Cooperation in the Prisoner’s Dilemma: an experimental comparison between pure and mixed strategies

Introduction

Prisoner’s Dilemma (PD) es un dilema social en el que (generalmente) dos jugadores enfrentan simultáneamente una elección entre dos opciones: cooperar o desertar., La matriz de juego del PD con pagos T >R >P > S Se muestra en la tabla 1 (el primer pago en cada celda pertenece al jugador a, el segundo al jugador B). Si ambos jugadores cooperan, ambos reciben recompensa R (por Recompensa). Si ambos jugadores desertan, reciben P (Por castigo). Si solo un jugador falla y el otro jugador coopera, el desertor recibe T (por tentación) y el cooperador recibe S (por lechón)., En las interacciones de un solo disparo (o cuando el juego se repite durante un número finito de períodos), cada jugador, independientemente de la elección del otro jugador, tiene un incentivo para desertar. Cada jugador está tentado a maximizar sus propias ganancias al desertar, pero si ambos desertan, ambos pierden en comparación con la situación en la que ambos cooperan. Según el equilibrio de Nash, en equilibrio, ningún jugador tiene un incentivo para desviarse unilateralmente de su elección. Sin embargo, el equilibrio de Nash de deserción Mutua del PD no es socialmente eficiente., Por lo tanto, es de interés para la sociedad conocer los determinantes de la cooperación en el PD , porque este dilema es probable que surja en cualquier lugar donde existan conflictos de intereses, ya sea en la política, la economía o incluso la evolución . Debido a la frecuente aparición e importancia de la PD, muchas disciplinas científicas analizaron la cooperación en la PD, por ejemplo , biología evolutiva/genética , teoría del caos , sociología, psicología y economía (experimental). Como una revisión exhaustiva de la literatura está más allá del alcance de este artículo, nos referimos a los artículos de la encuesta para una visión general .,

en Este artículo se presenta una comparación entre los sujetos limitado a jugar puro y estrategias de los sujetos permite jugar las estrategias mixtas en un one-shot simétrica PD experimento de laboratorio., Nuestra investigación está motivada por diferentes interpretaciones del equilibrio mixto de Nash en la literatura teórica de juegos en Economía. Von Neumann & Morgenstern interpreta las estrategias mixtas como un dispositivo Aleatorio deliberado para ocultar las intenciones de uno (por ejemplo, un jugador en el juego de monedas iguales que quiere ser más astuto que su oponente), mientras que Rosenthal las interpreta como la distribución de elecciones puras en una gran población (por ejemplo,, hay dos subpoblaciones, cada una tiene su propio conjunto de estrategias puras disponibles, y la naturaleza empareja a los jugadores de las diferentes poblaciones al azar). Otra interpretación es proporcionada por Aumann que afirma que la naturaleza probabilística de las estrategias mixtas refleja la incertidumbre de los jugadores que no saben qué acciones toman los otros jugadores. De acuerdo con esta interpretación, cada jugador siempre elige una estrategia pura definida, sin ningún intento de aleatorización. (Rubinstein ofrece una discusión de estas diferentes interpretaciones.,) Con nuestro artículo, probamos si la tasa de cooperación difiere cuando comparamos a los jugadores a los que se les permite jugar estrategias mixtas (que se asemejan a la interpretación ) con jugadores que individualmente tienen que elegir entre sus estrategias puras (que se asemejan ). Con el fin de dar cuenta del papel de la incertidumbre sobre las acciones de los demás , también obtenemos creencias sobre estas acciones. Elegimos el PD como el juego subyacente en nuestro experimento (I) debido a su papel prominente en varias disciplinas, y (II) porque la cooperación en el PD involucra a sujetos que intercambian intereses individuales y sociales., Consideramos que la cooperación en el PD es una cuestión más interesante (y moral, ver ) que simplemente una de cálculo (como en el juego de los centavos de Juego).

