Antall

NumeralsEdit

Tall bør skilles fra tall, symboler som blir brukt til å representere tall. Egypterne fant opp den første ciphered tallsystem, og Grekerne som følges ved å kartlegge deres telle tall på det Joniske hav og Doriske alfabeter., Romertall, et system som brukes kombinasjoner av bokstaver fra det Romerske alfabetet, forble dominerende i Europa frem til spredning av overlegen Hindu–arabiske tallsystem rundt slutten av det 14. århundre, og Hindu–arabiske tallsystem er fortsatt det mest vanlige systemet for å representere tall i verden i dag. Nøkkelen til effektiviteten av systemet var symbolet for zero, som ble utviklet av gamle Indiske matematikere rundt 500 E.KR.,

Første gangs bruk av numbersEdit

Bein og andre gjenstander har blitt oppdaget med merker skåret i dem som mange mener er tally merker. Disse tally merker kan ha blitt brukt for telling av medgått tid, for eksempel antall dager, månefaser eller å holde oversikt over mengder, for eksempel av dyr.

En tallying systemet har ingen oppfatning av sted verdien (som i moderne desimal notasjon), som begrenser dens representasjon av store tall. Likevel tallying systemer er ansett som den første form for abstrakt tallsystem.,

Den første kjente systemet med plass verdi var Mesopotamian base 60-systemet (c. 3400 F.KR.) og den tidligste kjente base 10 system datoer for å 3100 F.KR., i Egypt.

Null Rediger

Den første kjente dokumentert bruk av null datoer for å AD 628, og dukket opp i Brāhmasphuṭasiddhānta, den viktigste arbeid av den Indiske matematikeren Brahmagupta. Han behandlet 0 som et nummer og diskutert operasjoner med det, inkludert divisjon. På denne tiden (det 7. århundre) konseptet klart hadde nådd Kambodsja som Khmer tall og dokumentasjon viser idé senere spredte seg til Kina og den Islamske verden.,

Brahmagupta er Brāhmasphuṭasiddhānta er den første boken som nevner null som et tall, derfor Brahmagupta er vanligvis betraktet som den første til å formulere begrepet null. Han ga regler for bruk av zero med negative og positive tall, for eksempel «null pluss et positivt tall er et positivt tall, og et negativt tall pluss null er negative tall.,»Det Brāhmasphuṭasiddhānta er den tidligste kjente tekst til å behandle null som et tall i sin egen rett, snarere enn som bare en plassholder siffer representerer et annet nummer som ble gjort av Babylonerne eller som et symbol for en mangel på mengde som ble gjort av Ptolemaios og Romerne.

bruk av 0 som et tall skal være atskilt fra dens bruk som en plassholder tall i sted-verdi systemer. Mange gamle tekster brukt 0. Babylonske og Egyptiske tekster brukt det. Egypterne brukte ordet nfr for å betegne null balanse i double entry regnskap., Indiske tekster brukt et Sanskrit ord Shunye eller shunya å referere til begrepet ugyldige. I matematikk tekster dette ordet refererer ofte til null. På samme måte Pāṇini (5. århundre F.KR.) brukte null (null) operatør i Ashtadhyayi, et tidlig eksempel på en algebraisk grammatikk for Sanskrit språk (se også Pingala).

Det er andre bruker på null før Brahmagupta, men dokumentasjonen er ikke så komplett som det er i Brāhmasphuṭasiddhānta.,

Opptegnelser viser at de Gamle Grekerne virket usikker på om status for 0 som nummer: de spurte seg selv, «hvordan kan ‘ingenting’ være noe?»som fører til interessante filosofiske og, gjennom Middelalderen, religiøse argumenter om naturen og eksistensen av 0 og vakuum. Den paradokser av Zeno av Elea delvis avhenger av den usikre tolkning av 0. (De gamle Grekerne selv stilt spørsmål ved om 1 var et nummer.,)

sent Olmec-folket i sør-sentrale Mexico begynte å bruke et symbol for zero, et skall glyph, i den Nye Verden, muligens av det 4. århundre F.KR., men absolutt med 40 F.KR., som ble en integrert del av Maya tall og Maya-kalenderen. Maya aritmetiske brukes base 4 og base 5 skrevet som base 20. George I. Sánchez i 1961 rapportert en base 4, base 5 «finger» abacus.

