Número (Português)

Brahmagupta do Brāhmasphuṭasiddhānta é o primeiro livro que menciona zero como um número, portanto, Brahmagupta é geralmente considerado o primeiro a formular o conceito de zero. Ele deu regras de usar zero com números negativos e positivos, como “zero Mais um número positivo é um número positivo, e um número negativo mais zero é o número negativo.,”O Brāhmasphuṭasiddhānta é o mais antigo conhecido de texto para tratar a zero como um número em seu próprio direito, e não simplesmente como um marcador de posição de dígitos para a representação de um outro número, como foi feito pelos Babilônios ou como símbolo da falta de quantidade, como foi feito por Ptolomeu, e os Romanos.

a utilização de 0 como um número deve ser distinguida da sua utilização como um número de substituição em sistemas de valores-lugar. Muitos textos antigos usavam 0. Textos babilônicos e Egípcios o usavam. Os egípcios usaram a palavra nfr para denotar o saldo zero na contabilidade de entradas duplas., Textos indianos usaram uma palavra sânscrita Shunye ou shunya para se referir ao conceito de vazio. Em textos matemáticos esta palavra frequentemente se refere ao número zero. Em uma veia similar, Pāiniini (século V a. C.) usou o operador nulo (zero) no Ashtadhyayi, um exemplo inicial de uma gramática algébrica para a língua sânscrita (também ver Pingala).

existem outros usos de zero antes de Brahmagupta, embora a documentação não seja tão completa quanto na Brāhmasphuṭasiddhānta.,

registros mostram que os gregos antigos pareciam inseguros sobre o status de 0 como um número: eles se perguntaram “Como pode ‘nada’ ser algo?”levando a interessantes argumentos filosóficos e, pelo período Medieval, religiosos sobre a natureza e existência de 0 e o vácuo. Os paradoxos de Zenão de Elea dependem em parte da interpretação incerta de 0. (Os gregos antigos até questionaram se 1 era um número.,)

O último povo Olmeca do centro-sul do México começou a usar um símbolo para zero, um glifo de concha, no novo mundo, possivelmente no século IV a. C., mas certamente por 40 a. C., que se tornou parte integrante dos numerais maias e do calendário Maia. A aritmética Maia usou a base 4 e a base 5 escrita como base 20. George I. Sánchez em 1961 relatou uma base 4, base 5 “finger” abacus.por 130 D. C., Ptolomeu, influenciado por Hiparco e os babilônios, estava usando um símbolo para 0 (um pequeno círculo com uma barra longa) dentro de um sistema numérico sexagesimal, caso contrário usando Numerais gregos alfabéticos., Porque foi usado sozinho, não apenas como um substituto, este zero helenístico foi o primeiro uso documentado de um verdadeiro zero no Velho Mundo. Nos manuscritos bizantinos posteriores de sua sintaxe Mathematica (Almagest), o zero helenístico se transformou na letra grega Omicron (ou seja, 70).

outro verdadeiro zero foi usado em tabelas ao lado de números romanos por 525 (primeiro uso conhecido por Dionísio Exiguus), mas como uma palavra, nulla não significa nada, não como um símbolo. Quando a divisão produziu 0 como um restante, nihil, também significando nada, foi usado., Estes zeros medievais foram usados por todos os futuros computistas medievais (calculadoras da Páscoa). Um uso isolado de seu inicial, N, foi usado em uma tabela de números romanos por Beda ou um colega por volta de 725, um verdadeiro símbolo zero.

números Negativos Editar

O conceito abstrato de números negativos foi reconhecido como cedo 100-50 A.C. na China. Os nove capítulos sobre a arte matemática contêm métodos para encontrar as áreas de figuras; barras vermelhas foram usadas para denotar coeficientes positivos, preto para negativo., A primeira referência em uma obra Ocidental foi no século III d. C. na Grécia. Diofanto refere-se à equação equivalente a 4x + 20 = 0 (a solução é negativa) em Arithmetica, dizendo que a equação deu um resultado absurdo.