los sujetos de un grupo de nuestro experimento están restringidos a jugar estrategias puras y a los sujetos de otro grupo se les permite jugar estrategias mixtas en un juego de PD simétrico de un solo disparo. En ambos grupos, los sujetos interactúan anónimamente con otros 10 sujetos y toman sus decisiones a la vez (hasta donde sabemos, somos los primeros en adoptar este enfoque en un experimento de DP)., Estrategias mixtas de repuesto tomadores de decisión de comprometerse a la cooperación plena o completa de la defección. En su lugar, los jugadores pueden seleccionar una mezcla de esas estrategias puras. El propósito de este estudio es determinar si y cómo la opción de jugar estrategias mixtas afecta la cooperación en un DP. En nuestro experimento monetariamente incentivado, los sujetos se dividen en dos grupos que difieren solo en su espacio de decisión. En el grupo de control puro, los sujetos toman una decisión de estrategia pura., Para 10 interacciones anónimas emparejadas aleatoriamente dentro de su sesión experimental, deciden de una vez cooperar o desertar de acuerdo con la matriz de juego en la tabla 2. En el grupo de tratamiento mixto, los sujetos tienen la opción de tomar una elección de estrategia mixta. Deciden en cuántas de las 10 interacciones anónimas emparejadas aleatoriamente quieren cooperar; en las interacciones anónimas restantes (también emparejadas aleatoriamente), desertan. Por lo tanto, los sujetos en Mixed todavía tienen la opción de cooperar plenamente o desertar completamente, como en Pure., El orden en que los sujetos juegan la mezcla elegida de cooperación y deserción se determina aleatoriamente.

Para aumentar las posibilidades de que las decisiones son tomadas deliberadamente, los sujetos en ambos tratamientos se pide al estado una creencia sobre sus oponentes cooperativismo., La obtención de estas creencias también nos permite examinar más de cerca la relación entre las creencias y el comportamiento cooperativo. La obtención de creencias sobre el comportamiento de otros jugadores y las consecuencias de estas creencias para el propio comportamiento fue un tema de investigación inicial. Los sujetos en experimentos de DP suponen que otros jugarán como ellos mismos pretenden jugar ., Croson encontró que cuando a los sujetos se les preguntó por su mejor estimación (binaria) de lo que haría su contraparte en el experimento, disminuyó la cooperación posterior en experimentos de PD de una sola vez en aproximadamente un 30% en comparación con los sujetos a los que no se les preguntó. Acevedo & Krueger atribuye esta relación entre creencias y comportamiento al razonamiento probatorio y la orientación al valor social. Rubinstein & Salant presenta evidencia relacionada de auto-similitud en interacciones estratégicas similares a la DP.,

en un cuestionario post-experimental, preguntamos a los sujetos sobre las variables de control que consideramos importantes para los experimentos realizados con estudiantes en un campus universitario (decidimos no incluir más variables de control ya que los sujetos en los experimentos eran exclusivamente estudiantes y, por lo tanto, de edad y nivel educativo similares y ninguno de ellos ha participado previamente en un experimento de DP en el laboratorio; no incluimos una medida de aversión al riesgo porque hay evidencia de que no se correlaciona con el comportamiento en el DP o el juego de confianza )., En primer lugar, se incluyó el género porque se encontró que las mujeres eran más cooperativas en las primeras rondas de un experimento repetido de DP (esta diferencia fue más pronunciada en las sesiones mixtas que cuando se compararon las sesiones de un solo género). Vea para una discusión más general de las diferencias de género en los experimentos de DP y para un meta-estudio de las diferencias de género en el juego del dictador y los experimentos de DP. En segundo lugar, incluimos si los sujetos ya habían oído hablar del experimento (porque haber oído hablar del experimento de compañeros puede hacer que los sujetos se comporten de manera diferente a los sujetos que no lo han hecho)., En tercer lugar, incluimos si estaban familiarizados con la teoría de juegos (ya que la PD se enseña generalmente en las clases de teoría de juegos y conocer la solución puede hacer que los estudiantes se comporten más en línea con la teoría; Véase, por ejemplo, sobre el papel de la experiencia de los sujetos en los experimentos de PD). Finalmente, preguntamos cuántos otros sujetos en la sala conocían personalmente los sujetos (conocer más de los otros sujetos personalmente puede hacer que los sujetos se comporten más pro-socialmente, es decir, más propensos a cooperar en el DP).,

