Allgemeine Beobachtungen
Wahrscheinlich ist die natürlichste Herangehensweise an die formale Logik die Idee der Gültigkeit eines Arguments der als deduktiv bekannten Art. Ein deduktives Argument kann grob als eines charakterisiert werden, in dem die Behauptung aufgestellt wird, dass ein Satz (die Schlussfolgerung) mit strikter Notwendigkeit aus einem anderen Satz oder Satz (den Prämissen) folgt—dh dass es inkonsistent oder selbstwidersprüchlich wäre, die Prämissen durchzusetzen, aber die Schlussfolgerung zu leugnen.,
Wenn es einem deduktiven Argument gelingen soll, die Wahrheit seiner Schlussfolgerung zu ermitteln, müssen zwei ganz unterschiedliche Bedingungen erfüllt sein: Erstens muss die Schlussfolgerung wirklich aus den Prämissen folgen—d. H. Der Abzug der Schlussfolgerung aus den Prämissen muss logisch korrekt sein—und zweitens müssen die Prämissen selbst wahr sein. Ein Argument, das beide Bedingungen erfüllt, wird als solide bezeichnet., Von diesen beiden Bedingungen befasst sich der Logiker als solcher nur mit der ersten; Die zweite, die Bestimmung der Wahrheit oder Falschheit der Prämissen, ist die Aufgabe einer besonderen Disziplin oder einer gemeinsamen Beobachtung, die dem Gegenstand des Arguments angemessen ist. Wenn die Schlussfolgerung eines Arguments korrekt aus seinen Prämissen abgeleitet werden kann, gilt die Schlussfolgerung aus den Prämissen zu der Schlussfolgerung als (ableitend) gültig, unabhängig davon, ob die Prämissen wahr oder falsch sind., Andere Möglichkeiten, die Tatsache auszudrücken, dass eine Schlussfolgerung deduktiv gültig ist, sind zu sagen, dass die Wahrheit der Prämissen eine absolute Garantie für die Wahrheit der Schlussfolgerung gibt (oder geben würde) oder dass sie eine logische Inkonsistenz (im Gegensatz zu einem bloßen Faktenfehler) beinhalten würde, um anzunehmen, dass die Prämissen wahr, aber die Schlussfolgerung falsch sind.
Die deduktiven Schlussfolgerungen, mit denen es sich um formale Logik handelt, sind, wie der Name schon sagt, diejenigen, für die die Gültigkeit nicht von irgendwelchen Merkmalen ihres Gegenstands, sondern von ihrer Form oder Struktur abhängt. Somit sind die beiden Schlussfolgerungen (1) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige Vierbeiner sind Hunde. ∴ Einige Vierbeiner sind Säugetiere. und (2) Jeder Anarchist glaubt an freie Liebe. Einige Mitglieder der Regierungspartei sind Anarchisten. Some Einige Mitglieder der Regierungspartei glauben an freie Liebe., unterscheiden sich im Gegenstand und erfordern daher unterschiedliche Verfahren, um die Wahrheit oder Falschheit ihrer Räumlichkeiten zu überprüfen. Ihre Gültigkeit wird jedoch durch das gewährleistet, was sie gemeinsam haben—nämlich, dass das Argument in jedem von der Form(3) ist, dass jedes X ein Y ist. Einige Zs sind Xs. ∴ Einige Zs sind Ys.
Die obige Zeile (3) kann als Inferenzform bezeichnet werden, und (1) und (2) sind dann Instanzen dieser Inferenzform. Die Buchstaben-X, Y und Z—in (3) markieren die Stellen, an denen Ausdrücke eines bestimmten Typs eingefügt werden können., Symbole, die zu diesem Zweck verwendet werden, sind als Variablen bekannt; Ihre Verwendung ist analog zu der des x in der Algebra, die den Ort markiert, an dem eine Ziffer eingefügt werden kann. Eine Instanz eines Inferenzformulars wird erzeugt, indem alle darin enthaltenen Variablen durch geeignete Ausdrücke (dh solche, die im Kontext sinnvoll sind) ersetzt werden und dies einheitlich geschieht (dh indem derselbe Ausdruck überall dort ersetzt wird, wo dieselbe Variable wiederholt wird)., Das Merkmal von (3), das garantiert, dass jede Instanz davon gültig ist, ist ihre Konstruktion so, dass jede einheitliche Methode, ihre Variablen zu ersetzen, um die Prämissen wahr zu machen, automatisch auch die Schlussfolgerung wahr macht, oder mit anderen Worten, dass keine Instanz davon wahre Prämissen haben kann, sondern eine falsche Schlussfolgerung. Aufgrund dieses Merkmals wird die Form (3) als gültige Inferenzform bezeichnet. Im Gegensatz dazu ist(4) Jedes X ein Y. Einige Zs sind Ys. ∴ Einige Zs sind Xs., ist keine gültige Inferenzform, denn obwohl Instanzen davon erzeugt werden können, in denen Prämissen und Schlussfolgerungen alle wahr sind, können auch Instanzen davon erzeugt werden, in denen die Prämissen wahr sind, aber die Schlussfolgerung ist falsch—zB(5) Jeder Hund ist ein Säugetier. Einige geflügelte Kreaturen sind Säugetiere. ∴ Einige geflügelte Kreaturen sind Hunde.
