Bjelker kan variere sterkt i sin geometri og sammensetning. For eksempel, det er en bjelke kan være rett eller buet. Det kan være i konstant tverrsnitt, eller det kan taper. Det kan være i sin helhet laget av det samme materialet (homogen), eller det kan være sammensatt av ulike materialer (kompositt). Noen av disse tingene gjør analyse vanskelig, men mange tekniske anvendelser omfatte tilfeller som ikke er så komplisert., Analysen er forenklet hvis:
- strålen er opprinnelig en rett, og alle taper er liten
- strålen opplevelser bare lineær elastisk deformasjon
- strålen er slank (lengde / høyde-forholdet er større enn 10)
- Bare små deflections er vurdert (maks utslag mindre enn 1/10 av span).,
I dette tilfellet, den ligningen som regulerer strålens nedbøyning ( w {\displaystyle w} ) kan tilnærmes som:
d 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
hvor den andre deriverte av sin avledet form med hensyn til x {\displaystyle x} er tolket som sin kurvatur, E {\displaystyle E} er youngs modulus, jeg {\displaystyle jeg} er området treghetsmoment av tverrsnittet, og M {\displaystyle M} er interne bøyemoment i strålen.,
Hvis, i tillegg strålen ikke er konisk og er homogen, og er påvirket av en fordelt last q {\displaystyle q} , ovenfor uttrykket kan skrives som:
E i d 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
Denne ligningen kan løses for et utvalg av laste-og grensebetingelser. En rekke enkle eksempler er vist nedenfor. Formlene som kommer til uttrykk er anslag som er utviklet for lang, tynn, homogen, prismatisk bjelker med små deflections, og lineært elastiske egenskaper., Under disse restriksjoner, tilnærming bør gi resultater innenfor 5% av den faktiske utslag.
Cantilever beamsEdit
Cantilever stråler har en ende fast, slik at skråningen og nedbøyning på slutten må være null.
Skjematisk av nedbøyning av en cantilever bredde.,div>
End-lagt cantilever beamsEdit
Cantilever strålen med en kraft på den frie enden
δ B = F L 3 3 E i {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}} ϕ B = F L 2 2 E i {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}
hvor
F {\displaystyle F} = Kraften som virker på tuppen av strålen L {\displaystyle L} = Lengde bredde (span) E {\displaystyle E} = Elastisitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = Areal treghetsmoment av strålens tverrsnitt
vær Oppmerksom på at hvis span dobler, nedbøyning øker åttedelte.,e strålen E {\displaystyle E} = Elastisitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = – Området treghetsmoment av tverrsnitt
utslag på noe punkt, x {\displaystyle x} , langs span av et jevnt lagt utkragede strålen kan beregnes ved hjelp av følgende:
δ x = q x 2 24 E i ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})} ϕ x = q x 6 E I ( 3 L 2 − 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}
Enkelt-støttet beamsEdit
rett og Slett-støttet bjelker ha støtter opp under deres ender som tillater rotasjon, men ikke utslag.,
Skjematisk av nedbøyning av en enkelt støttes bredde.,iv – >
Den maksimale elastisk utslag på en bjelke som støttes av to enkle støtter, som er lagt i en avstand a {\displaystyle a} fra den nærmeste støtte, er gitt ved:
δ m a x = F ( L 2 − 2 ) 3 / 2 9 3 L E i {\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-en^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
hvor
F {\displaystyle F} = Kraften som virker på strålen L {\displaystyle L} = Lengde bredde mellom den støtter E {\displaystyle E} = Elastisitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = – Området treghetsmoment av tverrsnitt a {\displaystyle a} = Avstand fra legg til nærmeste support (jeg.,den.,jeg kan beregnes ved hjelp av følgende:
δ x = q x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}
Endre i LengthEdit
Hvor:
Δ L {\displaystyle \Delta T} = endring i lengde (alltid negative) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = skråningen funksjon (første deriverte av δ x {\displaystyle \delta _{x}} ) Δ L = − 1 2 ∫ 0 L ( θ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}
Hvis strålen er uniform og utslag på noe punkt er kjent, kan dette være beregnet uten å kjenne andre egenskaper av strålen.,