La Teoría de juegos estándar predice que la opción de jugar estrategias mixtas en un juego de PD de un solo disparo no afectará la cooperación en absoluto. La deserción mutua es el único equilibrio de Nash del juego, lo que significa que los jugadores no tienen ningún incentivo para desviarse unilateralmente de la distribución de probabilidad de 100% de deserción y 0% de cooperación. Empíricamente, sin embargo, hasta el 80% de las opciones en los juegos experimentales de PD son cooperativas, dependiendo de la calibración de los pagos . Para nuestros experimentos, elegimos la matriz de juego presentada en la tabla 2., Ya se había utilizado en, la OMS informó de una tasa de cooperación del 55% y una tasa de creencias del 45%. En lo puro, los sujetos pro-sociales tienen que enfrentar una decisión de ‘todo o nada’. Aquí, la incertidumbre sobre el comportamiento de los demás es probable que atraiga a los sujetos pro-sociales hacia la deserción, debido al miedo a ser aprovechados de abruma el deseo de maximizar los resultados conjuntos. En Mixto, esperamos la opción de jugar estrategias mixtas para alentar a los sujetos pro-sociales a cooperar recíprocamente al menos en el mismo grado que esperan que sus oponentes cooperen., El punto crucial es que solo la mezcla de estrategias permite a los sujetos dar la mejor respuesta a su creencia. Como esperamos una distribución muy cercana al 50% de cooperación / 50% de deserción tanto de creencias como de comportamiento, la matriz de juego elegida debería darnos resultados claros.

Predicción: la tasa de cooperación en mixto es mayor que en puro.

la decisión de una sola vez proporciona la prueba más limpia para dilemas sociales como el PD. Cuando una decisión solo se toma una vez, los sujetos no pueden aprender en el transcurso del tiempo (ya que algunos sujetos obtienen comprensión cuando se proporciona retroalimentación )., Condicionar el propio comportamiento en el comportamiento pasado observado de otros no es posible (como la reciprocidad reportada en los experimentos de Juego de bienes públicos, es decir, en ) y la construcción de reputación no juega un papel (como lo hace cuando interactúa más de una vez con el mismo sujeto).

métodos

la crisis de replicación ha revelado que muchos resultados en psicología, economía experimental y otras ciencias sociales no son reproducibles., Abordamos esta crisis determinando el número de observaciones requeridas con la ayuda de un cálculo de potencia (donde el tamaño del efecto esperado se basa en la literatura) antes de realizar nuestros experimentos. Usando la potencia G*3.1.9.2, se calculó un tamaño de muestra requerido de 40 en cada uno de los dos grupos de tratamiento para proporcionar una potencia estadística de 1 − β = 0.8 para detectar un efecto de d = 0.58, asumiendo una prueba de Wilcoxon de una sola cara y una probabilidad de error de α = 0.05., Utilizamos los resultados en y calculamos el tamaño del efecto basado en un aumento esperado en la cooperación de 7 puntos porcentuales en mixto sobre la tasa de cooperación reportada de 55% cuya matriz de rentabilidad también utilizamos . Asumimos una desviación estándar de s. d. = 12.16 en ambos tratamientos (calculada a partir de los puntos de datos de un reciente meta-estudio ).

un total de 97 estudiantes de la Universidad de Potsdam que se habían suscrito a la base de datos ORSEE (basada en ) del laboratorio de Potsdam para experimentos Económicos (o PLEx, https://www.uni-potsdam.de/plex) fueron reclutados para participar en este experimento., Estos sujetos fueron asignados aleatoriamente a dos tratamientos: 48 sujetos en puro y 49 sujetos en Mixto. Un total de 12-18 sujetos participaron en cada una de las seis sesiones realizadas en junio de 2018. Cada sujeto participó en un solo período de sesiones.

