl durch 3 teilbar ist, ist die gesamte Zahl durch 3 teilbar)

Beispiel.,

  1. 336 (Die ursprüngliche Zahl)
  2. 6 × 7 × 8 = 336
  3. 336 ÷ 3 = 112

Teilbarkeit durch 4

Die Grundregel für die Teilbarkeit durch 4 ist, dass, wenn die Zahl, die durch die letzten beiden Ziffern in einer Zahl gebildet wird, durch 4 teilbar ist, die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar ist; Dies liegt daran, dass 100 durch 4 teilbar ist und so Hunderte, Tausende usw. addiert werden. fügt einfach eine weitere Zahl hinzu, die durch 4 teilbar ist. Wenn eine Zahl mit einer zweistelligen Zahl endet, von der Sie wissen, dass sie durch 4 teilbar ist (z. B. 24, 04, 08 usw.,), dann wird die ganze Zahl durch 4 teilbar sein, unabhängig davon, was vor den letzten beiden Ziffern ist.

Alternativ kann man die Zahl einfach durch 2 teilen und dann das Ergebnis überprüfen, um festzustellen, ob es durch 2 teilbar ist. Wenn ja, ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar. Außerdem ist das Ergebnis dieses Tests das gleiche wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch 4.

Beispiel.,teilbar durch 4)

  • 2092 ÷ 4 = 523 (Wenn die erhaltene Zahl durch 4 teilbar ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar)

    • Alternatives Beispiel

    1. 1720 (Die ursprüngliche Zahl)
    2. 1720 ÷ 2 = 860 (Teilen Sie die ursprüngliche Zahl durch 2)
    3. 860 ÷ 2 = 430 (Überprüfen Sie, ob das Ergebnis durch 2 teilbar ist)
    4. 1720 ÷ 4 = 430 (Wenn das Ergebnis durch 2 teilbar ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 4 teilbar)

    Die Teilbarkeit durch 5

    Die Teilbarkeit durch 5 kann leicht bestimmt werden, indem die letzte Ziffer in der Zahl (475) überprüft und festgestellt wird, ob sie entweder 0 oder 5 ist., Wenn die letzte Zahl entweder 0 oder 5 ist, ist die gesamte Zahl durch 5 teilbar.

    Wenn die letzte Ziffer in der Zahl 0 ist, sind die verbleibenden Ziffern multipliziert mit 2 das Ergebnis. Zum Beispiel endet die Zahl 40 in einer Null (0), also nimm die restlichen Ziffern (4) und multipliziere diese mit zwei (4 × 2 = 8). Das Ergebnis ist das gleiche wie das Ergebnis von 40 geteilt durch 5(40/5 = 8).

    Beispiel.,zahl geteilt durch 5)

    Wenn die letzte Ziffer 5 ist

    1. 85 (Die ursprüngliche Zahl)
    2. 8 5 (Nehmen Sie die letzte Ziffer der Zahl und prüfen Sie, ob sie 0 oder 5 ist)
    3. 8 5 (Wenn es 5 ist, nehmen Sie die verbleibenden Ziffern und verwerfen Sie die letzte)
    4. 8 × 2 = 16 (Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 2)
    5. 16 + 1 = 17 (Addieren 1 zum Ergebnis)
    6. 85 ÷ 5 = 17 (Das Ergebnis ist das gleiche wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch 5)

    Teilbarkeit durch 6

    Die Teilbarkeit durch 6 wird durch Überprüfen der ursprünglichen Zahl bestimmt, um festzustellen, ob es sich sowohl um eine gerade Zahl (teilbar durch 2) als auch um, Dies ist der beste Test zu verwenden.

    Wenn die Zahl durch sechs teilbar ist, nehmen Sie die ursprüngliche Zahl (246) und teilen Sie sie durch zwei (246 ÷ 2 = 123). Nehmen Sie dann dieses Ergebnis und teilen Sie es durch drei (123 ÷ 3 = 41). Dieses Ergebnis ist das gleiche wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch sechs (246 ÷ 6 = 41).