Ved 130 AD, Ptolemaios, påvirket av Hipparchus og Babylonerne, var å bruke et symbol for 0 (en liten sirkel med en lang overbar) innen en sexagesimal tallsystem på annen måte bruke alfabetiske greske tallord., Fordi den ble brukt alene, ikke bare som en plassholder, og dette Hellenistiske null var den første dokumenterte bruken av en ekte null i den Gamle Verden. I senere Bysantinske manuskripter fra hans Syntaxis Mathematica (Almagest), den Hellenistiske null hadde forvandlet til den greske bokstaven Omicron (ellers betydningen 70).

en Annen true null ble brukt i tabellene sammen med Romerske tall ved 525 (første kjente bruken av Dionysius Exiguus), men som et ord, nulla som betyr noe, ikke som et symbol. Når divisjon produsert 0 som en rest, nihil, også betyr ingenting, ble brukt., Disse middelalderske nuller ble brukt ved alle senere middelalderske computists (kalkulatorer av Påsken). En isolert bruk av sine opprinnelige, N, ble brukt i en tabell med Romerske tall ved å Bede eller en kollega om 725, en sann null symbol.

Negative tall Rediger

Det abstrakte begrepet negative tall var kjent så tidlig som 100-50 F.KR i Kina. De Ni Kapitler på Matematisk Art inneholder metoder for å finne de områdene av tall; rød stenger ble brukt for å betegne positive koeffisienter, svart for negative., Den første referansen i et Vestlig arbeidet var i det 3. århundre E.KR. i Hellas. Diophantus referert til ligningen tilsvarende 4x + 20 = 0 (løsningen er negativ) i Arithmetica, sier at ligningen ga en absurd resultat.

i Løpet av 600-tallet, negative tall var i bruk i India for å representere gjeld. Diophantus’ tidligere referanse ble diskutert mer eksplisitt av den Indiske matematikeren Brahmagupta, i Brāhmasphuṭasiddhānta i 628, som brukt negative tall til å produsere den generelle formen kvadratiske formelen som fortsatt er i bruk i dag., Imidlertid, i det 12. århundre i India, Bhaskara gir negative røtter for kvadratiske ligninger, men sier at den negative verdi «er i dette tilfellet ikke å bli tatt, for det er utilstrekkelig; folk ikke godkjenne en negativ røtter».

Europeiske matematikere, for det meste, er imot konseptet med negative tall til det 17. århundre, selv om Fibonacci tillatt negative løsninger i finansielle problemer der de kan tolkes som gjeld (kapittel 13 i Liber Abaci, 1202) og senere som tap (i Flos)., På samme tid, den Kinesiske ble indikerer negative tall ved å trekke en diagonal strek gjennom midt-de fleste ikke-null tall i tilsvarende positivt tall er tall. Den første bruken av negative tall i Europeiske arbeidet var av Nicolas Chuquet i løpet av det 15. århundre. Han brukte dem som eksponenter, men omtalte dem som «absurd tall».

så sent Som i det 18. århundre, det var vanlig praksis å ignorere eventuelle negative resultater returneres av ligninger på en antakelse om at de var meningsløst, akkurat som René Descartes gjorde med negative løsninger i et Kartesisk koordinatsystem.,

Rasjonale tall Rediger

Det er sannsynlig at begrepet brøk tall datoer for å forhistorisk tid. De Gamle Egypterne brukte sine Egyptiske brøkdel notasjon for rasjonale tall i matematiske tekster som Rhind Matematiske Papyrus og Kahun Papyrus. Klassiske greske og Indiske matematikere som er gjort studier av teorien om rasjonelle tall, som en del av den generelle studiet av tallteori. Den mest kjente av disse er Euklids Elementer, som kan dateres til ca 300 F.KR., Av den Indiske tekster, de mest relevante er Sthananga Sutra, som også dekker tallteori som en del av en generell undersøkelse av matematikk.

begrepet desimal fraksjoner er nært knyttet desimal verdi notasjon; de to synes å ha utviklet seg i tandem. Det er For eksempel vanlig for Jain matematikk sutra til å omfatte beregninger av desimal-brøkdel tilnærmelser til pi eller kvadratroten av 2. På samme måte, Babylonsk matematikk tekster brukes sexagesimal (base 60) fraksjoner med stor frekvens.,

Irrasjonelle tall Rediger

Den tidligste kjente bruk av irrasjonelle tall var i den Indiske Sulba Sutraer som består mellom 800 og 500 F.KR. Den første eksistens bevis på irrasjonelle tall er vanligvis tilskrevet Pytagoras, mer spesifikt til Pytagoreisk Hippasus av Metapontum, som produserte et (mest sannsynlig geometriske) bevis av irrationality av kvadratroten av 2. Historien går på at Hippasus oppdaget irrasjonelle tall når du prøver å representere kvadratroten av 2 som en brøk., Imidlertid, Pytagoras mente i absoluteness av tall, og kunne ikke akseptere eksistensen av irrasjonelle tall. Han kan ikke motbevise deres eksistens gjennom logikk, men han kunne ikke godta irrasjonelle tall, og så, angivelig og ofte rapportert, han dømt Hippasus til døde av drukning, for å hindre spredning av denne urovekkende nyheter.

