Numero (Suomi)

NumeralsEdit

numerot olisi erotettava numeroista, numeroista, numeroista, joita käytetään numeroiden esittämiseen. Egyptiläiset keksi ensimmäisen salattu numero järjestelmä, ja Kreikkalaiset seuraa kartoitus laskenta numerot päälle Joonianmeren ja Doric aakkoset., Roomalaisin numeroin, järjestelmä, joka käyttää yhdistelmiä kirjaimia latinalaisia aakkosia, oli vallalla Euroopassa, kunnes leviämisen parempi Hindu–arabialainen numero järjestelmä noin myöhään 14-luvulla, ja Hindu–arabialainen numero järjestelmä on edelleen yleisin järjestelmä edustavat numerot maailmassa tänään. Järjestelmän tehokkuuden avain oli Zeron symboli, jonka muinaiset intialaiset matemaatikot kehittivät noin vuonna 500 Jaa.,

Ensimmäinen käyttö numbersEdit

Luita ja muita esineitä on löydetty jälkiä leikataan heille, että monet uskovat ovat yhteneväisiä markkaa. Nämä tally marks on voitu käyttää laskemiseen kulunut aika, kuten numerot, päivää, kuun syklit tai pitää kirjaa määristä, kuten eläimiä.

ääntenlaskenta järjestelmä on ei käsite paikka-arvo (kuten moderni desimaalin merkintätapa), mikä rajoittaa sen edustus suuri määrä. Kuitenkin tallying järjestelmiä pidetään ensimmäinen eräänlainen abstrakti numero järjestelmä.,

ensimmäinen tunnettu systeemi, jonka paikkamäärä oli Mesopotamian base 60-järjestelmä (n. 3400 eaa) ja varhaisin tunnettu base 10-järjestelmä on ajoitettu Egyptissä vuoteen 3100 eaa.

Nolla Muokkaa

ensimmäinen tunnettu dokumentoitu käyttö nolla päivämäärät AD 628, ja ilmestyi Brāhmasphuṭasiddhānta, tärkein työ Intialainen matemaatikko Brahmagupta. Hän käsitteli 0: ta numerona ja keskusteli siihen liittyvistä operaatioista, muun muassa divisioonasta. Tähän mennessä (7.vuosisata) käsite oli selvästi saavuttanut Kambodžan Khmer-numeroina, ja dokumentaation mukaan ajatus levisi myöhemmin Kiinaan ja islamilaiseen maailmaan.,

Brahmagupta on Brāhmasphuṭasiddhānta on ensimmäinen kirja, jossa mainitaan nolla, koska useita, joten Brahmagupta on yleensä pitää ensin määritellä käsite nolla. Hän antoi sääntöjä käyttämällä nolla, negatiiviset ja positiiviset luvut, kuten ”nolla plus positiivinen on positiivinen luku, ja negatiivinen luku plus nolla on negatiivinen numero.,”Brāhmasphuṭasiddhānta on varhaisin tunnettu teksti, jossa Nollaa kohdellaan lukuna sinänsä, sen sijaan että se olisi vain paikkanumero, joka edustaa toista lukua, kuten babylonialaiset tekivät, tai symboli määrän puutteesta, kuten Ptolemaios ja roomalaiset tekivät.

0: n käyttö lukuna tulisi erottaa sen käytöstä paikkasidonnaisena numerona paikannusarvojärjestelmissä. Monissa muinaisissa teksteissä käytettiin 0. Sitä käyttivät babylonialaiset ja egyptiläiset tekstit. Egyptiläiset käyttivät sanaa nfr merkitsemään nollatasetta kaksoismerkinnän kirjanpidossa., Intialaiset tekstit käyttivät sanskritinkielistä sanaa Shunye tai shunya tarkoittamaan tyhjyyden käsitettä. Matematiikan teksteissä tämä sana viittaa usein numeroon nolla. Samansuuntaisesti, Pāṇini (5. vuosisadalla EKR) käytti null (nolla) operaattori Ashtadhyayi, varhainen esimerkki on algebrallinen kielioppi Sanskritin kieli (katso myös Pingala).