    Beispiel.,

    Allgemeine Regel

    1. 324 (Die ursprüngliche Zahl)
    2. 324 ÷ 3 = 108 (Überprüfen Sie, ob die ursprüngliche Zahl durch 3 teilbar ist)
    3. 324 ÷ 2 = 162 ODER 108 ÷ 2 = 54 (Überprüfen Sie, ob entweder die ursprüngliche Zahl oder das Ergebnis der vorherigen Gleichung durch 2 teilbar ist)
    4. 324 ÷ 6 = 54 (Wenn einer der Tests im letzten Schritt wahr ist, ist die ursprüngliche Zahl durch 6 teilbar., Außerdem gibt das Ergebnis des zweiten Tests das gleiche Ergebnis wie die ursprüngliche Zahl geteilt durch 6)

    zurück, um einen Rest einer Zahl zu finden, wenn geteilt durch 6 (1, -2, -2, -2, -2, und es geht weiter für den Rest) Keine Zeit. — Minimale Größenordnung Sequenz (1, 4, 4, 4, 4, und 4 geht für den Rest weiter) – Positive Sequenz Multiplizieren Sie die am weitesten rechts stehende Ziffer mit der am weitesten links stehenden Ziffer in der Sequenz und multiplizieren Sie die am zweithäufigsten rechts stehende Ziffer mit der am zweithäufigsten links stehenden Ziffer in der Sequenz und so weiter. Berechnen Sie als Nächstes die Summe aller Werte und nehmen Sie den Rest bei der Division durch 6.,

    Beispiel: Was ist der Rest, wenn 1036125837 durch 6 geteilt wird?

    Multiplikation der Ziffer ganz rechts = 1 × 7 = 7 Multiplikation der zweiten Ziffer ganz rechts = 3 × -2 = -6 Dritte Ziffer ganz rechts = -16 Vierte Ziffer ganz rechts = -10 fünfte Ziffer ganz rechts = -4 Sechste Ziffer ganz rechts = -2 Siebte Ziffer ganz rechts = -12 Achte Ziffer ganz rechts = -6 Neunte Ziffer ganz rechts = 0 Zehnte Ziffer ganz rechts = -2 Summe = -51 -51 ≡ 3 (mod 6) Rest = 3

    Teilbarkeit durch 7

    Teilbarkeit durch 7 kann durch eine rekursive Methode getestet werden., Eine Zahl der Form 10x + y ist nur dann durch 7 teilbar, wenn x − 2y durch 7 teilbar ist. Mit anderen Worten, subtrahieren Sie zweimal die letzte Ziffer von der Zahl, die durch die verbleibenden Ziffern gebildet wird. Fahren Sie damit fort, bis eine Zahl erhalten wird, für die bekannt ist, ob sie durch 7 teilbar ist. Die ursprüngliche Zahl ist nur dann durch 7 teilbar, wenn die mit diesem Verfahren erhaltene Zahl durch 7 teilbar ist. Zum Beispiel die Nummer 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; da also -7 durch 7 teilbar ist, ist 371 durch 7 teilbar.,

    In ähnlicher Weise ist eine Zahl der Form 10x + y nur dann durch 7 teilbar, wenn x + 5y durch 7 teilbar ist. Addieren Sie also das Fünffache der letzten Ziffer zu der Zahl, die durch die verbleibenden Ziffern gebildet wird, und fahren Sie damit fort, bis eine Zahl erhalten wird, für die bekannt ist, ob sie durch 7 teilbar ist.

    Eine andere Methode ist die Multiplikation mit 3. Eine Zahl der Form 10x + y hat den gleichen Rest, wenn sie durch 7 geteilt wird wie 3x + y., Man muss die linke Ziffer der ursprünglichen Zahl mit 3 multiplizieren, die nächste Ziffer hinzufügen, den Rest nehmen, wenn er durch 7 geteilt wird, und von Anfang an fortfahren: Multiplizieren Sie mit 3, fügen Sie die nächste Ziffer hinzu usw. Zum Beispiel die Zahl 371: 3×3 + 7 = 16 × 2 und 2×3 + 1 = 7. Diese Methode kann verwendet werden, um den Rest der Division durch 7 zu finden.