Det 16. århundre brakte siste Eu godkjennelse av negative integrert og brøk tall. Av det 17. århundre, matematikere som vanligvis brukes desimal fraksjoner med moderne notasjon., Det var imidlertid ikke før det 19. århundre at matematikere atskilt irrationals til algebraiske og opphøyet deler, og nok en gang tok det vitenskapelige studiet av irrationals. Det hadde vært nesten sovende siden Euclid. I 1872, publisering av teoriene til Karl weierstrass teorem (av hans elev E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, og Richard Dedekind ble brakt om. I 1869, Charles Méray hadde tatt den samme utgangspunkt som Heine, men teorien er vanligvis referert til år 1872., Weierstrass teorem er metoden ble helt satt ut av Salvatore Pincherle (1880), og Dedekind har fått ekstra oppmerksomhet gjennom forfatterens senere arbeid (1888) og godkjenning av Paul Tannery (1894). Weierstrass teorem, Cantor, og Heine baserer sine teorier på uendelig serien, mens Dedekind founds hans på ideen om et kutt (Schnitt) i systemet av reelle tall, skille alle rasjonale tall i to grupper, etter å ha visse karakteristiske egenskaper. Emnet har mottatt senere bidrag i hendene på weierstrass teorem, Kronecker, og Méray.,

søke etter røttene til quintic og høyere grads ligninger var en viktig utvikling, Abel–Ruffini teorem (Ruffini 1799, Abel 1824) viste at de ikke kunne løses ved radikaler (formler som involverer bare aritmetiske operasjoner og røtter). Dermed ble det nødvendig å vurdere bredere sett av algebraiske tall (alle løsninger for å polynom ligninger). Galois (1832) knyttet polynom ligninger til gruppe teorien som gir opphav til feltet av Galois-teorien.,

Fortsatte fraksjoner, som er nært knyttet til irrasjonelle tall (og på grunn av Cataldi, 1613), fått oppmerksomhet i hendene på Euler, og ved åpningen av det 19. århundre ble brakt inn fremtredende gjennom skriftene til Joseph Louis Lagrange. Andre viktige bidrag har blitt gjort av Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), og Günther (1872). Ramus første koblet motivet med påvirkningsfaktorer, noe som resulterer, med påfølgende bidrag av Heine, Möbius, og Günther, i teorien om Kettenbruchdeterminanten.,

Opphøyde tall og real Rediger

eksistensen av opphøyde tall ble først etablert av Liouville (1844, 1851). Hermite viste seg i 1873 at e er opphøyet og Lindemann viste seg i 1882 at π er opphøyet. Til slutt, Cantor viste at mengden av alle reelle tall er uncountably uendelig, men sett av alle algebraiske tall er countably uendelig, så det er en uncountably uendelig antall opphøyde tall.,

Infinity og infinitesimals Rediger

Den tidligste kjente oppfatning av matematiske infinity vises i Yajur Veda, en gammel Indisk script, som på et tidspunkt sier, «Hvis du vil fjerne en del fra infinity eller legge til en del til uendelig, fortsatt det som gjenstår er uendelig.»Infinity var et populært tema for filosofisk undersøkelse blant Jain matematikere c. 400 F.KR. De skiller mellom fem typer infinity: uendelig i ett og to retningene, uendelig i området, uendelig overalt, og uendelig og evig.,

Aristoteles definerte den tradisjonelle Vestlige oppfatningen av matematiske infinity. Han skiller mellom faktiske infinity og potensielle infinity—den generelle konsensus er at det bare sistnevnte hadde sanne verdien. Galileo Galilei ‘ s To Nye Vitenskaper diskutert ideen om en-til-en korrespondanse mellom uendelig sett. Men den neste store fremskritt i teorien var laget av Georg Cantor, i 1895 utga han en bok om sin nye teori, innføre, blant andre ting, transfinite tall og formulere kontinuum hypotese.,

I 1960-årene, Abraham Robinson viste hvor uendelig store og uendelige lite tall kan være strengt definert, og brukes til å videreutvikle feltet av ikke-standard analyse. Den system av hyperreal tall representerer en systematisk metode for behandling av ideer om uendelig og uendelige lite tall, som hadde vært brukt tilfeldig av matematikere, forskere, ingeniører og helt siden oppfinnelsen av uendelige lite kalkulus av Newton og Leibniz.,

En moderne geometriske versjon av infinity er gitt ved projektiv geometri, som introduserer «ideelle poeng på infinity», en for hver romlige retning. Hver familie av parallelle linjer i en gitt retning er postulert å konvergere til tilsvarende ideelle utgangspunktet. Dette er nært knyttet til ideen om forsvinnende poeng i perspektiv tegning.,

Komplekse tall Rediger

Den tidligste flyktig referanse til kvadratrøtter av negative tall oppstått i arbeidet med matematikeren og oppfinner Heron fra Alexandria i det 1. århundre E.KR., da han regnes volumet av en umulig frustum av en pyramide. De ble mer fremtredende når i det 16. århundre lukkede formler for røttene av tredje og fjerde grad polynomer ble oppdaget av italiensk matematikere som Niccolò Fontana Tartaglia og Girolamo Cardano., Det ble snart innså at disse formlene, selv om man bare var interessert i reelle løsninger, noen ganger nødvendig manipulering av kvadratrøtter av negative tall.