die Formale Logik als eine Studie befasst sich mit der Ableitung bildet, anstatt mit bestimmten Instanzen von Ihnen. Eine seiner Aufgaben besteht darin, zwischen gültigen und ungültigen Inferenzformen zu unterscheiden und die Beziehungen zwischen gültigen zu untersuchen und zu systematisieren.,
Eng verwandt mit der Idee einer gültigen Inferenzform ist die einer gültigen Propositionsform. Eine Propositionsform ist ein Ausdruck, bei dem die Instanzen (die wie zuvor durch geeignete und einheitliche Ersetzungen für Variablen erzeugt wurden) keine Schlussfolgerungen aus mehreren Sätzen zu einer Schlussfolgerung sind, sondern Sätze, die einzeln genommen werden, und eine gültige Propositionsform ist eine, für die alle Instanzen wahre Sätze sind. Ein einfaches Beispiel ist (6) Nichts ist sowohl ein X als auch eine nicht-X. Formale Logik befasst sich sowohl mit Propositionsformen als auch mit Inferenzformen., Die Untersuchung von Propositionsformen kann in der Tat so durchgeführt werden, dass sie die von Inferenzformen auf folgende Weise einbeziehen: Lassen Sie die Prämissen einer bestimmten Inferenzform (zusammengenommen) durch alpha (α) und ihre Schlussfolgerung durch beta (β) abkürzen. Dann bedeutet die oben genannte Bedingung für die Gültigkeit der Inferenzform „α, also β“, dass keine Instanz der Propositionsform „α und nicht-β“ wahr ist—dh dass jede Instanz der Propositionsform(7) Nicht beides ist: α und nicht-β ist wahr—oder diese Zeile (7), die natürlich vollständig buchstabiert ist, ist eine gültige Propositionsform., Das Studium von Propositionsformen kann jedoch nicht in ähnlicher Weise unter das Studium von Inferenzformen gestellt werden, und so ist es aus Gründen der Vollständigkeit üblich, formale Logik als das Studium von Propositionsformen zu betrachten. Da der Umgang eines Logikers mit Propositionsformen in vielerlei Hinsicht analog zum Umgang eines Mathematikers mit numerischen Formeln ist, werden die von ihm konstruierten Systeme oft als Kalkül bezeichnet.
Ein Großteil der Arbeit eines Logikers verläuft auf einer abstrakteren Ebene als die der vorstehenden Diskussion., Sogar eine Formel wie (3) oben, obwohl sie sich nicht auf einen bestimmten Gegenstand bezieht, enthält Ausdrücke wie „jeder“ und „ist a“, von denen angenommen wird, dass sie eine bestimmte Bedeutung haben, und die Variablen sollen die Orte markieren für Ausdrücke einer bestimmten Art (ungefähr gebräuchliche Substantive oder Klassennamen). Es ist jedoch möglich—und für einige Zwecke ist es wichtig—Formeln zu studieren, ohne ihnen auch nur diesen Grad an Sinnhaftigkeit beizufügen., Die Konstruktion eines Logiksystems umfasst in der Tat zwei unterscheidbare Prozesse: Einer besteht darin, einen symbolischen Apparat einzurichten—eine Reihe von Symbolen, Regeln für die Aufteilung in Formeln und Regeln für die Manipulation dieser Formeln; Der zweite besteht darin, diesen Symbolen und Formeln bestimmte Bedeutungen beizufügen. Wenn nur das erstere getan wird, wird gesagt, dass das System nicht interpretiert oder rein formal ist; Wenn das letztere auch getan wird, soll das System interpretiert werden., Diese Unterscheidung ist wichtig, da Logiksysteme bestimmte Eigenschaften haben, die unabhängig von Interpretationen sind, die auf sie gelegt werden können. Ein axiomatisches System der Logik kann als Beispiel genommen werden-dh ein System, in dem bestimmte unbewiesene Formeln, die als Axiome bekannt sind, als Ausgangspunkt genommen werden und weitere Formeln (Theoreme) auf deren Stärke nachgewiesen werden., Wie später erscheinen wird (siehe unten Axiomatisierung von PC), hängt die Frage, ob eine Folge von Formeln in einem axiomatischen System ein Beweis ist oder nicht, ausschließlich davon ab, welche Formeln als Axiome betrachtet werden und welche Regeln für die Ableitung von Theoremen aus Axiomen gelten und überhaupt nicht davon, was die Theoreme oder Axiome bedeuten. Darüber hinaus ist ein gegebenes nicht interpretiertes System im Allgemeinen in der Lage, auf verschiedene Arten gleich gut interpretiert zu werden; Daher untersucht man bei der Untersuchung eines nicht interpretierten Systems die Struktur, die einer Vielzahl von interpretierten Systemen gemeinsam ist., Normalerweise hat ein Logiker, der ein rein formales System konstruiert, eine bestimmte Interpretation im Sinn, und sein Motiv für die Konstruktion ist der Glaube, dass, wenn ihm diese Interpretation gegeben wird, die Formeln des Systems in der Lage sein werden, wahre Prinzipien in einem bestimmten Bereich des Denkens auszudrücken; aber aus den oben genannten Gründen wird er normalerweise darauf achten, die Formeln zu beschreiben und die Regeln des Systems ohne Bezug auf die Interpretation anzugeben und als separate Angelegenheit die Interpretation anzugeben, die er im Sinn hat.,
Viele der Ideen, die bei der Darstellung der formalen Logik verwendet werden, einschließlich einiger der oben erwähnten, werfen Probleme auf, die eher zur Philosophie als zur Logik selbst gehören. Beispiele sind: Was ist die richtige Analyse des Wahrheitsbegriffs? Was ist ein Satz und wie hängt er mit dem Satz zusammen, mit dem er ausgedrückt wird? Gibt es einige Arten von vernünftigen Überlegungen, die weder deduktiv noch induktiv sind?, Glücklicherweise ist es möglich, formale Logik zu lernen, ohne zufriedenstellende Antworten auf solche Fragen zu haben, genauso wie es möglich ist, Mathematik zu tun, ohne Fragen zu beantworten, die zur Philosophie der Mathematik gehören, wie zum Beispiel: Sind Zahlen reale Objekte oder mentale Konstrukte?