ennen Brahmaguptaa on muitakin nollan käyttötarkoituksia, joskaan dokumentaatio ei ole yhtä täydellinen kuin Brāhmasphuṭasiddhāntassa.,

tiedot osoittavat, että antiikin kreikkalaiset vaikuttivat epävarmoilta 0: n asemasta lukuna: he kysyivät itseltään ”miten ’ei mikään’ voi olla jotain?”mikä mielenkiintoinen filosofinen ja Keskiajan aikana, uskonnolliset argumentit luonnon ja olemassaolon 0 ja tyhjiön. Elean Zenon paradoksit riippuvat osittain 0: n epävarmasta tulkinnasta. (Antiikin kreikkalaiset jopa kyseenalaistivat, oliko 1 luku.,)

myöhään Olmec ihmisiä etelä-ja keski-Meksiko alkoi käyttää symboli nolla, kuori glyph, Uudessa Maailmassa, mahdollisesti myös 4. – luvulla EAA, mutta varmasti 40 EKR., joka tuli olennainen osa Maya numerot ja Maya kalenteri. Maya aritmeettinen käytti base 4: ää ja base 5: tä kirjoitettuna base 20: ksi. George I. Sánchez ilmoitti vuonna 1961 tukikohdasta 4, tukikohdasta 5 ”sormi” abacus.

130 JKR, Ptolemaios, vaikuttaa Hipparkhos ja Babylonialaiset, käytti symboli 0 (pieni ympyrä, jossa on pitkä overbar) sisällä seksagesimaali-lukujärjestelmässä muuten käyttämällä aakkosellinen kreikan numeroin., Koska sitä käytettiin yksin, ei vain paikkana, tämä hellenistinen nolla oli ensimmäinen dokumentoitu todellisen nollan käyttö Vanhassa maailmassa. Myöhemmissä bysanttilaisissa Syntaxis Mathematica-teoksensa käsikirjoituksissa (Almagest) hellenistinen nolla oli muuttunut kreikkalaiseen Omikron-kirjaimeen (muuten 70).

roomalaisten numeroiden rinnalla taulukoissa käytettiin toista oikeaa nollaa vuoteen 525 mennessä (ensimmäinen tunnettu Dionysios Exiguusin käyttö), mutta sanana nulla ei tarkoittanut mitään, ei symbolina. Kun divisioona tuotti 0: n loppuosaksi, käytettiin nihiliä, joka ei tarkoittanut myöskään mitään., Näitä keskiaikaisia nollia käyttivät kaikki tulevat keskiaikaiset computistit (pääsiäisen laskijat). Bede tai noin 725-vuotias kollega käytti roomalaisista numeroista koostuvassa taulukossa alkuperäistä, N: tä, joka oli todellinen nollasymboli.

negatiiviset numerot Edit

negatiivisten lukujen abstrakti käsite tunnustettiin Kiinassa jo 100-50 eaa. The yhdeksän lukua, matemaattinen Art sisältää menetelmiä löytää alueet luvut; punaiset tangot käytettiin kuvaamaan positiivisia kertoimia, musta negatiivinen., Ensimmäinen maininta länsimaisessa teoksessa oli 300-luvulla jKr Kreikassa. Diofantos viittasi Arithmeticassa yhtälöön, joka vastaa 4x + 20 = 0 (liuos on negatiivinen), sanoen, että yhtälö antoi absurdin tuloksen.

600-luvulla Intiassa oli käytössä negatiivisia lukuja, jotka edustivat velkoja. Diofantoksen aikaisempaa viittausta käsitteli selvemmin Intialainen matemaatikko Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhāntassa vuonna 628, joka käytti negatiivisia lukuja tuottaakseen yleisen muodon quadratic kaavaa, joka on edelleen käytössä nykyään., Kuitenkin 1100-luvulla Intiassa Bhaskara antaa negatiivisia juuria quadratic yhtälöt, mutta sanoo negatiivinen arvo ”ei tässä tapauksessa ole otettava, koska se on riittämätön; ihmiset eivät hyväksy negatiivisia juuria”.

eurooppalaiset matemaatikot pääosin vastustivat negatiivisten lukujen käsitettä 1600-luvulle asti, vaikka Fibonacci salli negatiivisia ratkaisuja rahoitusongelmiin, joissa ne voitiin tulkita veloiksi (Liber Abacin Luku 13, 1202) ja myöhemmin tappioiksi (Flosissa)., Samaan aikaan kiinalaiset ilmaisivat negatiivisia lukuja piirtämällä diagonaalisen viivan vastaavan positiivisen luvun numeron oikean-kaikkein ei-nollanumeron läpi. Kielteisten lukujen ensimmäinen käyttö eurooppalaisessa teoksessa oli Nicolas Chuquet 1400-luvulla. Hän käytti niitä eksponentteina, mutta viittasi niihin ”absurdeina lukuina”.

