divisibilidade por 2
Em primeiro lugar, tome qualquer número (por exemplo, será 376) e anote o último algarismo no número, descartando os outros dígitos. Em seguida, pegue esse dígito (6), ignorando o resto do número e determinar se ele é divisível por 2. Se é divisível por 2, então o número original é divisível por 2.,
Exemplo
- 376 (O número original)
- 37 6 (Pegue o último dígito)
- 6 ÷ 2 = 3 (Verifique se o último dígito é divisível por 2)
- 376 ÷ 2 = 188 (Se o último dígito é divisível por 2, então o número é divisível por 2)
Divisibilidade por 3 ou 9
Primeiro, pegue qualquer número (para este exemplo será 492) e adicionar cada dígito do número (4 + 9 + 2 = 15). Então pegue essa soma (15) e determine se ela é divisível por 3. O número original é divisível por 3 (ou 9) se e somente se a soma de seus dígitos for divisível por 3 (ou 9).,
a Adição de dígitos de um número, e então repetindo o processo com o resultado, até que apenas um dígito permanece, vai dar o restante do número original se fosse dividido por nove (a menos que esse único dígito nove próprio, caso em que o número é divisível por nove e o restante é zero).,
isto pode ser generalizado a qualquer sistema posicional padrão, no qual o divisor em questão então se torna um a menos do que o radix; assim, na base-Doze, os dígitos irão adicionar até o restante do número original se dividido por onze, e os números são divisíveis por onze apenas se a soma dos dígitos é divisível por onze.
Se um número é uma multiplicação de 3 dígitos consecutivos idênticos em qualquer ordem, então esse número é sempre divisível por 3. Isto é útil para quando o número toma a forma de (n × (n − 1) × (n + 1))
exemplo.,
- 492 (o número original)
- 4 + 9 + 2 = 15 (adicionar cada dígito individual junto)
- 15 é divisível por 3 em que ponto podemos parar. Alternativamente, podemos continuar utilizando o mesmo método, se o número ainda é muito grande:
- 1 + 5 = 6 (Suplemento individual de cada dígito juntos)
- 6 ÷ 3 = 2 (Verifique se o número obtido é divisível por 3)
- 492 ÷ 3 = 164 (Se o número obtido usando a regra é divisível por 3, então o número é divisível por 3)
Exemplo.,
- 336 (O número original)
- 6 × 7 × 8 = 336
- 336 ÷ 3 = 112
Divisibilidade por 4
A regra básica para a divisibilidade por 4 é que, se o número formado pelos dois últimos algarismos de um número é divisível por 4, o número original é divisível por 4; isso é porque 100 é divisível por 4 e assim, a adição de centenas, milhares, etc. é simplesmente adicionar outro número que é divisível por 4. Se algum Número terminar num número de dois dígitos que você sabe ser divisível por 4 (por exemplo, 24, 04, 08, etc.,), então o número inteiro será divisível por 4, independentemente do que estiver antes dos dois últimos dígitos.
alternativamente, pode-se simplesmente dividir o número por 2, e então verificar o resultado para descobrir se ele é divisível por 2. Se for, o número original é divisível por 4. Além disso, o resultado deste teste é o mesmo que o número original dividido por 4.exemplo.,divisível por 4)
Alternativa exemplo
- 1720 (O número original)
- 1720 ÷ 2 = 860 (Divida o número por 2)
- 860 ÷ 2 = 430 (Verifique para ver se o resultado for divisível por 2)
- 1720 ÷ 4 = 430 (Se o resultado for divisível por 2, então o número é divisível por 4)
Divisibilidade por 5
Divisibilidade por 5 é facilmente determinada verificando o último dígito do número (475), e ver se ele é 0 ou 5., Se o último número for 0 ou 5, o número inteiro é divisível por 5.