después de ingresar al laboratorio, los sujetos fueron asignados aleatoriamente a un terminal de computadora, después de lo cual se prohibió cualquier comunicación entre los sujetos. Las persianas entre las estaciones de trabajo prohibían a los sujetos mirar las pantallas de sus vecinos y observar sus decisiones. Se proporcionó una hoja de papel en blanco y un bolígrafo para cada tema., Las instrucciones experimentales se mostraban en la pantalla de la computadora al comienzo del experimento (para las traducciones del experimento y las capturas de pantalla en alemán, consulte el repositorio en la declaración de accesibilidad de datos). Las sesiones eran sesiones puras o mixtas, de modo que las instrucciones eran idénticas para todos los sujetos de la sala. Cada sesión experimental duró unos 15 min., Después del juego experimental, se pidió a los sujetos que rellenaran un breve cuestionario para recopilar información sobre el género de los sujetos (variable ficticia Femenina = 1 si es mujer) y si ya habían oído hablar del experimento (variable ficticia experimento conocido = 1 si es así), si estaban familiarizados con la teoría de juegos (variable ficticia teoría de juegos = 1 si es así) y cuántos otros sujetos en la sala conocían personalmente (variable sujetos conocidos = número de sujetos conocidos). Los sujetos ganaron una tarifa de presentación de €4 y un promedio de €6.18 en el juego (€6.47 en puro, €5.90 en Mixto)., Los sujetos recibieron su recompensa en privado. El experimento fue programado en Z-Tree y enmarcado de manera neutral. En ambos grupos, los sujetos fueron presentados con la matriz de rentabilidad en la tabla 2. La cooperación fue etiquetada como decisión a, decisión de deserción B.

en ambos grupos, los sujetos tuvieron que tomar una sola decisión relevante para el beneficio. En Pure, los sujetos tuvieron que decidir jugar la decisión a o la decisión B en las 10 interacciones posteriores (cooperación variable: 0 o 1, transformada en tasas de 0 o 100)., En Mixed, por el contrario, los sujetos tenían que decidir en cuántas de las 10 interacciones tomarían la decisión A (cooperación variable: enteros entre 0 y 10, transformados en tasas entre 0 y 100). En las interacciones restantes, jugaron la decisión B. El orden en el que jugaron la mezcla elegida de A O B contra sus contrapartes fue determinado aleatoriamente por la computadora. Después de esto, la computadora emparejó a los sujetos aleatoriamente en pares con uno de los otros 10 sujetos en la habitación. La recompensa de cada sujeto del experimento fue la suma de los beneficios obtenidos en las 10 interacciones., Los sujetos no recibieron ninguna información sobre sus homólogos ni sobre las decisiones de otros sujetos.

antes de que los sujetos tomaran su decisión, se les pidió que evaluaran (sin incentivos) el comportamiento de los otros sujetos. En Pure, los sujetos tenían que indicar cuántos de sus 10 socios de interacción esperaban que elegirían la decisión A (creencia variable: entero entre 0 y 10, transformado en tasas entre 0 y 100)., En Mixed, los sujetos tenían que indicar en cuántas interacciones creían que sus 10 socios de interacción elegirían la decisión a en promedio (creencia variable: número con hasta dos decimales entre 0 y 10, también transformado en tasas).

Resultados

3.1. Comparación de medias de tratamiento

Lo más importante son las comparaciones de medias de las dos variables de interés, cooperación y creencia, en nuestros grupos de tratamiento (ambas variables se expresan aquí como Tasas y oscilan entre 0 y 100%)., También verificamos nuestras variables de control para muestras equilibradas, ya que las diferencias entre los tratamientos pueden afectar los resultados. En la Tabla 3 se presentan los promedios de la muestra, las diferencias entre los tratamientos y los resultados de las pruebas sobre las diferencias entre los tratamientos. Asignamos aleatoriamente 49 sujetos a mixtos y 48 sujetos a puros. No excluimos ninguna observación.

con el fin De comparar los (cuasi-)variables continuas en las dos muestras independientes, utilizamos la de Wilcoxon rank sum test., Es una prueba no paramétrica, ya que (en contraste con la prueba t) no requiere la suposición de que ambas muestras son de igual varianza ni que las dos muestras están distribuidas normalmente. Aplicamos la prueba χ2 para detectar diferencias en las frecuencias de las categorías binarias en las dos muestras independientes.

3.1.1. Resultado

Nuestra pregunta principal es la diferencia en las tasas de cooperación entre el grupo de tratamiento mixto y el grupo de control puro. La tasa de cooperación en mixto es del 60%, en puro del 75%., Una prueba doble de Wilcoxon muestra que la diferencia entre los dos grupos es altamente estadísticamente significativa (p = 0.0003).

Nuestra predicción de que la posibilidad de jugar estrategias mixtas aumentará la cooperación en el PD se muestra errónea: la tasa de cooperación en Pure es más alta que en Mixed.