juuri 18-luvulla, se oli yleinen käytäntö ohittaa kaikki negatiiviset tulokset palautetaan yhtälöt olettaen, että ne olivat merkityksettömiä, aivan kuten René Descartes teki negatiivisia ratkaisuja Karteesinen koordinaatisto.,

rationaaliluvut Edit

on todennäköistä, että käsite Murtoluvut juontaa juurensa esihistorialliseen aikaan. Muinaiset egyptiläiset käyttivät egyptiläistä murtolukuaan rationaalilukuihin matemaattisissa teksteissä, kuten Rhindin matemaattisessa papyruksessa ja Kahun papyruksessa. Klassiset kreikkalaiset ja intialaiset matemaatikot tekivät rationaalilukujen teorian tutkimuksia osana lukuteorian yleistä tutkimusta. Tunnetuin näistä on alkeita, vuodelta noin 300 EAA., Intialaisista teksteistä merkittävin on Sthananga Sutra, joka kattaa myös lukuteorian osana yleistä matematiikan tutkimusta.

käsite desimaalin jakeet on läheisesti kanssa desimaali-arvo merkintä; kaksi näyttävät ovat kehittäneet yhdessä. On esimerkiksi tavallista, että Jain math Sutra sisältää laskelmat desimaalifraktion approksimaatioista piiin tai neliöjuuresta 2. Samoin babylonialaiset matematiikkatekstit käyttivät suurella taajuudella seksagesimaalisia (base 60) murtolukuja.,

Irrationaalilukuja Edit

varhaisin tunnettu irrationaalilukujen käyttö oli intialaisessa Sulba sutrasissa, joka koostui vuosina 800-500 eaa. Ensimmäinen olemassaolo todisteet irrationaalinen numerot on yleensä johtuvan Pythagoras, tarkemmin pythagoralainen Hippasus, Metapontum, jotka tuottivat (todennäköisesti geometrinen) todiste irrationaalisuuden neliöjuuren 2. Tarinan mukaan Hippasos löysi irrationaalisia lukuja yrittäessään esittää 2: n neliöjuurta murto-osana., Pythagoras kuitenkin uskoi lukujen ehdottomuuteen, eikä voinut hyväksyä irrationaalisten lukujen olemassaoloa. Hän ei voinut kumota niiden olemassaolon kautta logiikka, mutta hän ei voinut hyväksyä, irrationaalinen numerot, ja niin, väitetään, ja usein on raportoitu, että hän tuomitsi Hippasus kuolemaan hukuttamalla, estää leviämisen tämän huolestuttavia uutisia.

16-luvulla toi lopullinen Euroopan hyväksymistä negatiivinen olennainen ja murto numeroita. 1600-luvulle tultaessa matemaatikot käyttivät yleensä desimaalifraktioita modernilla notaatiolla., Se ei, kuitenkin, kunnes 19th century, että matemaatikot erotettu irrationals osaksi algebrallinen ja transsendentaalinen osat, ja kerran sitoutui tieteellinen tutkimus irrationals. Se oli pysynyt lähes lepotilassa Eukleideen jälkeen. Vuonna 1872, julkaisu teorioita Karl Weierstrass (hänen oppilaansa E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, ja Richard Dedekindin oli tuonut. Vuonna 1869 Charles Méray oli ottanut saman lähtökohdan kuin Heine, mutta teoriaan viitataan yleensä vuonna 1872., Weierstrass menetelmä oli täysin esitetty Salvatore Pincherle (1880) ja Dedekindin on saanut lisää näkyvyyttä kautta tekijän myöhemmin työ (1888) ja merkintä Paul Nahkateollisuuden (1894). Weierstrass, Cantor ja Heine perustavat teoriat ääretön sarja, kun Dedekindin loisi hänen ajatus leikata (Schnitt) järjestelmässä todellinen numerot, erottamalla kaikki järkevä numerot kahteen ryhmään, joilla on tiettyjä tunnusomaisia ominaisuuksia. Aihe on saanut myöhemmin maksut käsissä Weierstrass, Kronecker, ja Méray.,

kvintisten ja korkeamman asteen yhtälöiden juurien etsiminen oli tärkeä kehitys, Abel–Ruffinin lause (Ruffini 1799, Abel 1824) osoitti, että niitä ei voitu ratkaista radikaaleilla (kaavoja, joihin liittyy vain aritmeettisia operaatioita ja juuria). Siksi oli tarpeen harkita laajempaa joukko algebraic numerot (kaikki ratkaisut polynomi yhtälöt). Galois (1832) linkitti polynomiyhtälöt ryhmäteoriaan, joka synnytti Galois-teorian kentän.,