Dette var dobbelt foruroligende siden de ikke engang vurdere negative tall til å være på fast grunn på den tiden. Når René Descartes innførte begrepet «imaginære» for disse mengdene i 1637, han hadde til hensikt å det som nedsettende. (Se imaginære tall for en diskusjon av «virkeligheten» av komplekse tall.,) En ytterligere kilde til forvirring var at ligningen

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

syntes capriciously i strid med den algebraiske identitet

a b = b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

som er gyldig for positive reelle tall a og b, og ble også brukt i beregninger med komplekse tall med en av a -, b-positive og andre negative., Feil bruk av dette identitet, og i slekt identitet

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}

i tilfelle når både a og b er negative selv bedeviled Euler. Denne vanskeligheten til slutt førte ham til konvensjonen av ved hjelp av den spesielle symbol jeg i stedet for − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} for å beskytte mot denne feilen.

Det 18. århundre så arbeidet med Abraham de Moivre og Leonhard Euler., De Moivre ‘s formel (1730) uttaler:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +jeg\synd \theta )^{n}=\cos n\theta +jeg\synd n\theta }

mens Euler’ s formel for kompleks analyse (1748) ga oss:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e jeg θ . {\displaystyle \cos \theta +jeg\synd \theta =e^{i\theta }.}

eksistensen av komplekse tall ikke var helt akseptert før Caspar Wessel beskrevet den geometriske tolkningen i 1799., Carl Friedrich Gauss gjenoppdaget og popularisert det flere år senere, og som et resultat av teorien for komplekse tall mottatt en betydelig ekspansjon. Ideen om grafisk fremstilling av komplekse tall hadde dukket opp, men så tidlig som i 1685, i Wallis er De algebra tractatus.

Også i 1799, Gauss gitt den første allment akseptert bevis av fundamental teorem av algebra, som viser at hvert polynom over komplekse tall har et komplett sett av løsninger i at riket., Den generelle aksept av teorien for komplekse tall er på grunn av arbeid av Augustin Louis Cauchy og Niels Henrik Abel, og spesielt sistnevnte, som var den første til å frimodig bruk av komplekse tall med en suksess som er godt kjent.

Gauss studert komplekse tall på formen a + bi, der a og b er integrert, eller rasjonell (og jeg er en av de to røttene av x2 + 1 = 0). Hans elev, Gotthold Eisenstein, studerte den type a + bw, hvor ω er en kompleks rot i x3 − 1 = 0., Andre slike klasser (kalt cyclotomic felt) av komplekse tall stammer fra røttene av enhet xk − 1 = 0 for høyere verdier av k. Dette generalisering er i stor grad på grunn av Ernst Kummer, som også oppfant ideell tall, som ble uttrykt i geometriske enheter av Felix Klein i 1893.

I 1850 Victor Alexandre Puiseux tok viktige skritt for å skille mellom polene og gren poeng, og introduserte begrepet avgjørende singulære punkter. Dette førte til slutt til konseptet av det utvidede komplekse planet.,

Primtall Rediger

Primtall har blitt studert gjennom nedtegnet historie. Euklids viet en bok av Elementer til teorien om primtall, i det han viste seg å være infinitude av primtall og fundamental teorem av aritmetikk, og presenterte Euclidean algoritme for å finne største felles divisor for to tall.

I 240 F.KR., Eratosthenes brukt Sil av Eratosthenes til raskt å isolere primtall. Men de fleste videre utviklingen av teorien om primtall i Europa datoer for å Renessansen og senere epoker.,

I 1796, Adrien-Marie Legendre conjectured prime nummer teorem, som beskriver den asymptotiske primtallenes fordeling. Andre resultater om fordelingen av primtall inkluderer Euler bevis på at summen av reciprocals av primtall divergerer, og Goldbach formodning, som hevder at alle som er tilstrekkelig stor, selv tall er summen av to primtall. Enda en formodning knyttet til fordelingen av primtall er Riemann-hypotesen er formulert av Bernhard Riemann i 1859., Prime nummer teorem ble endelig bevist av Jacques Hadamard og Charles de la Vallée-Poussin i 1896. Goldbach og Riemann er seg forestillinger forbli uprøvd og unrefuted.