Nummer (Svenska)

NumeralsEdit

siffror ska särskiljas från siffror, symbolerna som används för att representera siffror. Egyptierna uppfann det första ciferade siffersystemet, och grekerna följt av att kartlägga deras räknematerial på Joniska och doriska alfabet., Romerska siffror, ett system som använde kombinationer av bokstäver från det romerska alfabetet, förblev dominerande i Europa fram till spridningen av det överlägsna Hinduiska-arabiska talsystemet runt slutet av 1300–talet, och det hinduiska-arabiska talsystemet är fortfarande det vanligaste systemet för att representera siffror i världen idag. Nyckeln till systemets effektivitet var symbolen för noll,som utvecklades av gamla indiska matematiker runt 500 AD.,

första användningen av numbersEdit

ben och andra artefakter har upptäckts med märken som skärs in i dem som många tror är tally märken. Dessa tally märken kan ha använts för att räkna förfluten tid, såsom antal dagar, måncykler eller föra register över kvantiteter, såsom av djur.

ett tallyingsystem har inget begrepp om platsvärde (som i modern decimalnotation), vilket begränsar dess representation av stora tal. Icke desto mindre anses tallying-system vara den första typen av abstrakt talsystem.,

det första kända systemet med platsvärde var det mesopotamiska Bas 60-systemet (c. 3400 f. Kr.) och de tidigaste kända bas 10-systemdatumen till 3100 f. Kr. i Egypten.

Noll Redigera

Den första kända dokumenterade användningen av noll datum ANNONS-628, och dök upp i Brāhmasphuṭasiddhānta, det huvudsakliga arbetet med den Indiska matematikern Brahmagupta. Han behandlade 0 som ett antal och diskuterade operationer som involverar det, inklusive division. Vid denna tid (den 7: e århundradet) konceptet hade tydligt nått Kambodja som Khmer siffror, och dokumentation visar idén senare sprider sig till Kina och den islamiska världen.,

Brahmaguptas Brāhmasphuasiddhānta är den första boken som nämner noll som ett nummer, varför Brahmagupta vanligtvis anses vara den första som formulerar begreppet noll. Han gav regler för att använda noll med negativa och positiva tal, till exempel ”noll plus ett positivt tal är ett positivt tal, och ett negativt tal plus noll är det negativa talet.,”Brāhmasphu är den tidigaste kända texten för att behandla noll som ett tal i sin egen rätt, snarare än som bara en platshållare siffra i att representera ett annat nummer som gjordes av babylonierna eller som en symbol för en brist på kvantitet som gjordes av Ptolemy och romarna.

användningen av 0 som ett tal bör särskiljas från dess användning som en platshållare siffra i platsvärdessystem. Många gamla texter använde 0. Babyloniska och egyptiska texter använde det. Egyptierna använde ordet nfr för att beteckna nollbalans i dubbel bokföring., Indiska texter använde ett sanskritord Shunye eller shunya för att referera till begreppet void. I matematiktexter hänvisar detta ord ofta till numret noll. I en liknande anda använde Pāini (5: e århundradet f. Kr.) null-operatören i Ashtadhyayi, ett tidigt exempel på en algebraisk grammatik för Sanskrit-språket (Se även Pingala).

det finns andra användningar av noll före Brahmagupta, även om dokumentationen inte är så komplett som den är i Brāhmasphu Triasiddhānta.,

poster visar att de gamla grekerna verkade osäker på status 0 som ett nummer: de frågade sig ”hur kan” ingenting ” vara något?”leder till intressanta filosofiska och, genom den medeltida perioden, religiösa argument om naturen och förekomsten av 0 och vakuum. Paradoxerna i Zeno av Elea beror delvis på den osäkra tolkningen av 0. (De gamla grekerna ifrågasatte även om 1 var ett nummer.,)

det sena Olmec-folket i södra centrala Mexiko började använda en symbol för noll, ett skal glyph, i den nya världen, eventuellt av 4: e århundradet f. Kr. men säkert av 40 f. Kr., som blev en integrerad del av Maya-siffrorna och Maya-kalendern. Maya aritmetik används bas 4 och bas 5 skriven som bas 20. George I. Sánchez 1961 rapporterade en bas 4 bas 5 ”finger” abacus.