    Diese Methode kann vereinfacht werden, indem die Notwendigkeit der Multiplikation entfällt. Alles, was bei dieser Vereinfachung erforderlich wäre, ist, sich die obige Sequenz (132645…), und zu addieren und zu subtrahieren, aber immer mit einstelligen Zahlen arbeiten.,

    Die Vereinfachung geht wie folgt vor:

    • Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl 371
    • Ändern Sie alle Vorkommen von 7, 8 oder 9 in 0, 1 bzw. In diesem Beispiel erhalten wir: 301. Dieser zweite Schritt kann mit Ausnahme der am weitesten links stehenden Ziffer übersprungen werden, die spätere Berechnung kann jedoch erleichtert werden.
    • Wandeln Sie nun die erste Ziffer (3) in der Folge 13264513 in die folgende Ziffer um… In unserem Beispiel wird 3 zu 2.,
    • Addieren Sie das Ergebnis im vorherigen Schritt (2) zur zweiten Ziffer der Zahl und ersetzen Sie das Ergebnis durch beide Ziffern, wobei alle verbleibenden Ziffern unverändert bleiben: 2 + 0 = 2. So wird 301 21.
    • Wiederholen Sie den Vorgang, bis Sie ein erkennbares Vielfaches von 7 oder eine Zahl zwischen 0 und 6 haben. Nehmen Sie also ab 21 (was ein erkennbares Vielfaches von 7 ist) die erste Ziffer (2) und konvertieren Sie sie in der obigen Reihenfolge in Folgendes: 2 wird 6. Fügen Sie dies dann zur zweiten Ziffer hinzu: 6 + 1 = 7.,
    • Wenn zu irgendeinem Zeitpunkt die erste Ziffer 8 oder 9 ist, werden diese zu 1 bzw. Aber wenn es eine 7 ist, sollte es 0 werden, nur wenn keine anderen Ziffern folgen. Andernfalls sollte es einfach fallen gelassen werden. Dies liegt daran, dass 7 zu 0 geworden wäre und Zahlen mit mindestens zwei Ziffern vor dem Dezimalpunkt nicht mit 0 beginnen, was nutzlos ist. Danach wird unsere 7 zu 0.

    Wenn Sie durch dieses Verfahren eine 0 oder ein erkennbares Vielfaches von 7 erhalten, ist die ursprüngliche Zahl ein Vielfaches von 7., Wenn Sie eine Zahl von 1 bis 6 erhalten, gibt dies an, wie viel Sie von der ursprünglichen Zahl subtrahieren sollten, um ein Vielfaches von 7 zu erhalten. Mit anderen Worten, Sie finden den Rest der Division der Zahl durch 7. Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl 186:

    • Ändern Sie zuerst die 8 in eine 1: 116.
    • Ändern Sie nun 1 in die folgende Ziffer in der Sequenz (3), fügen Sie sie der zweiten Ziffer hinzu und schreiben Sie das Ergebnis anstelle von beiden: 3 + 1 = 4. So wird 116 jetzt 46.
    • Wiederholen Sie den Vorgang, da die Zahl größer als 7 ist. Jetzt wird 4 zu 5, was zu 6 hinzugefügt werden muss. Das ist 11.,
    • Wiederholen Sie den Vorgang noch einmal: 1 wird 3, was zur zweiten Ziffer hinzugefügt wird (1): 3 + 1 = 4.

    Jetzt haben wir eine Zahl niedriger als 7, und diese Zahl (4) ist der Rest der Division 186/7. Also muss 186 minus 4, also 182, ein Vielfaches von 7 sein.

    Hinweis: Der Grund, warum dies funktioniert, ist, dass, wenn wir haben: a+b=c und b ist ein Vielfaches einer gegebenen Zahl n, dann produzieren a und c notwendigerweise den gleichen Rest, wenn sie durch n geteilt werden. 2 und 9 müssen also dieselbe Erinnerung haben, wenn sie durch 7 geteilt werden. Der Rest ist 2.,

    Wenn eine Zahl n ein Vielfaches von 7 ist (dh: Der Rest von n/7 ist 0), kann das Hinzufügen (oder Subtrahieren) von Vielfachen von 7 diese Eigenschaft nicht ändern.