Se o último algarismo do número for 0, então o resultado será os restantes algarismos multiplicados por 2. Por exemplo, o número 40 termina em um zero (0), então pegue os dígitos restantes (4) e multiplique isso por dois (4 × 2 = 8). O resultado é o mesmo que o resultado de 40 dividido por 5 (40/5 = 8).exemplo.,nal número dividido por 5)
Se o último dígito 5
- 85 (O número original)
- 8 5 (Tomar o último dígito do número e verificar se ele for 0 ou 5)
- 8 5 (Se for 5, pegue os dígitos restantes, descartando a última)
- 8 × 2 = 16 (Multiplique o resultado por 2)
- 16 + 1 = 17 (Adicione 1 ao resultado)
- 85 ÷ 5 = 17 (O resultado é o mesmo que o original número dividido por 5)
Divisibilidade por 6
Divisibilidade por 6 é determinado através da verificação do número original para ver se ele é um número par (divisível por 2) e divisível por 3., Este é o melhor teste a usar.se o número é divisível por seis, tome o número original (246) e divida-o por dois (246 ÷ 2 = 123). Então, pegue esse resultado e divida-o por três (123 ÷ 3 = 41). Este resultado é o mesmo que o número original dividido por seis (246 ÷ 6 = 41).exemplo.,
regra Geral
- 324 (O número original)
- 324 ÷ 3 = 108 (Verifique para ver se o número é divisível por 3)
- 324 ÷ 2 = 162 OU 108 ÷ 2 = 54 (Verifique se o número original ou o resultado da equação anterior é divisível por 2)
- 324 ÷ 6 = 54 (Se qualquer um dos testes na última etapa são verdadeiras, então o número é divisível por 6., Além disso, o resultado do segundo teste retorna o mesmo resultado que o número original dividido por 6)
Encontrar um resto de um número quando dividido por 6 (1, -2, -2, -2, -2, e -2 passa para o resto) Nenhum período. — Sequência de magnitude mínima(1, 4, 4, 4, 4, e 4 continua para o resto) — a sequência positiva multiplica o dígito mais Direito pelo dígito mais esquerdo da sequência e multiplica o segundo dígito mais Direito pelo segundo dígito mais esquerdo da sequência e assim por diante. Em seguida, calcule a soma de todos os valores e tome o restante na divisão por 6., exemplo :Qual é o restante quando 1036125837 é dividido por 6? Multiplicação do dígito mais à direita = 1 × 7 = 7 Multiplicação do segundo dígito mais à direita = 3 × -2 = -6 Terceiro dígito mais à direita = -16 Quarto dígito mais à direita = -10 Quinto dígito mais à direita = -4 Sexto dígito mais à direita = -2 Sétimo dígito mais à direita = -12 Oitavo dígito mais à direita = -6 Nono dígito mais à direita = 0 Décimo dígito mais à direita = -2 Soma = -51 -51 ≡ 3 (mod 6) Resto = 3
Divisibilidade por 7
Divisibilidade por 7 pode ser testada através de um método recursivo., Um número da forma 10x + y é divisível por 7 se e somente se x-2y é divisível por 7. Por outras palavras, subtrai duas vezes o último algarismo do número formado pelos restantes algarismos. Continue a fazer isso até que um número seja obtido para o qual se sabe se é divisível por 7. O número original é divisível por 7 se e somente se o número obtido através deste procedimento for divisível por 7. Por exemplo, o número 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; assim, uma vez que -7 é divisível por 7, 371 é divisível por 7.,
similarmente um número da forma 10x + y é divisível por 7 se e somente se x + 5y é divisível por 7. Então adicione cinco vezes o último dígito ao número formado pelos dígitos restantes, e continue a fazer isso até que um número seja obtido para o qual se sabe se é divisível por 7.
outro método é a multiplicação por 3. Um número da forma 10x + y tem o mesmo restante quando dividido por 7 como 3x + y., Deve-se multiplicar o algarismo mais à esquerda do número original por 3, adicionar o algarismo seguinte, tomar o restante quando dividido por 7, e continuar desde o início: multiplicar por 3, adicionar o algarismo seguinte, etc. Por exemplo, o número 371: 3×3 + 7 = 16 restante 2, e 2×3 + 1 = 7. Este método pode ser usado para encontrar o restante da divisão por 7.
