Astronomie

Ungefähr zu der Zeit, als Galileo seine Experimente mit fallenden Körpern begann, bemühungen von zwei anderen Wissenschaftlern haben unser Verständnis der Bewegungen der Planeten dramatisch vorangetrieben., Diese beiden Astronomen waren der Beobachter Tycho Brahe und der Mathematiker Johannes Kepler. Zusammen legten sie die Spekulationen von Kopernikus auf eine solide mathematische Grundlage und ebneten den Weg für die Arbeit von Isaac Newton im nächsten Jahrhundert.

Tycho Brahe ’s Observatory

Drei Jahre nach der Veröffentlichung von Copernicus‘ De Revolutionibus wurde Tycho Brahe in eine Familie dänischen Adels geboren. Er entwickelte ein frühes Interesse an Astronomie und machte als junger Mann bedeutende astronomische Beobachtungen., Unter diesen war eine sorgfältige Untersuchung dessen, was wir jetzt wissen, war ein explodierender Stern, der am Nachthimmel zu großer Brillanz aufblitzte. Sein wachsender Ruf verschaffte ihm die Schirmherrschaft des dänischen Königs Friedrich II., und im Alter von 30 Jahren konnte Brahe auf der Nordseeinsel Hven ein schönes astronomisches Observatorium errichten (Abbildung 1). Brahe war der letzte und größte der Vorkriegsbeobachter in Europa.

Abbildung 1: Tycho Brahe (1546-1601) und Johannes Kepler (1571-1630)., (a) Eine stilisierte Gravur zeigt Tycho Brahe, wie er mit seinen Instrumenten die Höhe von Himmelsobjekten über dem Horizont misst. Das große gekrümmte Instrument im Vordergrund ermöglichte es ihm, präzise Winkel am Himmel zu messen. Beachten Sie, dass die Szene Hinweise auf die Größe von Brahs Observatorium in Hven enthält. (b) Kepler war ein deutscher Mathematiker und Astronom. Seine Entdeckung der Grundgesetze, die die Planetenbewegung beschreiben, stellte die heliozentrische Kosmologie von Kopernikus auf eine feste mathematische Grundlage.,

Bei Hven zeichnete Brahe fast 20 Jahre lang kontinuierlich die Positionen von Sonne, Mond und Planeten auf. Seine umfangreichen und präzisen Beobachtungen ermöglichten es ihm festzustellen, dass die Positionen der Planeten von denen in veröffentlichten Tabellen unterschieden, die auf der Arbeit von Ptolemäus basierten. Diese Daten waren äußerst wertvoll, aber Brahe hatte nicht die Fähigkeit, sie zu analysieren und ein besseres Modell zu entwickeln als das, was Ptolemäus veröffentlicht hatte. Er war weiter gehemmt, weil er ein extravaganter und kantiger Kerl war,und er sammelte Feinde unter Regierungsbeamten., Starb 1597, verlor Brahe seine politische Basis und beschloss, Dänemark zu verlassen. Er nahm seinen Wohnsitz in Prag, wo er Hof Astronom Kaiser Rudolf von Böhmen wurde. Dort fand Brahe im Jahr vor seinem Tod einen fähigsten jungen Mathematiker, Johannes Kepler, der ihn bei der Analyse seiner umfangreichen Planetendaten unterstützte.

Johannes Kepler

Johannes Kepler wurde in einer armen Familie in der deutschen Provinz Württemberg geboren und lebte einen Großteil seines Lebens inmitten der Turbulenzen des Dreißigjährigen Krieges (siehe Abbildung 1)., Er besuchte die Universität Tübingen und studierte Theologie. Dort lernte er die Prinzipien des kopernikanischen Systems und konvertierte zur heliozentrischen Hypothese. Schließlich ging Kepler nach Prag, um als Assistent von Brahe zu dienen, der ihn an die Arbeit brachte, um eine zufriedenstellende Theorie der Planetenbewegung zu finden—eine, die mit der langen Reihe von Beobachtungen bei Hven kompatibel war., Brahe zögerte, Kepler zu jeder Zeit viel Material zur Verfügung zu stellen, aus Angst, dass Kepler die Geheimnisse der universellen Bewegung selbst entdecken würde, wodurch Brahe etwas von der Herrlichkeit beraubt wurde. Erst nach Brahes Tod 1601 erhielt Kepler den vollen Besitz der unbezahlbaren Aufzeichnungen. Ihre Studie beschäftigte die meiste Zeit von Kepler seit mehr als 20 Jahren.