durante os 600s, números negativos estavam em uso na Índia para representar dívidas. A referência anterior de Diofanto foi discutida mais explicitamente pelo matemático indiano Brahmagupta, em Brāhmasphuṭasiddhānta em 628, que usou números negativos para produzir a fórmula quadrática que permanece em uso hoje., No entanto, no século XII, na Índia, Bhaskara dá raízes negativas para equações quadráticas, mas diz que o valor negativo “neste caso não deve ser tomado, pois é inadequado; as pessoas não aprovam raízes negativas”.matemáticos europeus, na maior parte, resistiram ao conceito de números negativos até o século XVII, embora Fibonacci tenha permitido soluções negativas em problemas financeiros onde poderiam ser interpretadas como dívidas (Capítulo 13 de Liber Abaci, 1202) e mais tarde como perdas (em Flos)., Ao mesmo tempo, os chineses indicavam números negativos desenhando um traço diagonal através do algarismo não-zero mais à direita do algarismo positivo correspondente. O primeiro uso de números negativos em uma obra europeia foi feito por Nicolas Chuquet durante o século XV. Ele os usou como expoentes, mas se referiu a eles como”números absurdos”.

tão recentemente quanto o século XVIII, era prática comum ignorar quaisquer resultados negativos retornados por equações na suposição de que eles eram sem sentido, assim como René Descartes fez com soluções negativas em um sistema de coordenadas cartesianas.,

Números Racionais editam

é provável que o conceito de números fracionais data de tempos pré-históricos. Os antigos egípcios usavam sua notação de fração egípcia para números racionais em textos matemáticos como o papiro matemático Rhind e o papiro Kahun. Matemáticos gregos e indianos fizeram estudos da teoria dos números racionais, como parte do Estudo Geral da teoria dos números. O mais conhecido destes são os elementos de Euclides, datando de aproximadamente 300 a. C., Dos textos indianos, o mais relevante é o Sutra Sthananga, que também cobre a teoria dos números como parte de um estudo geral da matemática.

O conceito de frações decimais está intimamente ligado com a notação decimal do valor da casa; os dois parecem ter-se desenvolvido em conjunto. Por exemplo, é comum para o sutra de matemática Jain incluir cálculos de aproximações de fração decimal para pi ou a raiz quadrada de 2. Similarmente, textos matemáticos babilônicos usavam frações sexagesimais (base 60) com grande frequência.,

Números Irracionais editam

o uso mais antigo conhecido de Números Irracionais foi no Sulba Sutras indiano composto entre 800 e 500 a. C. As primeiras provas da existência de números irracionais são geralmente atribuídas a Pitágoras, mais especificamente ao Hipásamo pitagórico de Metapontum, que produziu uma prova (geométrica mais provável) da irracionalidade da raiz quadrada de 2. Diz-se que Hipasus descobriu Números Irracionais ao tentar representar a raiz quadrada de 2 como uma fração., No entanto, Pitágoras acreditava na absolutez dos números, e não podia aceitar a existência de Números Irracionais. Ele não podia refutar a sua existência através da lógica, mas ele não podia aceitar números irracionais, e assim, alegadamente e frequentemente relatado, ele condenou Hipasus à morte por afogamento, para impedir a propagação desta notícia desconcertante.o século XVI trouxe a aceitação final europeia dos números integrais negativos e fraccionais. No século XVII, matemáticos geralmente usavam frações decimais com notação moderna., Não foi, no entanto, até o século XIX que os matemáticos separaram as irracionais em partes algébricas e transcendentais, e mais uma vez empreenderam o estudo científico das irracionais. Tinha permanecido quase dormente desde Euclides. Em 1872, a publicação das teorias de Karl Weierstrass (por seu pupilo E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor e Richard Dedekind foi realizada. Em 1869, Carlos Méry tinha tomado o mesmo ponto de partida que Heine, mas a teoria é geralmente referida ao ano de 1872., O método de Weierstrass foi completamente estabelecido por Salvatore Pincherle (1880), e Dedekind recebeu destaque adicional através da obra posterior do autor (1888) e endosso por Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor e Heine baseiam suas teorias em séries infinitas, enquanto Dedekind baseia sua ideia de um corte (Schnitt) no sistema de números reais, separando todos os números racionais em dois grupos com certas propriedades características. O assunto recebeu contribuições posteriores nas mãos de Weierstrass, Kronecker e Meray.,