    Wie oben für die meisten Teilbarkeitsregeln erläutert, subtrahiert dieses Verfahren einfach nach und nach ein Vielfaches von 7 von der ursprünglichen Zahl, bis eine Zahl erreicht ist, die klein genug ist, um uns daran zu erinnern, ob es sich um ein Vielfaches von 7 handelt. Wenn 1 in der folgenden Dezimalposition zu einer 3 wird, entspricht dies genau der Umwandlung von 10×10n in eine 3×10n., Und das ist tatsächlich dasselbe wie das Subtrahieren von 7×10n (eindeutig ein Vielfaches von 7) von 10×10n.

    Wenn Sie eine 3 in der folgenden Dezimalposition in eine 2 verwandeln, verwandeln Sie 30×10n in 2×10n, was dasselbe ist wie das Subtrahieren von 30×10n−28×10n, und dies subtrahiert wiederum ein Vielfaches von 7. Der gleiche Grund gilt für alle übrigen conversions:

    • 20×10n − 6×10n=14×10n
    • 60×10n − 4×10n=56×10n
    • 40×10n − 5×10n=35×10n
    • 50×10n − 1×10n=49×10n

    die Erste Methode, Beispiel
    1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. ANTWORT: 1050 ist durch 7 teilbar.,

    die Zweite Methode, Beispiel
    1050 → 0501 (reverse) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplizieren und addieren). ANTWORT: 1050 ist durch 7 teilbar.

    Vedische Methode der Teilbarkeit durch Berechnung
    Teilbarkeit durch sieben kann durch Multiplikation mit dem Ekhādika getestet werden. Konvertieren Sie den Divisor sieben in die Familie der Neunen, indem Sie mit sieben multiplizieren. 7×7=49. Fügen Sie eine hinzu, lassen Sie die Einheiten fallen und nehmen Sie die 5, die Ekhādika, als Multiplikator. Start rechts. Multiplizieren Sie mit 5 und fügen Sie das Produkt zur nächsten Ziffer links hinzu. Legen Sie dieses Ergebnis in einer Zeile unter dieser Ziffer fest., Wiederholen Sie diese Methode, um die Einheiten mit fünf zu multiplizieren und dieses Produkt zur Anzahl der Zehner hinzuzufügen. Fügen Sie das Ergebnis der nächsten Ziffer links hinzu. Notieren Sie das Ergebnis unter der Ziffer. Weiter bis zum Ende. Wenn das Endergebnis Null oder ein Vielfaches von sieben ist, ist die Zahl durch sieben teilbar. Ansonsten ist es nicht. Dies folgt dem vedischen Ideal, einzeilige Notation.,

    Vedisches Methodenbeispiel:

    Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES

    Pohlman–Massenmethode der Teilbarkeit durch 7
    Die Pohlman–Massenmethode bietet eine schnelle Lösung, mit der festgestellt werden kann, ob die meisten Ganzzahlen in drei Schritten oder weniger durch sieben teilbar sind. Diese Methode könnte in einem Mathematikwettbewerb wie MATHCOUNTS nützlich sein, bei dem die Zeit ein Faktor ist, um die Lösung ohne Taschenrechner in der Sprintrunde zu bestimmen.

    Schritt A: Wenn die Ganzzahl 1.000 oder weniger beträgt, subtrahieren Sie zweimal die letzte Ziffer von der Zahl, die durch die verbleibenden Ziffern gebildet wird., Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von sieben ist, dann ist es auch die ursprüngliche Zahl (und umgekehrt). Zum Beispiel:

    112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO

    Da 1,001 durch sieben teilbar ist, entwickelt sich ein interessantes Muster zum Wiederholen von Sätzen mit 1, 2 oder 3 Ziffern, die 6-stellige Zahlen bilden (führende Nullen sind zulässig), da alle diese Zahlen durch sieben teilbar sind. Beispiel:

    001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
    01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
    111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
    576,576 / 7 = 82,368

    Subtrahieren der ersten drei Ziffern von den letzten drei ergibt ein Vielfaches von sieben., Beachten Sie, dass führende Nullen ein 6-stelliges Muster bilden dürfen.