Durch seine Analyse der Bewegungen der Planeten entwickelte Kepler eine Reihe von Prinzipien, die heute als Keplers drei Gesetze bekannt sind und das Verhalten von Planeten basierend auf ihren Wegen durch den Weltraum beschreiben., Die ersten beiden Gesetze der Planetenbewegung wurden 1609 in der Neuen Astronomie veröffentlicht. Ihre Entdeckung war ein tiefgreifender Schritt in der Entwicklung der modernen Wissenschaft.

Die Ersten Beiden Gesetze der Planetenbewegung

Abbildung 2: Konischen Abschnitte. Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel werden alle durch den Schnittpunkt einer Ebene mit einem Kegel gebildet. Aus diesem Grund werden solche Kurven als Kegelschnitte bezeichnet.

Der Pfad eines Objekts durch den Weltraum wird seine Umlaufbahn genannt., Kepler nahm zunächst an, dass die Umlaufbahnen der Planeten Kreise waren, erlaubte ihm jedoch nicht, Umlaufbahnen zu finden, die mit Brahes Beobachtungen übereinstimmten. Als er mit den Daten für den Mars arbeitete, entdeckte er schließlich, dass die Umlaufbahn dieses Planeten die Form eines etwas abgeflachten Kreises oder einer Ellipse hatte. Neben dem Kreis ist die Ellipse die einfachste Art geschlossener Kurve, die zu einer Kurvenfamilie gehört, die als Kegelschnitte bezeichnet wird (Abbildung 2).

Vielleicht erinnern Sie sich aus mathematischen Klassen, dass in einem Kreis der Mittelpunkt ein besonderer Punkt ist., Der Abstand von der Mitte zu einer beliebigen Stelle auf dem Kreis ist genau gleich. In einer Ellipse ist die Summe der Entfernung von zwei speziellen Punkten innerhalb der Ellipse zu einem beliebigen Punkt auf der Ellipse immer gleich. Diese beiden Punkte innerhalb der Ellipse werden als Brennpunkte (Singular: focus) bezeichnet, ein Wort, das Kepler zu diesem Zweck erfunden hat.

Diese Eigenschaft schlägt eine einfache Möglichkeit vor, eine Ellipse zu zeichnen (Abbildung 3). Wir wickeln die Enden einer Saitenschlaufe um zwei Stapel, die durch ein Blatt Papier in ein Zeichenbrett gedrückt werden, so dass die Saite locker ist., Wenn wir einen Bleistift gegen die Saite drücken, die Saite straff machen und dann den Stift gegen die Saite rund um die Tacks schieben, ist die Kurve, die sich ergibt, eine Ellipse. An jedem Punkt, an dem sich der Stift befinden kann, ist die Summe der Abstände vom Stift zu den beiden Heften eine konstante Länge—die Länge der Saite. Die Hefte befinden sich an den beiden Brennpunkten der Ellipse.

Der breiteste Durchmesser der Ellipse wird als Hauptachse bezeichnet. Die Hälfte dieser Entfernung—dh der Abstand vom Zentrum der Ellipse zu einem Ende-ist die Halbmajorachse, mit der normalerweise die Größe der Ellipse angegeben wird., Zum Beispiel beträgt die Halbmajorachse der Umlaufbahn des Mars, die auch die durchschnittliche Entfernung des Planeten von der Sonne ist, 228 Millionen Kilometer.

Abbildung 3: Zeichnen einer Ellipse. (a) Wir können eine Ellipse konstruieren, indem wir zwei Stapel (die weißen Objekte) in ein Stück Papier auf einem Zeichenbrett drücken und dann eine Schnur um die Stapel schleifen. Jeder Tack repräsentiert einen Fokus der Ellipse, wobei einer der Tacks die Sonne ist. Strecken Sie die Schnur mit einem Bleistift fest und bewegen Sie den Stift dann um die Schwänze., Die Länge der Saite bleibt gleich, so dass die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt auf der Ellipse zu den Brennpunkten immer konstant ist. (b) In dieser Abbildung wird jede Semimajorachse mit a bezeichnet. Der Abstand 2a wird als Hauptachse der Ellipse bezeichnet.

Die Form (Rundheit) einer Ellipse hängt davon ab, wie nahe die beiden Brennpunkte im Vergleich zur Hauptachse liegen. Das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zur Länge der Hauptachse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet.,

Wenn die Foci (oder Tacks) an dieselbe Stelle verschoben werden, wäre der Abstand zwischen den Foci Null. Dies bedeutet, dass die Exzentrizität Null ist und die Ellipse nur ein Kreis ist; Daher kann ein Kreis als Ellipse von Null Exzentrizität bezeichnet werden. In einem Kreis wäre die Semimajor-Achse der Radius.