a busca por raízes de equações de grau quintico e superior foi um desenvolvimento importante, o teorema de Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) mostrou que eles não poderiam ser resolvidos por radicais (fórmulas envolvendo apenas operações aritméticas e raízes). Portanto, era necessário considerar o conjunto mais amplo de números algébricos (todas as soluções para equações polinomiais). Galois (1832) linked polynomial equations to group theory giving rise to the field of Galois theory.,

Continua frações, intimamente relacionado com números irracionais (e, devido a Cataldi, 1613), recebeu atenção nas mãos de Euler, e na abertura do século 19, foram colocados em destaque através dos escritos de Joseph Louis Lagrange. Outras contribuições notáveis foram feitas por Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) e Günther (1872). Ramus primeiro conectou o assunto com determinantes, resultando, com as contribuições subsequentes de Heine, Möbius e Günther, na teoria de Kettenbruchdeterminanten.,

números transcendentais e reais editam

a existência de números transcendentais foi estabelecida pela primeira vez por Liouville (1844, 1851). Hermita provou em 1873 que e é transcendental e Lindemann provou em 1882 que π é transcendental. Finalmente, Cantor mostrou que o conjunto de todos os números reais é infinito incontável, mas o conjunto de todos os números algébricos é infinito contável, então há um número infinito incontável de números transcendentais.,

o Infinito e infinitesimais Editar

O mais antigo conhecido concepção de matemática do infinito aparece no Yajur Veda, um antigo Indiano script, que em um ponto afirma que, “Se você remover uma parte do infinito ou adicionar uma parte para o infinito, ainda que permanece é infinito.”Infinity was a popular topic of philosophical study among the Jain mathematicians C. 400 BC. Eles se distinguiram entre cinco tipos de infinito: infinito em uma e duas direções, infinito em área, infinito em toda parte, e infinito perpetuamente.,Aristóteles definiu a noção Ocidental tradicional do infinito matemático. Ele distinguiu entre o infinito real e o infinito potencial—o consenso geral é que apenas este último tinha valor verdadeiro. As duas novas ciências de Galileu Galilei discutiram a ideia de correspondências entre conjuntos infinitos. Mas o próximo grande avanço na teoria foi feito por Georg Cantor; em 1895 ele publicou um livro sobre sua nova teoria dos conjuntos, introduzindo, entre outras coisas, números transfinitos e formulando a hipótese do continuum.,

na década de 1960, Abraham Robinson mostrou como números infinitamente grandes e infinitesimais podem ser rigorosamente definidos e usados para desenvolver o campo da análise não-padrão. O sistema de hyperreal números representa um rigoroso método de tratar as idéias sobre o infinito e o infinitesimal números que tinham sido usados casualmente por matemáticos, cientistas e engenheiros que, desde a invenção do cálculo infinitesimal por Newton e Leibniz.,uma versão geométrica moderna do Infinito é dada pela geometria projetiva, que introduz “pontos ideais no infinito”, um para cada direção espacial. Cada família de linhas paralelas em uma determinada direção é postulada para convergir para o ponto ideal correspondente. Isto está intimamente relacionado com a idéia de pontos de Desaparecimento no desenho de perspectiva.,

números Complexos Editar

Os primeiros fugaz referência para as raízes quadradas de números negativos ocorreram na obra do matemático e inventor Heron de Alexandria, no século 1 d.c., quando ele considera o volume de um impossível frustrum de uma pirâmide. Tornaram-se mais proeminentes quando, no século XVI, fórmulas fechadas para as raízes dos polinômios de terceiro e quarto graus foram descobertas por matemáticos italianos como Niccolò Fontana Tartaglia e Gerolamo Cardano., Logo se percebeu que essas fórmulas, mesmo que só se interessasse por soluções reais, às vezes exigiam a manipulação de raízes quadradas de números negativos.