Jatkoi jakeet, jotka liittyvät läheisesti irrationaalinen numerot (ja koska Cataldi, 1613), sai huomiota käsissä Euler, ja avajaisissa 19. vuosisadan tuotiin esille läpi kirjoituksia Joseph Louis Lagrange. Muita merkittäviä panoksia ovat tehneet Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) ja Günther (1872). Ramus ensin kytketty aihe vaikuttaviin tekijöihin, jolloin, myöhemmin maksut Heine, Möbius, ja Günther, teorian Kettenbruchdeterminanten.,

Transsendenttiluku numerot ja realia Muokkaa

olemassaolon transsendenttiluku numerot oli ensimmäinen perustettiin, Liouville (1844, 1851). Hermite todisti vuonna 1873, että e on transsendentaalinen ja Lindemann todisti vuonna 1882, että π on transsendentaalinen. Lopuksi Cantor osoitti, että kaikkien reaalilukujen joukko on lukemattoman ääretön, mutta kaikkien algebrallisten lukujen joukko on countably infinite, joten transsendentaalisten lukujen joukko on lukematon ääretön.,

Infinity ja infinitesimals Muokkaa

varhaisin tunnettu käsitys matemaattisia infinity ilmestyy Yajur Veda, antiikin Intian käsikirjoituksen, joka jossain vaiheessa todetaan, ”Jos poistat osa infinity tai lisätä osa äärettömään, vielä mitä on jäljellä, on ääretön.”Infinity oli suosittu aihe filosofisen tutkimuksen keskuudessa Jain matemaatikot n.400 eaa. Ne erottaa toisistaan viisi eri ääretön: ääretön yhteen ja kahteen suuntaan, ääretön alue, ääretön kaikkialla, ja ääretön ikuisesti.,

Aristoteles määritteli perinteisen länsimaisen käsityksen matemaattisesta äärettömyydestä. Hän erotti toisistaan todellisen infiniittisyyden ja potentiaalisen infiniittisyyden – yleinen konsensus on, että vain jälkimmäisellä oli todellinen arvo. Galileo Galilein kaksi uutta tiedettä käsittelivät ajatusta äärettömien sarjojen välisestä yhdestä yhteen-vastaavasta. Mutta seuraava suuri edistysaskel, sillä teoria oli tehnyt Georg Cantor; vuonna 1895 hän julkaisi kirjan hänen uusi teoria, esittelyssä muun muassa transfinite numerot ja muotoilussa continuum hypoteesi.,

1960-luvulla Abraham Robinson osoitti, miten äärettömän suuri ja äärettömän pieni numeroita voi olla tarkasti määritelty ja käytetty kehittää alan kirjakieleen analyysi. Järjestelmän hyperreal numerot edustaa tiukkaa hoitomenetelmä ideoita siitä, äärettömän ja äärettömän pieni määrä, joka oli käytetty rennosti matemaatikot, tiedemiehet ja insinöörit, siitä lähtien keksintö äärettömän pieni calculus Newton ja Leibniz.,

moderni geometrinen versio infinity on antanut projective geometry, joka esittelee ”ihanteellinen pistettä ääretön”, yksi kullekin maankäytön suuntaan. Jokainen suku yhdensuuntaisia viivoja tiettyyn suuntaan on postulated lähentyä vastaavaan ihanteellinen kohta. Tämä liittyy läheisesti perspektiivipiirustuksen katoamispisteiden ajatukseen.,

kompleksilukuja Edit

varhaisin ohikiitävä viittaus negatiivisten lukujen neliöjuuriin tapahtui matemaatikko ja keksijä Heron aleksandrialaisen työssä 1.vuosisadalla jKr, kun hän piti pyramidin mahdottoman frustumin volyymia. Ne tuli näkyvämpi, kun 16-luvulla suljettuja kaavoja juuret kolmannen ja neljännen asteen polynomi löydettiin italia matemaatikot, kuten Niccolò Fontana Tartaglia ja Gerolamo Cardano., Se oli pian tajusi, että nämä kaavat, vaikka yksi oli kiinnostunut vain todellisia ratkaisuja, joskus tarvitaan manipulointi neliön juuret negatiivisia lukuja.