Este método pode ser simplificado através da remoção da necessidade de multiplicar. Com esta simplificação, basta memorizar a sequência acima (132645…), e para adicionar e subtrair, mas sempre trabalhando com números de um dígito.,
a simplificação é a seguinte:
- Tome, por exemplo, o número 371
- altera todas as ocorrências de 7, 8 ou 9 em 0, 1 e 2, respectivamente. Neste exemplo, temos: 301. Este segundo passo pode ser ignorado, exceto para o dígito mais esquerdo, mas seguindo ele pode facilitar cálculos mais tarde.
- Agora converta o primeiro dígito (3) para o seguinte dígito na sequência 13264513… No nosso exemplo, 3 torna-se 2.,
- adicione o resultado no passo anterior (2) ao segundo dígito do número, e substitua o resultado por ambos os dígitos, deixando todos os restantes dígitos não modificados: 2 + 0 = 2. Então o 301 torna-se 21.repita o procedimento até que tenha um múltiplo reconhecível de 7, ou para ter a certeza, um número entre 0 e 6. Assim, a partir de 21 (que é um múltiplo reconhecível de 7), pegue o primeiro dígito (2) e converta-o no seguinte na sequência acima: 2 torna-se 6. Em seguida, adicione isso ao segundo dígito: 6 + 1 = 7.,se em qualquer ponto o primeiro dígito for 8 ou 9, estes tornam-se 1 ou 2, respectivamente. Mas se for um 7 deve tornar-se 0, apenas se nenhum outro dígito seguir. Caso contrário, deve simplesmente ser retirado. Isto é porque 7 teria se tornado 0, e números com pelo menos dois dígitos antes do ponto decimal não começam com 0, o que é inútil. De acordo com isto, o nosso 7 torna-se 0.
se através deste procedimento você obter um 0 ou qualquer múltiplo reconhecível de 7, então o número original é um múltiplo de 7., Se você obter qualquer número de 1 a 6, que irá indicar quanto você deve subtrair do número original para obter um múltiplo de 7. Em outras palavras, você vai encontrar o restante de dividir o número por 7. Por exemplo, tome o número 186:
- primeiro, mude o 8 para um 1: 116.
- agora, mude 1 para o seguinte dígito na sequência (3), Adicione-o ao segundo dígito, e escreva o resultado em vez de ambos: 3 + 1 = 4. Então 116 torna-se agora 46.
- repita o procedimento, uma vez que o número é superior a 7. Agora, 4 torna-se 5, que deve ser adicionado a 6. São 11.,repetir o procedimento mais uma vez: 1 torna-se 3, que é adicionado ao segundo dígito (1): 3 + 1 = 4.
Agora temos um número inferior a 7, e este número (4) é o restante da divisão 186/7. Então 186 menos 4, que é 182, deve ser um múltiplo de 7.
Nota: A razão pela qual isso funciona é que, se temos: a+b=c e b é um múltiplo de qualquer número n, então a e c será, necessariamente, produzir o mesmo resto quando divididos por n. Em outras palavras, em 2 + 7 = 9, 7 é divisível por 7. Então 2 e 9 devem ter o mesmo lembrete quando divididos por 7. O restante é 2.,
portanto, se um número N é um múltiplo de 7( ou seja: o restante de n / 7 é 0), então adicionando (ou subtraindo) múltiplos de 7 não pode mudar essa propriedade.
O Que este procedimento faz, como explicado acima para a maioria das regras de divisibilidade, é simplesmente subtrair pouco a pouco múltiplos de 7 do número original até alcançar um número que é pequeno o suficiente para nos lembrarmos se é um múltiplo de 7. Se 1 se tornar um 3 na seguinte posição decimal, isso é exatamente o mesmo que Converter 10×10n em um 3×10n., E que, na verdade, é o mesmo que subtrair 7×10n (claramente um múltiplo de 7) a partir de 10×10n.
da mesma forma, quando você virar um 3 em um 2 na seguinte posição decimal, você está virando 30×10n em 2×10n, que é o mesmo que subtrair 30×10n−28×10n, e este é novamente subtraindo um múltiplo de 7. A mesma razão aplica-se para todas as demais conversões:
- 20×10n − 6×10n=14×10n
- 60×10n − 4×10n=56×10n
- 40×10n − 5×10n=35×10n
- 50×10n − 1×10n=49×10n
Primeiro exemplo do método
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. Resposta: 1050 é divisível por 7.,
Second method example
1050 → 0501 (reverse) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicar e adicionar). Resposta: 1050 é divisível por 7.