isso foi duplamente perturbador, uma vez que eles nem mesmo consideram números negativos para estar em terreno firme na época. Quando René Descartes cunhou o termo “imaginário” para estas quantidades em 1637, ele o quis como pejorativo. (See imaginary number for a discussion of the “reality” of complex numbers.,) Uma outra fonte de confusão foi que a equação

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

parecia caprichosamente inconsistente com o algébrica de identidade

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

o que é válido para números reais positivos a e b, e também foi usado no número complexo cálculos com um de a, b positivo e o outro negativo., O uso incorrecto desta identidade e a identidade relacionada

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{A}}}}}}}

no caso em que tanto a como b são negativos Euler bedeviled. Esta dificuldade eventualmente levou-o à Convenção de usar o símbolo especial i no lugar de-1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} para se proteger contra este erro.o século XVIII assistiu à obra de Abraham De Moivre e Leonhard Euler., De Moivre da fórmula (1730) afirma que:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

enquanto Euler a fórmula de análise complexa (1748) nos deu:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }. a existência de números complexos não foi completamente aceita até que Caspar Wessel descreveu a interpretação geométrica em 1799., Carl Friedrich Gauss redescobriu-o e popularizou-o vários anos depois, e como resultado a teoria dos números complexos recebeu uma notável expansão. A ideia da representação gráfica dos números complexos tinha aparecido, no entanto, já em 1685, no de Algebra tractatus de Wallis.

também em 1799, Gauss forneceu a primeira prova geralmente aceita do teorema fundamental da álgebra, mostrando que todo polinômio sobre os números complexos tem um conjunto completo de soluções nesse domínio., A aceitação geral da teoria dos números complexos é devido aos trabalhos de Augustin Louis Cauchy e Niels Henrik Abel, e especialmente este último, que foi o primeiro a ousadamente usar números complexos com um sucesso que é bem conhecido.

Gauss estudou números complexos da forma a + bi, onde a e b são integrais, ou racionais (e I é uma das duas raízes de x2 + 1 = 0). Seu aluno, Gotthold Eisenstein, estudou o tipo a + bw, onde ω é uma raiz complexa de x3 – 1 = 0., Outras classes (chamado de cyclotomic campos) de números complexos derivam das raízes da unidade xk − 1 = 0 para valores mais altos de k. Esta generalização é em grande parte devido a Ernst Kummer, que também inventou o ideal números, que foram designados como entidades geométricas por Felix Klein, em 1893.em 1850, Victor Alexandre Puiseux deu o passo fundamental da distinção entre pólos e pontos de ramo, e introduziu o conceito de pontos singulares essenciais. Isto eventualmente levou ao conceito do plano complexo estendido.,

números primos editar

números primos foram estudados ao longo da história registada. Euclides dedicou um livro dos elementos à teoria dos primos; nele ele provou a infinitude dos primos e o teorema fundamental da aritmética, e apresentou o algoritmo euclidiano para encontrar o maior divisor comum de dois números.em 240 A. C., Eratóstenes usaram o crivo de Eratóstenes para isolar rapidamente os números primos. Mas a maior parte do desenvolvimento da teoria dos primes na Europa Data do Renascimento e de eras posteriores.,

em 1796, Adrien-Marie Legendre conjecturou o teorema do número primo, descrevendo a distribuição assintótica de primos. Outros resultados relativos à distribuição dos primes incluem a prova de Euler de que a soma dos recíprocos dos primes diverge, e a conjectura de Goldbach, que afirma que qualquer número par suficientemente grande é a soma de dois primos. Outra conjectura relacionada à distribuição de números primos é a hipótese de Riemann, formulada por Bernhard Riemann em 1859., O teorema dos números primos foi finalmente provado por Jacques Hadamard e Charles De la Vallée-Poussin em 1896. As conjecturas de Goldbach e Riemann permanecem não provadas e não refutadas.