Tämä oli kaksin verroin huolestuttavaa, sillä he eivät edes katsoneet negatiivisten lukujen olevan tuolloin vakaalla pohjalla. Kun René Descartes keksi näille määrille termin ”imaginary” vuonna 1637, hän tarkoitti sen halventavaksi. (KS. kuvitteellinen luku keskustelulle kompleksilukujen ”todellisuudesta”.,) Vielä lähde sekaannusta oli, että yhtälö

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

näytti oikullisesti ristiriidassa algebrallinen identiteetti,

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

joka on voimassa positiivisia reaalilukuja a ja b, ja sitä käytettiin myös kompleksilukulaskut, jossa yksi a -, b-positiivinen ja toinen negatiivinen., Tämän identiteetin virheellinen käyttö ja siihen liittyvä identiteetti

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{A}}}}

tapauksessa, jossa sekä a että b ovat negatiivisia jopa bedeviled Euler. Tämä vaikeus johti lopulta siihen, että hän käytti erikoissymbolia i − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}}: n sijasta suojellakseen tätä virhettä.

1700-luvulla nähtiin Abraham de Moivren ja Leonhard Eulerin teos., De Moivre on kaavan (1730) todetaan:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta ) ^{- n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

kun taas Eulerin kaava monimutkainen analyysi (1748) antoi meille:

koska ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e-i θ . {\displaystyle \cos \theta + i\sin \ theta =e^{i\theta }.}

kompleksilukujen olemassaolo ei täysin hyväksytty ennen kuin Caspar Wessel kuvasi geometrisen tulkinnan vuonna 1799., Carl Friedrich Gauss löysi ja popularisoi sen uudelleen useita vuosia myöhemmin, minkä seurauksena kompleksilukujen teoria sai merkittävän laajennuksen. Ajatus kompleksilukujen graafisesta esityksestä oli kuitenkin ilmestynyt jo vuonna 1685 Wallisin de algebra tractatuksessa.

myös vuonna 1799 Gauss toimitti ensimmäisen yleisesti hyväksytyn todisteen algebran peruslauseesta, joka osoittaa, että jokaisella polynomilla kompleksilukujen päällä on täysi joukko ratkaisuja kyseisessä valtakunnassa., Yleisen hyväksymisen teorian monimutkaisia numeroita johtuu työllä Augustin Louis Cauchyn ja Niels Henrik Abel, ja varsinkin jälkimmäinen, joka oli ensimmäinen rohkeasti käyttää monimutkaisia numerot menestys, joka on tunnettu.

Gauss tutki kompleksilukuja muodossa a + bi, jossa A ja b ovat integraaleja eli rationaalisia (ja i on yksi x2 + 1 = 0: n kahdesta juuresta). Hänen oppilaansa Gotthold Eisenstein tutki tyyppiä A + bw, jossa ω on kompleksinen juuri x3 − 1 = 0., Muut tällaiset luokat (kutsutaan cyclotomic kentät) kompleksiluvut johtuvat juuret yhtenäisyyden xk − 1 = 0 korkeammat arvot k. tämä yleistys johtuu suurelta osin Ernst Kummer, joka myös keksi ihanteellinen numerot, jotka ilmaistiin geometriset entiteetit Felix Klein vuonna 1893.

Vuonna 1850 Victor: Alexandre Puiseux otti avaimen askel erottaa toisistaan pylväät ja haara pistettä ja otti käyttöön käsitteen olennainen yksikkö pistettä. Tämä johti lopulta laajennetun kompleksitason käsitteeseen.,

alkulukuja Edit

alkulukuja on tutkittu läpi kirjatun historian. Eukleides omistettu yksi kirja elementtejä teorian primes; siinä hän osoittautui infinitude, primes ja perustavanlaatuinen lause, aritmeettinen, ja esitteli Euklidinen algoritmi löytää suurin yhteinen jakaja kaksi numeroa.

vuonna 240 eaa Eratosthenes käytti Eratostheneen seulaa nopeasti alkulukujen eristämiseen. Mutta eniten primes-teorian jatkokehitys Euroopassa ajoittuu renessanssiin ja myöhemmin aikakausille.,

Vuonna 1796, Adrien-Marie Legendre otaksuttu, alkulukulause, jossa kuvataan asymptoottinen jakauma primes. Muita tuloksia jakelu primes ovat Eulerin todiste siitä, että summa reciprocals luvut vaihtelee, ja Goldbachin konjektuuri, joka väittää, että mikä tahansa riittävän suuri jopa numero on summa kahden primes. Vielä yksi alkulukujen jakaumaan liittyvä otaksuma on Bernhard Riemannin vuonna 1859 muotoilema Riemannin hypoteesi., Alkulukulause oli lopulta osoittautunut Jacques Hadamard ja Charles de la Vallée-Poussin vuonna 1896. Goldbachin ja Riemannin otaksumat ovat edelleen todistamattomia ja tunnustamattomia.