Balken können in ihrer Geometrie und Zusammensetzung stark variieren. Zum Beispiel kann ein Strahl gerade oder gekrümmt sein. Es kann einen konstanten Querschnitt haben oder sich verjüngen. Es kann vollständig aus demselben Material (homogen) oder aus verschiedenen Materialien (Verbundwerkstoffen) bestehen. Einige dieser Dinge erschweren die Analyse, aber viele technische Anwendungen beinhalten Fälle, die nicht so kompliziert sind., Die Analyse wird vereinfacht, wenn:
- Der Strahl ursprünglich gerade ist und jede Verjüngung gering ist
- Der Strahl erfährt nur eine lineare elastische Verformung
- Der Strahl ist schlank (sein Verhältnis von Länge zu Höhe ist größer als 10)
- Es werden nur kleine Ablenkungen berücksichtigt (maximale Ablenkung weniger als 1/10 der Spannweite).,
In diesem Fall kann die Gleichung, die die Ablenkung des Strahls regelt ( w {\displaystyle w}), wie folgt angenähert werden:
d 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}={\frac {M(x)} {E(x)I(x)}}}
wobei die zweite Ableitung seiner abgelenkten Form in Bezug auf x {\displaystyle x} als seine Krümmung interpretiert wird, E {\displaystyle E} ist der Modul des Strahls, I {\displaystyle I} ist das Flächenmoment der Trägheit des Querschnitts und M {\displaystyle M} ist das interne Biegemoment im Strahl.,
Wenn zusätzlich der Strahl sich nicht verjüngt und homogen ist und durch eine verteilte Last q {\displaystyle q} beeinflusst wird, kann der obige Ausdruck wie folgt geschrieben werden:
E I d 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}=q(x)}
Diese Gleichung kann für eine Vielzahl von von Beladungs-und Randbedingungen. Eine Reihe von einfachen Beispielen sind unten gezeigt. Die ausgedrückten Formeln sind Näherungswerte, die für lange, schlanke, homogene, prismatische Strahlen mit kleinen Durchbiegungen und linearen elastischen Eigenschaften entwickelt wurden., Unter diesen Einschränkungen sollten die Annäherungen Ergebnisse innerhalb von 5% der tatsächlichen Durchbiegung ergeben.
Cantilever beamsEdit
Cantilever Balken haben ein Ende fixiert, so dass die Steigung und Durchbiegung an diesem Ende Null sein muss.
Schematische Darstellung der Ablenkung eines cantilever beam.,div>
Ende-geladen cantilever beamsEdit
Cantilever strahl mit eine kraft auf die freie ende
δ B = F L 3 3 E I {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}} ϕ B = F L 2 2 E I {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}} {2EI}}}
wobei
F {\displaystyle F} = Kraft, die auf die Spitze des Strahls wirkt L {\displaystyle L} = Länge des Strahls (span) E {\displaystyle E} = Elastizitätsmodul I {\displaystyle I} = Trägheitsmoment des Strahlquerschnitts
Beachten Sie, dass sich die Durchbiegung bei Verdoppelung der Spannweite um das Achtfache erhöht.,e-Strahl E {\displaystyle E} = Elastizitätsmodul I {\displaystyle I} = Bereich Trägheitsmoment des Querschnitts
Die Biegung an einem Punkt x {\displaystyle x} , entlang der Spannweite gleichmäßig geladen freitragenden Strahls kann berechnet werden mit:
δ x = q x 2 24 E ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})} ϕ x = q x 6 E I ( 3 L 2 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}
Einfach-unterstützt beamsEdit
Einfach unterstützte Balken haben, unterstützt unter Ihren enden, die es erlauben die rotation, aber nicht Verformung.,
Schematische Darstellung der Ablenkung eines einfach unterstützten Strahl.,iv>
Die maximale elastische Ablenkung auf einem Balken, der von zwei einfachen Stützen getragen wird und in einem Abstand a {\displaystyle a} von der nächsten Stütze geladen wird, ist gegeben durch:
δ m a x = F a (L 2-a 2 ) 3 / 2 9 3 L E I {\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2} – a^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
wobei
F {\displaystyle F} = Kraft, die auf den Strahl wirkt L {\displaystyle L} = Länge des Strahls zwischen den Trägern E {\displaystyle E} = Elastizitätsmodul I {\displaystyle I} = Flächen Trägheitsmoment des Querschnitts a {\displaystyle a} = Abstand von der Last zum nächsten Träger (i.,der.,am kann berechnet werden mit:
δ x = q x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}
Längenänderung:
Wobei:
Δ L {\displaystyle \Delta L} = Längenänderung (immer negativ) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = Steigungsfunktion (erste Ableitung von δ x {\displaystyle \delta _{x}} ) Δ L = − 1 2 ∫ 0 L ( θ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}
Wenn der Strahl gleichmäßig ist und die Ablenkung an einem beliebigen Punkt bekannt ist, kann dies berechnet werden, ohne andere Eigenschaften des Strahls zu kennen.,