Als nächstes können wir Ellipsen mit verschiedenen Längen (oder verlängerten Längen) erstellen, indem wir den Abstand der Stapel variieren (solange sie nicht weiter voneinander entfernt sind als die Länge der Zeichenfolge). Je größer die Exzentrizität ist, desto länglicher ist die Ellipse bis zu einer maximalen Exzentrizität von 1.,0, wenn die Ellipse „flach“ wird, das andere Extrem von einem Kreis.

Die Größe und Form einer Ellipse wird vollständig durch ihre Semimajorachse und ihre Exzentrizität bestimmt. Anhand von Brahes Daten stellte Kepler fest, dass der Mars eine elliptische Umlaufbahn hat, wobei die Sonne auf einem Fokus steht (der andere Fokus ist leer). Die Exzentrizität der Marsbahn beträgt nur etwa 0, 1; Ihre skalierte Umlaufbahn wäre praktisch nicht von einem Kreis zu unterscheiden, aber der Unterschied erwies sich als entscheidend für das Verständnis planetarischer Bewegungen.,

Kepler verallgemeinerte dieses Ergebnis in seinem ersten Gesetz und sagte, dass die Umlaufbahnen aller Planeten Ellipsen sind. Hier war ein entscheidender Moment in der Geschichte des menschlichen Denkens: Es war nicht notwendig, nur Kreise zu haben, um einen akzeptablen Kosmos zu haben. Das Universum könnte etwas komplexer sein, als die griechischen Philosophen es sich gewünscht hatten.

Keplers zweites Gesetz befasst sich mit der Geschwindigkeit, mit der sich jeder Planet entlang seiner Ellipse bewegt, auch als Orbitalgeschwindigkeit bekannt., In Zusammenarbeit mit Brahes Beobachtungen des Mars entdeckte Kepler, dass der Planet beschleunigt, wenn er näher an die Sonne kommt und langsamer wird, wenn er sich von der Sonne entfernt. Er drückte die genaue Form dieser Beziehung aus, indem er sich vorstellte, dass Sonne und Mars durch eine gerade, elastische Linie verbunden sind. Wenn sich der Mars näher an der Sonne befindet (Positionen 1 und 2 in Abbildung 4), wird die elastische Linie nicht so stark gedehnt und der Planet bewegt sich schnell. Weiter von der Sonne entfernt, wie in den Positionen 3 und 4, ist die Linie viel gestreckt und der Planet bewegt sich nicht so schnell., Während sich der Mars in seiner elliptischen Umlaufbahn um die Sonne bewegt, fegt die elastische Linie Bereiche der Ellipse heraus, während sie sich bewegt (die farbigen Bereiche in unserer Figur). Kepler fand heraus, dass in gleichen Zeitintervallen (t) die von dieser imaginären Linie im Raum gefegten Bereiche immer gleich sind; das heißt, die Fläche der Region B von 1 bis 2 ist die gleiche wie die der Region A von 3 bis 4.

Wenn sich ein Planet in einer kreisförmigen Umlaufbahn bewegt, wird die elastische Linie immer gleich stark gedehnt und der Planet bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit um seine Umlaufbahn., Aber wie Kepler entdeckte, neigt die Geschwindigkeit eines Planeten, der seinen Stern (oder Mond, der seinen Planeten umkreist) umkreist, in den meisten Umlaufbahnen dazu, zu variieren, weil die Umlaufbahn elliptisch ist.

Abbildung 4: Keplers Zweites Gesetz: das Gesetz Der Gleichen Flächen. Die Umlaufgeschwindigkeit eines Planeten, der sich um die Sonne (das kreisförmige Objekt innerhalb der Ellipse) bewegt, variiert so, dass in gleichen Zeitintervallen (t) eine Linie zwischen der Sonne und einem Planeten gleiche Bereiche (A und B) herausfegt., Beachten Sie, dass die Exzentrizitäten der Planetenbahnen in unserem Sonnensystem wesentlich geringer sind als hier gezeigt.

Keplers Drittes Gesetz

Keplers erste beiden Gesetze der Planetenbewegung beschreiben die Form der Umlaufbahn eines Planeten und ermöglichen es uns, die Geschwindigkeit seiner Bewegung an jedem Punkt in der Umlaufbahn zu berechnen. Kepler freute sich, solche grundlegenden Regeln entdeckt zu haben, aber sie erfüllten nicht sein Bestreben, planetarische Bewegungen vollständig zu verstehen., Er wollte wissen, warum die Umlaufbahnen der Planeten so weit voneinander entfernt waren, und ein mathematisches Muster in ihren Bewegungen finden—eine „Harmonie der Sphären“, wie er sie nannte. Viele Jahre lang arbeitete er daran, mathematische Beziehungen zu entdecken, die den Planetenabstand und die Zeit regeln, die jeder Planet brauchte, um die Sonne zu umrunden.