Vedic method of divisibility by osculation
Divisibility by seven can be tested by multiplication by the Ekhādika. Converte o divisor sete para a família noves multiplicando-o por sete. 7×7=49. Adicione um, largue o dígito das unidades e, pegue o 5, O Ekhādika, como o Multiplicador. Começa pela direita. Multiplicar por 5, adicionar o produto ao próximo dígito à esquerda. Estabelece esse resultado numa linha abaixo desse dígito., Repita este método de multiplicação do algarismo das unidades por cinco e adicione esse produto ao número de dezenas. Adicione o resultado ao dígito seguinte à esquerda. Anote esse resultado abaixo do dígito. Continua até ao fim. Se o resultado final é zero ou um múltiplo de sete, então sim, o número é divisível por sete. Caso contrário, não é. Isto segue o ideal védico, notação de uma linha.,
Védica método de exemplo:
Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES
Pohlman Massa–método de divisibilidade por 7
A Pohlman Massa–método fornece uma solução rápida, que pode determinar se a maioria dos números inteiros são divisíveis por sete em três passos ou menos. Este método poderia ser útil em uma competição de matemática, como os números matemáticos, onde o tempo é um fator para determinar a solução sem uma calculadora na rodada Sprint.
passo a: se o número inteiro for igual ou inferior a 1000, subtraia o dobro do último algarismo do número formado pelos restantes algarismos., Se o resultado é um múltiplo de sete, então também é o número original (e vice-versa). Por exemplo:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO
Devido a 1,001 é divisível por sete, um padrão interessante desenvolve para a repetição de conjuntos de 1, 2 ou 3 dígitos 6 dígitos (zeros à esquerda são permitidos) em que todos os números são divisíveis por sete. Por exemplo:
001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
Para todos os exemplos acima, subtraindo os três primeiros dígitos do último três resultados em um múltiplo de sete., Note que os zeros iniciais são autorizados a formar um padrão de 6 dígitos.
Este fenómeno forma a base para os passos B E C.
Passo B:Se o inteiro estiver entre 1001 e 1 milhão, encontre um padrão repetitivo de 1, 2 ou 3 dígitos que formem um número de 6 dígitos que esteja próximo do inteiro (os zeros iniciais são permitidos e podem ajudá-lo a visualizar o padrão). Se a diferença positiva for inferior a 1000, aplique o passo A. Isto pode ser feito subtraindo os três primeiros dígitos dos últimos três dígitos., Por exemplo:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES
O fato de que 999,999 é um múltiplo de 7 pode ser utilizado para determinar a divisibilidade dos números inteiros maiores do que um milhão reduzindo o número inteiro para um número de 6 dígitos que pode ser determinado usando-se o Passo B. Isso pode ser feito facilmente adicionando os dígitos à esquerda das seis primeiras para as últimas seis e seguir com o Passo a.
