Generelle observasjoner
Sannsynligvis den mest naturlig tilnærming til formell logikk er gjennom ideen om gyldigheten av et argument av den typen som er kjent som deduktive. En deduktive argumentet kan være omtrent karakterisert som en der kravet er gjort noen forslag (konklusjonen) følger med strenge nødvendighet fra noen andre forslag eller proposisjoner (lokaler)—det vil si, at det ville være inkonsekvent eller selv-det er selvmotsigende å hevde lokalene men fornekter den konklusjonen.,
Hvis en deduktive argumentet er å lykkes i å etablere sannheten for sin konklusjon, to ganske forskjellige vilkår som må være oppfylt: for det første, konklusjonen må virkelig følge fra lokalene—det vil si, den fradrag av konklusjon fra lokalene må være logisk riktig, og for det andre stedet må selv være sant. Et argument møte begge disse forholdene er kalt lyd., Av disse to forholdene, logician som er opptatt bare med den første; den andre, fastsettelse av sannhet eller falskhet av lokalene, er oppgaven av noen spesiell disiplin eller av vanlig observasjon hensiktsmessig å gjenstand for argumentet. Når konklusjonen av et argument er riktig deducible fra sine lokaler, dra slutninger fra premisser til konklusjon sies å være (deductively) gyldig, uavhengig av om lokalene er sant eller usant., Andre måter å uttrykke det faktum at en slutning er deductively gyldig er å si at sannheten av lokalene gir (eller ville gi en absolutt garanti for sannheten av konklusjon, eller at det ville innebære en logisk brist (til forskjell fra en ren feil av faktum) til å anta at lokalene var sant, men konklusjonen er feil.
Den deduktive slutninger med som formell logikk er opptatt av er, som navnet antyder, er de som gyldighet avhenger ikke på noen funksjoner av deres emnet, men på deres form eller struktur. Dermed, de to slutninger (1) Hver hund er et pattedyr. Noen firføtte er hunder. ∴ Noen firføtte er pattedyr. og(2) Enhver form er en troende i fri kjærlighet. Noen medlemmer av regjeringen partiet er anarkister. ∴ Noen medlemmer av regjeringen partiet er troende i fri kjærlighet., forskjellige i faget og derfor krever ulike fremgangsmåter for å sjekke sannhet eller falskhet av sine lokaler. Men deres gyldighet er sikret av hva de har til felles—nemlig at argumentet i hver er på formen(3) Hver X er en Y. Noen Z ‘s er X’ s. ∴ Noen Z er Y.
Line (3) ovenfor, som kan kalles en slutning form, og (1) og (2) er så forekomster av inferens form. Bokstavene X, Y, og Z—i (3) merk av steder som uttrykk for en bestemt type kan være satt inn., Symboler som brukes for dette formålet er kjent som variabler; deres bruk er analogt til at x i algebra, som markerer stedet inn som et tall kan bli satt inn. En instans av en slutning form) er produsert ved å erstatte alle variablene i det ved passende uttrykk (dvs, de som gir mening i den konteksten) og ved å gjøre det jevnt (dvs., ved å erstatte den samme uttrykk hvor den samme variabelen oppstår på nytt)., Funksjonen av (3) som garanterer at hver eneste eksempel på at det vil være gyldig er konstruksjonen på en slik måte at hver ensartet måte å erstatte sin variabler for å gjøre lokalene sant automatisk gjør den konklusjon sant også, eller, med andre ord, at ingen forekomst av det kan ha sanne lokaler, men en falsk konklusjon. I kraft av denne funksjonen, form (3) kalles en gyldig slutning form. I kontrast,(4) Hver X er en Y. Noen Z er Y ‘ s. ∴ Noen Z ‘s er X’ s., er ikke en gyldig slutning form, for, selv om forekomster av det kan bli produsert i hvilke premisser og konklusjon er oppfylt, forekomster av det kan også produseres der lokalene er sant, men det er konklusjonen feil—f.eks.,(5) Hver hund er et pattedyr. Noen bevingede skapninger er pattedyr. ∴ Noen bevingede skapninger er hunder.