Las creencias sobre la cooperación de otros sujetos pueden, por supuesto, también verse afectadas por el entorno de decisión (la creencia es una variable endógena). Una prueba de suma de rangos de Wilcoxon de dos lados encuentra que la diferencia entre mezclado y puro es estadísticamente diferente (p = 0.0396)., Por lo tanto, las creencias de los sujetos reflejan correctamente la menor tasa de cooperación en mixto en comparación con puro.

en nuestra revisión de muestras balanceadas, solo la variable sujetos conocidos fue estadísticamente diferente entre los tratamientos (p = 0.0388). Posteriormente incluiremos esta variable en un control de robustez de las diferentes tasas de cooperación identificadas en los dos tratamientos.

3.2., Prueba de diferencias de género en creencias y cooperación

dado el interés en las diferencias de género en la cooperación mencionado en la introducción, examinamos brevemente la relación entre género y tasa de cooperación y género y creencia por separado. No observamos una relación estadísticamente significativa entre la mujer y la creencia (el coeficiente de correlación de Pearson de ambas variables es -0.098 (p = 0.5093) en puras y 0.161 (p = 0.2706) en mixtas) ni entre la mujer y la cooperación (el coeficiente de correlación de Pearson de ambas variables es -0.068 (p = 0.646) en puras y -0.020 (p = 0).,8900) en Mixed).

3.3. La relación entre cooperación y creencias

En primer lugar, consideramos las distribuciones de las variables creencia y cooperación. La figura 1 muestra histogramas de estas dos variables en puro y mixto. Observamos que las distribuciones de la creencia en los dos tratamientos son similares, con muchas observaciones que caen en el medio del intervalo. Curiosamente, en Mixed, muchos sujetos también eligieron niveles de cooperación intermedios. En este tratamiento, las distribuciones de la creencia y la cooperación se encuentran casi una encima de la otra.,

esto nos lleva al tema principal de esta sección: la relación entre las creencias de los sujetos sobre el juego cooperativo de los demás y su propia decisión. La figura 2 muestra un cuadro de creencia por Cooperación en Pure. Los cooperadores tienen una creencia media ligeramente más alta que los desertores y sus creencias son más comprimidas. Sin embargo, el coeficiente de correlación de Pearson de 0.,140 no es significativamente diferente de cero (p = 0.3445). La figura 3 muestra una gráfica de dispersión que sugiere una relación lineal entre la cooperación y la creencia en Mixta. Una correlación positiva entre la cooperación y la creencia en este tratamiento se confirma por un coeficiente de correlación de Pearson de 0.403, significativamente diferente de cero (p = 0.0041).

3.4. Controlando para confounds usando regresiones OLS

¿el resultado de que los sujetos en Mixed cooperan menos que los sujetos en Pure aún se mantiene si controlamos para las dos variables que diferían entre tratamientos? La tabla 4 muestra los resultados de las regresiones OLS (en economía, la regresión de mínimos cuadrados ordinarios multivariable es la técnica más común para estimar las relaciones entre variables mientras se controla la influencia de las covariables)., En el modelo 1, retrocedemos la cooperación, utilizando nuestros datos agrupados, en una constante y un tratamiento-maniquí para mixto. El resultado confirma nuestro hallazgo anterior: significativamente más cooperación en Puras (t-test , p = 0.043). En el modelo 2, extendemos el modelo 1 agregando creencia en la regresión. Ambas variables son estadísticamente diferentes de cero (pruebas t, maniquí mixto: p = 0,098; creencia: p = 0,025). Finalmente, en el modelo 3, agregamos sujetos conocidos al modelo 2. En este caso, el maniquí de tratamiento y los sujetos conocidos no son estadísticamente diferentes de cero (pruebas t, maniquí mixto: p = 0,137; sujetos conocidos: p = 0,357)., Las creencias de los sujetos son significativamente diferentes de cero (t-test, p = 0.049).

