Yleiset huomautuksia
Luultavasti kaikkein luonnollinen lähestymistapa muodollinen logiikka on kautta ajatus pätevyyden argumentti, jollaisia tunnetaan deduktiivinen. Deduktiivinen argumentti voidaan karkeasti luonnehtia, jossa väite on tehty, että jokin väittämä (johtopäätös) seuraa ankara välttämättömyys jokin muu ehdotus tai ehdotukset (tilat)—eli, että se olisi epäjohdonmukainen tai ristiriitainen puolustaa tiloissa, mutta kieltää johtopäätös.,
Jos deduktiivinen argumentti on onnistua luomaan totuuden sen johtopäätöksen, kaksi aivan eri ehdot on täytettävä: ensinnäkin, johtopäätös on oikeastaan seuraa tiloihin—eli vähennys johtopäätös tiloissa on oltava loogisesti oikea—ja toinen, tiloja itse, on oltava totta. Molempia ehtoja täyttävää väitettä kutsutaan järkeväksi., Nämä kaksi ehtoa, logician sellaisenaan koskee vain ensimmäinen, toinen, määrittäminen totuus tai valheellisuus tiloihin, on tehtävä joitakin erityisiä kuria tai yleinen havainto sopiva aihe argumentti. Kun johtopäätös, että väite on oikein johdettavissa sen tiloihin, päätellen tilat johtopäätös on sanottu olevan (deduktiivisesti) voimassa, riippumatta siitä, ovatko premissit ovat tosia tai vääriä., Muita tapoja ilmaista se, että päättely on deduktiivisesti pätevä, on sanoa, että totuus tiloissa antaa (tai antaa) ehdoton tae totuuden tekemisestä tai, että se edellyttäisi looginen epäjohdonmukaisuus (erotuksena pelkkä virheen asiassa) olettaa, että tilat olivat tosia mutta johtopäätös epätosi.
deduktiivisia päätelmiä, jolla muodollinen logiikka on huolissaan ovat, kuten nimestä voi päätellä, ne, joiden voimassaolo ei riipu mitään ominaisuuksia niiden aihe, mutta niiden muoto tai rakenne. Näin ollen kaksi johtopäätöstä (1)Jokainen koira on nisäkäs. Jotkut nelijalkaiset ovat koiria. ∴ Jotkut kvadrupedit ovat nisäkkäitä. ja 2) Jokainen anarkisti uskoo vapaaseen rakkauteen. Osa hallituspuolueen jäsenistä on anarkisteja. ∴ Jotkut hallituspuolueen jäsenet uskovat vapaaseen rakkauteen., eroavat aihepiiriltään ja vaativat siksi erilaisia menettelyjä tarkastaakseen niiden tilojen totuuden tai valheellisuuden. Mutta niiden voimassaolo on varmistettu, mitä niillä on yhteistä—nimittäin, että väite kussakin on muotoa(3) Jokaisella X on Y: Jotkut Z ovat X: n. ∴ Jotkut Z on Y: n.
Line (3) edellä voi olla kutsutaan päättely muodossa, ja (1) ja (2) ovat sitten tapauksia, että päättely muodossa. Kirjaimet-X, Y ja Z-in (3) merkitsevät paikat, joihin tietyntyyppisiä ilmaisuja voidaan lisätä., Tässä tarkoituksessa käytettävät symbolit tunnetaan muuttujina; niiden käyttö on algebrassa X: n käyttöä vastaavaa, mikä merkitsee paikkaa, johon numeraali voidaan lisätä. Esimerkki päättelyn muoto on tuotettu korvaamalla kaikki muuttujat se asianmukaisin lausekkeita (eli ne, jotka järkeä yhteydessä) ja tekemällä niin tasaisesti (eli korvaamalla sama ilme aina saman muuttujan toistuu)., Ominaisuus (3), joka takaa, että jokainen esiintymä se on voimassa, on sen rakentaminen siten, että jokainen yhtenäinen tapa korvaa sen muuttujia, jotta tiloihin totta tekee automaattisesti johtopäätös totta myös, tai, toisin sanoen, että ei ole esimerkiksi se voi olla totta tiloissa, mutta väärä johtopäätös. Tämän ominaisuuden vuoksi muotoa (3) kutsutaan päteväksi päättelymuodoksi. Sen sijaan (4) jokainen X on Y. jotkut Z: t ovat Y: t. ∴ jotkut Z: t ovat X: T., ei ole pätevä päättely muodossa, vaikka tapauksissa se voi olla tuotettu jonka tiloissa ja johtopäätös ovat kaikki totta tapauksia, se voi myös olla tuotettu jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös on väärä—esim., (5) Jokainen koira on nisäkäs. Osa siivekkäistä on nisäkkäitä. ∴ Jotkut siivekkäät olennot ovat koiria.