a Etapa C:Se o número inteiro maior do que um milhão, subtrair o múltiplo mais próximo de 999,999 e, em seguida, aplique o Passo B. até mesmo Para números maiores, o uso de conjuntos maiores, tais como a de 12 dígitos (999,999,999,999) e assim por diante., Então, quebre o inteiro em um número menor que pode ser resolvido usando o PASSO B. Por exemplo:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES
Isto permite adicionar e subtrair conjuntos alternados de três dígitos para determinar a divisibilidade por sete.,ng exemplos:
Pohlman Massa–método de divisibilidade por 7, exemplos:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES
a Multiplicação por 3 método de divisibilidade por 7, exemplos:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES
Encontrar restante de um número quando dividido por 7
Multiplique o direito dígito mais a esquerda, mais dígitos em sequência e multiplicar a segunda à direita, mais dígitos por segundo dígito mais a esquerda na sequência e assim por diante e assim por diante., Em seguida, calcule a soma de todos os valores e tome o módulo de elasticidade de 7.exemplo: Qual é o restante quando 1036125837 é dividido por 7?,
Multiplicação do dígito mais à direita = 1 × 7 = 7
Multiplicação do segundo dígito mais à direita = 3 × 3 = 9
Terceiro dígito mais à direita = 8 × 2 = 16
Quarto dígito mais à direita = 5 × -1 = -5
Quinto dígito mais à direita = 2 × -3 = -6
Sexto dígito mais à direita = 1 × -2 = -2
Sétimo dígito mais à direita = 6 × 1 = 6
o Oitavo dígito mais à direita = 3 × 3 = 9
o Nono dígito mais à direita = 0
Décimo dígito mais à direita = 1 × -1 = -1
Soma = 33
33 módulo 7 = 5
Resto = 5
par de Dígitos método de divisibilidade por 7
Este método utiliza 1, -3, 2 padrão a pares de dígitos., Isto é, a divisibilidade de qualquer número por sete pode ser testada separando primeiro o número em pares de dígitos, e depois aplicando o algoritmo em três pares de dígitos (seis dígitos). Quando o número é menor que seis dígitos, então preencha zero para o lado direito até que haja seis dígitos. Quando o número é maior que seis dígitos, em seguida, repetir o ciclo no próximo grupo de seis dígitos e, em seguida, adicionar os resultados. Repita o algoritmo até que o resultado seja um pequeno número. O número original é divisível por sete se e somente se o número obtido usando este algoritmo for divisível por sete., Este método é especialmente adequado para grandes números.
exemplo 1:
O número a ser testado é 157514.Primeiro separamos o número em três pares de dígitos: 15, 75 e 14.então aplicamos o algoritmo: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
como o resultado 182 é menos de seis dígitos, adicionamos zero ao lado direito até que seja seis dígitos.depois aplicamos o nosso algoritmo outra vez.: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42
O resultado -42 é divisível por sete, assim o número original 157514 é divisível por sete.
Exemplo 2:
O número a ser testado é 15751537186.,
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
O resultado -77 é divisível por sete, assim, o número original 15751537186 é divisível por sete.
Outro dígito par de método de divisibilidade por 7
Método
Este é um método não-recursivo para encontrar o resto por um número na divisão por 7:
- Separado o número de pares de dígitos, começando a partir daqueles lugar. Prepare o número com 0 para completar o par final, se necessário.
- Calcule os restos deixados por cada par de algarismos ao dividir-se por 7.,
- Multiplicar os restos com o multiplicador apropriado da seqüência 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : o restante do par de dígitos, consistindo de lugar e dezenas lugar deve ser multiplicado por 1, centenas e milhares por 2, dez milhares e centenas de milhares por 4 milhões e dez milhões de novamente por 1, e assim por diante.calcular os restos deixados por cada produto dividindo-os por 7.adicione estes restos.
- o restante da soma quando dividido por 7 é o restante do número dado quando dividido por 7.,
Por exemplo:
O número de 194,536 deixa um resto de 6 na divisão por 7.
O número 510,517,813 deixa um resto de 1 ao dividir-se por 7.
prova da correcção do método
o método baseia-se na observação de que 100 deixa um remanescente de 2 quando dividido por 7. E já que estamos dividindo o número em pares de dígitos, essencialmente temos poderes de 100.,
1 mod 7 = 1
100 mod 7 = 2
10,000 mod 7 = 2^2 = 4
1.000.000 de mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1
10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2
1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4
E assim por diante.
a correção do método é então estabelecida pela seguinte cadeia de igualdades:
Let N be the given number a 2 N A 2 n − 1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}}.
a 2 N A 2 n – 1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}
= 7 mod {\displaystyle {\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n 2 k 2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2 k-2}){\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n 2 k 2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\vezes (10^{2 k-2}{\bmod {7}})}
Divisibilidade por 13
Multiplique o direito mais dígitos do número de esquerda, a maioria número na seqüência mostrada acima e o segundo dígito mais a direita para o segundo dígito mais a esquerda do número na seqüência., O ciclo continua.exemplo: Qual é o restante quando 321 é dividido por 13?usando a primeira sequência, Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
restante = -17 mod 13 = 9