    Dieses Phänomen bildet die Grundlage für die Schritte B und C.

    Schritt B:Wenn die Ganzzahl zwischen 1.001 und einer Million liegt, finden Sie ein sich wiederholendes Muster mit 1, 2 oder 3 Ziffern, das eine 6-stellige Zahl bildet, die nahe an der Ganzzahl liegt (führende Nullen sind zulässig und können Ihnen bei der Visualisierung des Musters helfen). Wenn die positive Differenz weniger als 1.000 beträgt, wenden Sie Schritt A. Dies kann durch Subtrahieren der ersten drei Ziffern von den letzten drei Ziffern erfolgen., Zum Beispiel:

    341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES

    Die Tatsache, dass 999,999 ein Vielfaches von 7 ist, kann zur Bestimmung der Teilbarkeit von ganzen Zahlen größer als eine Million verwendet werden, indem die Ganzzahl auf eine 6-stellige Zahl reduziert wird, die mit Schritt B bestimmt werden kann B. Dies kann einfach durch Addieren der Ziffern links von den ersten sechs zu den letzten sechs erfolgen und mit Schritt A folgen.

    Schritt C:Wenn die Ganzzahl größer als eine Million ist, subtrahieren Sie das nächste Vielfache von 999,999 und wenden Sie noch größere zahlen, verwenden größere sätze wie 12-stellige (999,999,999,999) und so weiter., Teilen Sie dann die Ganzzahl in eine kleinere Zahl auf, die mit Schritt B gelöst werden kann.Zum Beispiel:

    22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES

    Dies ermöglicht das Addieren und Subtrahieren alternierender Sätze von drei Ziffern, um die Teilbarkeit durch sieben zu bestimmen.,ng Beispiele:

    Pohlman–Massenmethode der Teilbarkeit durch 7, Beispiele:

    Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
    Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
    Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
    Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)

    Multiplikation mit 3 Methode der Teilbarkeit durch 7, beispiele:

    Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
    Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
    Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES

    Der Rest einer Zahl wird geteilt durch 7

    Multiplizieren Sie die am weitesten rechts stehende Ziffer mit der am weitesten links stehenden Ziffer in der Sequenz und multiplizieren Sie die am zweithäufigsten rechts stehende Ziffer mit der am zweithäufigsten links stehenden Ziffer in der Sequenz und so weiter und so weiter., Berechnen Sie als Nächstes die Summe aller Werte und nehmen Sie den Modul von 7.
    Beispiel: Was ist der Rest, wenn 1036125837 durch 7 geteilt wird?,
    Multiplikation der Ziffer ganz rechts = 1 × 7 = 7
    Multiplikation der Ziffer ganz rechts = 3 × 3 = 9
    Ziffer ganz rechts = 8 × 2 = 16
    Ziffer ganz rechts = 5 × -1 = -5
    Ziffer ganz rechts = 2 × -3 = -6
    Ziffer ganz rechts = 1 × -2 = -2
    Ziffer ganz rechts = 6 × 1 = 6
    Ziffer ganz rechts = 3 × 3 = 9
    Ziffer ganz rechts = 0
    Ziffer ganz rechts digit = 1 × -1 = -1
    Sum = 33
    33 modul 7 = 5
    Rest = 5

    Digit pair methode der teilbarkeit durch 7

    Diese methode verwendet 1, -3, 2 muster auf die digit paare., Das heißt, die Teilbarkeit einer beliebigen Zahl durch sieben kann getestet werden, indem zuerst die Zahl in Ziffernpaare getrennt und dann der Algorithmus auf dreistellige Paare (sechsstellige) angewendet wird. Wenn die Zahl kleiner als sechs Ziffern ist, füllen Sie die Nullen auf der rechten Seite aus, bis sechs Ziffern vorhanden sind. Wenn die Zahl größer als sechs Ziffern ist, wiederholen Sie den Zyklus in der nächsten sechsstelligen Gruppe und fügen Sie die Ergebnisse hinzu. Wiederholen Sie den Algorithmus, bis das Ergebnis eine kleine Zahl ist. Die ursprüngliche Zahl ist genau dann durch sieben teilbar, wenn die mit diesem Algorithmus erhaltene Zahl durch sieben teilbar ist., Diese Methode ist besonders für große Zahlen geeignet.