Muodollista logiikkaa kuin tutkimus koskee päättelyn muotojen sijaan erityisesti tapauksissa niistä. Yksi sen tehtävistä on syrjiä voimassa ja kelpaa päättelyn muotoja ja tutkia ja systematisoida suhteita, jotka pitävät niistä voimassa olevista.,
läheistä sukua ajatukselle pätevästä päättelymuodosta on voimassa oleva propositiomuoto. Ehdotuksen muoto on ilmaus, jolla tapauksissa (tuotettu kuten ennen asianmukaiset ja yhtenäiset korvaavia muuttujia) ei päätelmiä useita ehdotuksia päätökseen, vaan pikemminkin ehdotuksia otetaan yksilöllisesti, ja voimassa oleva proposition muodossa on yksi, jonka kaikki esiintymät ovat tosia propositioita. Yksinkertainen esimerkki on(6) Mitään on sekä X ja ei-X: Muodollinen logiikka on huolissaan ehdotus muotoja sekä päättelyn muotoja., Tutkimus ehdotus muodot voivat itse asiassa olla teki kuuluu, että päättelyn muodot seuraavalla tavalla: anna tiloissa tahansa päättely muodossa (yhdessä) olla lyhennetty alpha (α) ja sen tekemisestä beta (β). Sitten ehto edellä validiteetin kannalta päättelyn muoto ”α, siksi β” tarkoittaa sitä, että ei esimerkiksi ehdotus muodossa ”α ja-β” on tosi—eli se, että jokainen esiintymä proposition muodossa(7) Ei molempia: α ja-β on totta—tai linja (7), täysin täsmennetty, tietenkin, on voimassa proposition muodossa., Tutkimus ehdotus muodoissa, kuitenkin, voi olla myös majoittua alle tutkimuksen päättelyn muotoja, ja niin syistä kattavuus, se on tavallista ottaa huomioon muodollista logiikkaa kuin tutkimuksen ehdotus muotoja. Koska logician on käsittelyssä ehdotus muotoja on monella tapaa analoginen matemaatikko käsittely numeerinen kaavat, järjestelmiä hän rakentaa kutsutaan usein calculi.
Paljon työtä logician etenee enemmän abstraktilla tasolla kuin edellä keskustelua., Vaikka kaavan, kuten (3) edellä, vaikka ei viittaa mihinkään tiettyyn aiheeseen, sisältää ilmaisuja, kuten ”jokainen” ja ”on”, joka on ajatellut, että sillä on selvä merkitys, ja muuttujat on tarkoitus merkitä paikkoja ilmaisuja yksi tietty aika (noin, tavallisia substantiiveja tai luokan nimiä). On kuitenkin mahdollista—ja joissakin tarkoituksissa oleellista—tutkia kaavoja liittämättä niihin edes tämänasteista mielekkyyttä., Rakentaminen järjestelmä, logiikka, itse asiassa, liittyy kaksi erotettavissa prosessit: yksi koostuu perustamalla symbolinen laitteet—joukko symboleja, sääntöjä nauhassa nämä yhteen kaavoja ja sääntöjä manipuloimalla nämä kaavat; toinen koostuu liittämällä tiettyjä merkityksiä nämä symbolit ja kaavat. Jos vain ensin mainittu tehdään, järjestelmän sanotaan olevan epäkiinnostettu tai puhtaasti muodollinen; jos jälkimmäinen tehdään yhtä hyvin, järjestelmää sanotaan tulkittavan., Tämä ero on tärkeä, koska logiikan järjestelmillä osoittautuu olevan tiettyjä ominaisuuksia täysin riippumatta niistä mahdollisesti tehdyistä tulkinnoista. On itsestään selvää, järjestelmän logiikkaa voidaan ottaa esimerkkinä, eli järjestelmä, jossa tietyt todistamaton kaavoja, tunnetaan aksioomat, ovat ottaneet lähtökohtana, ja edelleen kaavat (lauseet) ovat osoittautuneet vahvuus näistä., Kuten näkyy, myöhemmin (ks. alla Axiomatization PC), kysymys siitä, onko jono kaavoja, on itsestään selvää, järjestelmä on todiste siitä tai ei, riippuu yksinomaan jossa kaavat tehdään mahdollisimman aksioomat ja siitä, mitä säännöt ovat johtamiseksi teoreemojen aksioomat, eikä ollenkaan siitä, mitä lauseet tai aksioomat tarkoittaa. Lisäksi, tietyn uninterpreted järjestelmä on yleensä mahdollista tulkita yhtä hyvin monin eri tavoin; näin ollen, tutkimalla uninterpreted järjestelmä, joka tutkii rakenne, joka on yhteinen erilaisia tulkita järjestelmissä., Yleensä logician, jotka rakentaa puhtaasti muodollinen järjestelmä ei ole tietty tulkinta mielessään, ja hänen motiivi rakentaa se on uskomus, että kun tämä tulkinta on antanut se, kaavat järjestelmän tulee pystyä ilmaisemaan todellisia periaatteita jollakin alalla ajatuksen, mutta edellä mainituista syistä muun muassa, hän yleensä hoitaa kuvaamaan kaavat ja valtion järjestelmän säännöt ilman viittausta tulkinta ja ilmoittaa erillisenä väliä tulkintaa, että hän on mielessä.,
Monet ideat käytetty näyttely muodollinen logiikka, mukaan lukien joitakin, jotka on mainittu edellä, nostaa esiin ongelmia, jotka kuuluvat filosofian, pikemminkin kuin logiikka itsessään. Esimerkiksi: mikä on oikea analyysi totuuden käsitteestä? Mikä on ehdotus, ja miten se liittyy lauseeseen, jolla se ilmaistaan? Onko olemassa jonkinlaista järkevää päättelyä, joka ei ole deduktiivista eikä induktiivista?, Onneksi, se on mahdollista oppia tekemään muodollinen logiikka ilman tyydyttäviä vastauksia näihin kysymyksiin, aivan kuten se on mahdollista tehdä ilman matematiikan vastaamalla kysymyksiin, jotka kuuluvat filosofia, matematiikka, kuten: numeroita todellisia esineitä tai ajatusrakennelmia?