Formell logikk som en studie er opptatt med slutning former snarere enn med særlig forekomster av dem. En av dens oppgaver er å diskriminere mellom gyldig og ugyldig slutning former og å utforske og systematisere den relasjoner som holder blant gyldig seg.,
Nært knyttet til ideen om en gyldig slutning form er som en gyldig forslag form. Et forslag form er et uttrykk for hvor forekomster (produsert som før ved riktig og ensartet erstatninger for variabler) er ikke slutninger fra flere proposisjoner til en konklusjon, men heller proposisjoner tas individuelt, og et gyldig alternativ form er en som alle forekomster er sant proposisjoner. Et enkelt eksempel er(6) Ingenting er både en X og en ikke-X. Formell logikk er opptatt med forslag skjemaer så vel som med slutning former., Studiet av forslag former kan faktisk blir gjort for å inkludere den slutning av skjemaer på følgende måte: la lokalene til enhver slutning form (til sammen) bli forkortet av alfa (α) og konklusjonen av beta (β). Så tilstand som nevnt ovenfor for gyldigheten av den slutning form «α, derfor β» beløp for å si at ingen forekomst av proposisjonen form «α og β» er sann, dvs. at hver forekomst av proposisjonen form(7) Ikke begge deler: α og β er sant—eller som linje (7), fullt stavet ut, selvfølgelig, er et gyldig alternativ form., Studiet av forslag former, men kan ikke på samme måte som bor under studiet av inferens former, og så på grunn av omfanget er det vanlig å betrakte formell logikk som studiet av forslag former. Fordi en logician håndtering av forslag former er på mange måter analogt til en matematiker håndtering av numeriske formler, systemene han konstruksjoner er ofte kalt calculi.
Mye av arbeidet til en logician foregår på et mer abstrakt nivå enn den foregående diskusjon., Selv en formel, for eksempel (3) ovenfor, men ikke refererer til en bestemt gjenstand, inneholder uttrykk som «alle» og «er», som er tenkt å ha en klar mening, og variablene som er ment å markere steder for uttrykk av en bestemt art (omtrent, vanlig substantiv eller klasse navn). Det er imidlertid mulig—og for noen formål er det viktig å studere formler uten å feste selv med denne graden av meaningfulness til dem., Bygging av et system av logikk, faktisk, omfatter to hovedgrupper prosesser: den ene består i å sette opp en symbolsk apparater—et sett av symboler, regler for å sette disse sammen til formler og regler for å manipulere disse formlene, og den andre består i å feste visse betydninger til disse symboler og formler. Hvis bare den som tidligere er gjort, systemet sies å være uninterpreted, eller rent formelt; hvis det siste er gjort så bra, systemet er sa å bli tolket., Dette skillet er viktig, fordi systemer av logikk slår ut til å ha visse egenskaper ganske uavhengig av eventuelle fortolkninger som kan være plassert på dem. En da innlysende system of logic kan tas som et eksempel—det vil si, et system der visse unproved formler, kjent som aksiomene, er tatt som utgangspunkt, og videre formler (resultater) er vist på styrken av disse., Som vil dukke opp senere (se nedenfor Axiomatization av PC), spørsmålet om hvorvidt en sekvens av formler i et da innlysende system er et bevis eller ikke avhenger utelukkende på hvilke formler som er tatt som aksiomene og på hva reglene er for å utlede teoremer fra aksiomene, og ikke i det hele tatt på hva teoremer eller aksiomene mener. Videre, en gitt uninterpreted system er generelt i stand til å bli tolket like godt i en rekke forskjellige måter, og derfor, i å studere en uninterpreted system, det ene er å studere struktur som er felles for en rekke tolket systemer., Normalt vil en logician som konstruerer en rent formelt system har en bestemt tolkning i tankene, og hans motiv for å konstruere det er i den tro at når denne tolkningen er gitt til det, formler i systemet vil være i stand til å uttrykke sanne prinsipper i noen felt av tanke, men for de ovennevnte grunner, blant andre, vil han vanligvis ta vare for å beskrive formler og statlige reglene i systemet uten referanse til tolkning og å vise som en egen sak tolkningen som han har i tankene.,
Mange av de ideene som brukes i utredning av formell logikk, inkludert noen som er nevnt ovenfor, heve problemer som tilhører filosofi heller enn å logikk i seg selv. Eksempler er: Hva er riktig analyse av begrepet sannhet? Hva er et forslag, og hvordan er det i slekt å setningen som det er uttrykt? Er det noen typer lyd resonnement som verken deduktive eller induktiv?, Heldigvis er det mulig å lære å gjøre formell logikk uten å ha tilfredsstillende svar på slike spørsmål, akkurat som det er mulig å gjøre matematikk uten å svare på spørsmål som hører til filosofien av matematikken slik som: Er tallene ekte gjenstander eller mentale konstruksjoner?