    Beispiel 1:
    Die zu testende Nummer ist 157514.Zuerst trennen wir die Zahl in drei Ziffernpaare: 15, 75 und 14.
    Dann wenden wir den Algorithmus: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
    Da die resultierende Zahl kleiner als sechs Ziffern ist, addieren wir Nullen auf der rechten Seite, bis sie sechsstellig ist.
    Dann wenden wir unseren Algorithmus wieder an: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42
    Das Ergebnis -42 ist durch sieben teilbar, somit ist die ursprüngliche Zahl 157514 durch sieben teilbar.

    Beispiel 2:
    Die zu testende Nummer ist 15751537186.,
    (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
    Das Ergebnis -77 ist durch sieben teilbar, daher ist die ursprüngliche Zahl 15751537186 durch sieben teilbar.

    Eine weitere Ziffernpaarmethode der Teilbarkeit durch 7

    Methode

    Dies ist eine nicht-rekursive Methode, um den Rest durch eine Zahl beim Dividieren durch 7 zu finden:

    1. Trennen Sie die Zahl in Ziffernpaare, beginnend mit der Stelle. Stellen Sie die Zahl mit 0 voran, um das letzte Paar bei Bedarf zu vervollständigen.
    2. Berechnen Sie die Reste, die jedes Ziffernpaar beim Dividieren durch 7 übrig hat.,
    3. Multiplizieren Sie die Reste mit dem entsprechenden Multiplikator aus der Sequenz 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : der Rest aus dem Ziffernpaar, das aus einem Ort und einem zehnten Ort besteht, sollte mit 1 multipliziert werden, Hunderte und Tausende von 2, Zehntausende und Hunderttausende von 4, Millionen und zehn Millionen wieder von 1 und so weiter.
    4. Berechnen Sie die Reste, die jedes Produkt beim Dividieren durch 7 hinterlassen hat.
    5. Fügen Sie diese Reste.
    6. Der Rest der Summe, wenn geteilt durch 7 ist der Rest der gegebenen Zahl, wenn geteilt durch 7.,

    Zum Beispiel:

    Die Zahl 194,536 hinterlässt beim Teilen durch 7 einen Rest von 6.

    Die Zahl 510.517.813 hinterlässt beim Dividieren durch 7 einen Rest von 1.

    Nachweis der Korrektheit der Methode

    Die Methode basiert auf der Beobachtung, dass 100 einen Rest von 2 hinterlässt, wenn es durch 7 geteilt wird. Und da wir die Zahl in Ziffernpaare aufteilen, haben wir im Wesentlichen Potenzen von 100.,

    – 1 mod 7 = 1

    100 mod 7 = 2

    10,000 mod 7 = 2^2 = 4

    1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1

    10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2

    1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

    Und so weiter.

    Die Richtigkeit der Methode wird dann durch die folgende Gleichheitskette festgestellt:

    Sei N die gegebene Zahl a 2 n a 2 n − 1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\überstrichen {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}} .

    2 n 2 n − 1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\überstrichen {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}

    = mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}

    = ∑ k = 1 n ( a 2 k a 2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} (a_{2k} a_{2k-1}\mal 10^{2k-2}) {\bmod {7}}

    = ∑ k = 1 n ( a 2 k a 2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} (a_{2k} a_{2k-1} {\bmod {7}})\times (10^{2k-2} {\bmod {7}})}

    Teilbarkeit durch 13

    Multiplizieren Sie die am weitesten rechts stehende Ziffer der Zahl mit der am weitesten links stehenden Zahl in der oben gezeigten Reihenfolge und die zweitgrößte Ziffer rechts nach der zweitmeisten Ziffer links der Zahl in der Sequenz., Der Zyklus geht weiter.

    Beispiel: Was ist der Rest, wenn 321 durch 13 geteilt wird?
    Mit der ersten Sequenz,
    Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
    Rest = -17 mod 13 = 9

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