¿Qué modelo proporciona el mejor ajuste estadístico (ya que no queremos sobreajustar ni subestimar nuestro modelo)? La medida de la varianza explicada, R2 ajustado, es más alta para el modelo 2, y los criterios de información de Akaike y Bayesian (AIC y BIC; los criterios más comunes para la selección del modelo) son más bajos para el modelo 2., Las tres métricas indican que el modelo 2 proporciona el mejor ajuste estadístico de los tres modelos. Concluimos de esta comprobación de robustez que la tasa de cooperación en Pure es mayor que en Mixed incluso cuando controlamos la creencia variable (que es endógena a los dos grupos de tratamiento), contrariamente a nuestra predicción.

conclusión

para resumir, llevamos a cabo experimentos de juego de PD de un solo disparo. Nuestra variable de tratamiento fue la oportunidad de jugar estrategias mixtas., En un grupo de control, los sujetos se limitaron a jugar ya sea cooperación total o deserción total contra otros 10 sujetos. En el grupo de tratamiento, se permitió a los sujetos elegir cualquier combinación de las dos estrategias. Antes de que los sujetos tomaran su decisión, obtuvimos sus creencias sobre el nivel de cooperación de los otros sujetos.

Usando una prueba bilateral, encontramos que-contrariamente a nuestra predicción—la tasa de cooperación en puro era en realidad más alta que en Mixto., Incluso después de controlar las creencias de los sujetos en las regresiones OLS, esta diferencia sigue siendo significativamente diferente de cero (aunque solo en el nivel del 10%). Como solo realizamos un cálculo de potencia para una comparación de los promedios de tratamiento para la cooperación, somos cuidadosos con la interpretación de la tasa de cooperación más alta que detectamos en Pure. Sin embargo, vemos nuestros hallazgos como una indicación de que las tasas de cooperación difieren cuando los sujetos pueden usar estrategias mixtas.

un revisor de este artículo señaló que los sujetos en Mixto podrían cooperar con una cierta probabilidad., En Pure, estos sujetos solo cooperarían si esta probabilidad es superior a un cierto umbral (es muy probable que solo cooperen si creen que más del 50% de los demás sujetos también cooperan). Esta teoría del punto de conmutación suena razonable. Sin embargo, para probarlo se requeriría un diseño experimental donde cada sujeto pasa por una etapa pura y una mixta (el orden de puro y mixto debe aleatorizarse entre los sujetos y controlarse en los análisis)., Con nuestro diseño, solo probamos si las tasas de cooperación (y las creencias) difieren cuando los sujetos pueden jugar estrategias mixtas (entre sujetos). Las creencias sobre la cooperación de los demás son endógenas en el grupo de control y en el grupo de tratamiento.

un estudio anterior mostró cómo las tasas de cooperación varían entre los experimentos de PD simétricos de un solo disparo cuando la rentabilidad de la cooperación/cooperación en las matrices de juego subyacentes es variada . Encuentran, como se predijo, que la tasa de cooperación aumenta cuando aumentan la rentabilidad., También encuentran que las creencias sobre el comportamiento de otros sujetos (que se obtuvieron después de que los sujetos tomaron su decisión) siguen de cerca la tasa de cooperación en el tratamiento respectivo.

creemos que sería interesante combinar el diseño experimental con nuestro enfoque. Dependiendo de la parametrización de la matriz de juego PD, el efecto de las estrategias mixtas puede ser diferente. Cuando la tasa de cooperación en un tratamiento puro es muy baja, esta tasa puede ser mayor en un tratamiento mixto (debido a sujetos que no fallan completamente pero eligen un nivel intermedio de cooperación)., Esto, por supuesto, requiere otra serie de experimentos. Estos experimentos también podrían incluir un cuestionario preguntando por la orientación del valor social de los sujetos con el fin de desenredar los motivos de los sujetos para cooperar (ver para un meta-estudio de la orientación del valor social en dilemas sociales).

ética

Los experimentos económicos como el nuestro no están sujetos a la aprobación de la Junta de revisión ética de la Universidad (https://www.uni-potsdam.de/senat/kommissionen-des-senats/ek.html). Todos los sujetos firmaron un consentimiento informado general/declaración de privacidad de datos antes del primer experimento en el PLEx., Ningún menor participó en los experimentos.

accesibilidad de datos

Los datos, el código, las instrucciones experimentales y las capturas de pantalla se pueden acceder en https://osf.io/p4dgz/.

contribuciones de los autores

L. H. y A. O. diseñaron la investigación, realizaron los experimentos, analizaron los resultados y escribieron el manuscrito; A. O. programó el software experimental.,

intereses en competencia

declaramos que no tenemos intereses en competencia

financiación

reconocemos el apoyo de Deutsche Forschungsgemeinschaft (fundación alemana de investigación) y Open Access Publication Fund de la Universidad de Potsdam.

Notas a pie de página