1619 entdeckte Kepler eine grundlegende Beziehung, um die Umlaufbahnen der Planeten mit ihren relativen Entfernungen von der Sonne in Beziehung zu setzen. Wir definieren die Umlaufzeit eines Planeten (P) als die Zeit, die ein Planet benötigt, um einmal um die Sonne zu reisen., Denken Sie auch daran, dass die Halbmajorachse eines Planeten, a, gleich seiner durchschnittlichen Entfernung von der Sonne ist. Die Beziehung, die jetzt als Keplers drittes Gesetz bekannt ist, besagt, dass die Orbitalperiode eines Planeten im Quadrat proportional zur Semimajorachse seiner Umlaufbahn gewürfelt ist, oder

{P}^{2}\propto {a}^{3}

Wenn P (die Orbitalperiode) in Jahren gemessen wird und a in einer Menge ausgedrückt wird, die als astronomische Einheit (AU) bekannt ist, sind die beiden Seiten der Formel nicht nur proportional, sondern gleich. Ein AU ist der durchschnittliche Abstand zwischen Erde und Sonne und ist ungefähr gleich 1.,5 × 108 Kilometer. In diesen Einheiten gilt

{P}^{2}={a}^{3}

Keplers drittes Gesetz gilt für alle Objekte, die die Sonne umkreisen, einschließlich der Erde, und bietet ein Mittel zur Berechnung ihrer relativen Entfernungen von der Sonne von der Zeit, die sie in die Umlaufbahn nehmen. Schauen wir uns ein bestimmtes Beispiel an, um zu veranschaulichen, wie nützlich Keplers drittes Gesetz ist.

Nehmen wir zum Beispiel an, Sie wissen, wie lange der Mars braucht, um die Sonne zu umrunden (in Erdjahren). Keplers drittes Gesetz kann dann verwendet werden, um die durchschnittliche Entfernung des Mars von der Sonne zu berechnen. Die Mars-Umlaufzeit (1.88 Erde Jahre) Quadrat-oder P2-1.,882 = 3,53, und nach der Gleichung für Keplers drittes Gesetz entspricht dies dem Würfel seiner Halbmajorachse oder a3. Welche Zahl muss also gewürfelt werden, um 3,53 zu geben? Die Antwort ist 1.52 (seit 1.52 × 1.52 × 1.52 = 3.53). Daher muss die Halbmajorachse des Mars in astronomischen Einheiten 1,52 AU betragen. Mit anderen Worten, um in etwas weniger als zwei Jahren um die Sonne zu gehen, muss der Mars etwa 50% (wieder die Hälfte) so weit von der Sonne entfernt sein wie die Erde.,

Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Keplers erstes Gesetz: Jeder Planet bewegt sich um die Sonne in einer Umlaufbahn, die eine Ellipse ist, mit der Sonne in einem Fokus der Ellipse.
• Keplers zweites Gesetz: Die gerade Linie, die einen Planeten und die Sonne verbindet, fegt gleiche Flächen im Raum in gleichen Zeitintervallen heraus.
• Keplers drittes Gesetz: Das Quadrat der Orbitalperiode eines Planeten ist direkt proportional zum Würfel der Halbmajorachse seiner Umlaufbahn.,

Keplers drei Gesetze liefern eine präzise geometrische Beschreibung der Planetenbewegung im Rahmen des kopernikanischen Systems. Mit diesen Werkzeugen war es möglich, Planetenpositionen mit stark verbesserter Präzision zu berechnen. Dennoch sind Keplers Gesetze rein beschreibend: Sie helfen uns nicht zu verstehen, welche Naturkräfte die Planeten dazu zwingen, diesem bestimmten Regelwerk zu folgen. Dieser Schritt wurde Isaac Newton überlassen.,

Glossar

astronomische Einheit (AU): die Längeneinheit, die als durchschnittliche Entfernung zwischen Erde und Sonne definiert ist; dieser Abstand beträgt etwa 1.,die Orbitalperiode von net ist direkt proportional zum Würfel der Halbmajorachse seiner Umlaufbahn

Hauptachse: der maximale Durchmesser einer Ellipse

Orbit: der Pfad eines Objekts, das sich um ein anderes Objekt oder einen anderen Punkt dreht

Orbitalperiode (P): die Zeit, die ein Objekt benötigt, um einmal um die Sonne zu reisen

Orbitalgeschwindigkeit: die Geschwindigkeit, mit der ein Objekt (normalerweise ein Planet) um die Masse eines anderen Objekts geschwindigkeit, mit der sich jeder Planet entlang seiner Ellipse bewegt

Halbmajorachse: die Hälfte der Hauptachse eines Kegelabschnitts, z. B. einer Ellipse