av 130 AD, Ptolemy, påverkad av Hipparchus och babylonierna, använde en symbol för 0 (en liten cirkel med en lång överstång) inom ett sexagesimal talsystem annars med alfabetiska grekiska siffror., Eftersom den användes ensam, inte som bara en platshållare, var denna hellenistiska noll den första dokumenterade användningen av en sann noll i den gamla världen. I senare Bysantinska manuskript av hans Syntaxis Mathematica (Almagest), den Hellenistiska noll hade förvandlats till den grekiska bokstaven Omicron (annars innebörden 70).

en annan sann noll användes i tabeller tillsammans med romerska siffror av 525 (första kända användning av Dionysius Exiguus), men som ett ord, nulla betyder ingenting, inte som en symbol. När division producerade 0 som en återstod, användes nihil, som också betyder ingenting,., Dessa medeltida nollor användes av alla framtida medeltida beräkningar (påskräknare). En isolerad användning av deras ursprungliga, N, användes i en tabell med romerska siffror av Bede eller en kollega om 725, en sann nollsymbol.

negativa tal redigera

det abstrakta begreppet negativa tal erkändes så tidigt som 100-50 BC i Kina. De nio kapitlen om matematisk konst innehåller metoder för att hitta områdena siffror; röda stavar användes för att beteckna positiva koefficienter, svart för negativ., Den första referensen i ett västerländskt arbete var i 3: e århundradet e.Kr. i Grekland. Diophantus hänvisade till ekvationen som motsvarar 4x + 20 = 0 (lösningen är negativ) i Arithmetica och sa att ekvationen gav ett absurt resultat.

under 600-talet användes negativa tal i Indien för att representera skulder. Diophantus tidigare referens diskuterades mer explicit av indisk matematiker Brahmagupta, i Brāhmasphuasiddhānta i 628, som använde negativa tal för att producera den allmänna formen kvadratisk formel som fortfarande används idag., Men på 1100-talet i Indien ger Bhaskara negativa rötter för kvadratiska ekvationer men säger Det negativa värdet ”är i detta fall inte att tas, för det är otillräckligt; människor godkänner inte negativa rötter”.

europeiska matematiker motsatte sig för det mesta begreppet negativa tal fram till 1700-talet, även om Fibonacci tillät negativa lösningar på ekonomiska problem där de kunde tolkas som skulder (kapitel 13 i Liber Abaci, 1202) och senare som förluster (i Flos)., Samtidigt indikerade kineserna negativa tal genom att dra en diagonal stroke genom den högra-mest icke-nollsiffran av motsvarande positiva tals siffra. Den första användningen av negativa tal i ett europeiskt arbete var av Nicolas Chuquet under 15-talet. Han använde dem som exponenter, men kallade dem ”absurda siffror”.

så sent som 1700-talet var det vanligt att ignorera eventuella negativa resultat som returnerades av ekvationer med antagandet att de var meningslösa, precis som René Descartes gjorde med negativa lösningar i ett kartesiskt koordinatsystem.,

rationella tal redigera

det är troligt att begreppet bråktal Datum för förhistorisk tid. De gamla egyptierna använde sin egyptiska fraktion notation för rationella tal i matematiska texter som Rhind Mathematical Papyrus och Kahun Papyrus. Klassiska grekiska och indiska matematiker gjorde studier av teorin om rationella tal, som en del av den allmänna studien av nummerteori. Den mest kända av dessa är Euclids element, som går till ungefär 300 f.Kr., Av de indiska texterna är den mest relevanta Sthananga Sutra, som också täcker nummerteori som en del av en allmän studie av matematik.

begreppet decimalfraktioner är nära kopplat till decimalnotation; de två verkar ha utvecklats i tandem. Det är till exempel vanligt att Jain math sutra inkluderar beräkningar av decimalfraktion approximationer till pi eller kvadratroten av 2. På samma sätt använde babyloniska matematiska texter sexagesimal (Bas 60) fraktioner med stor frekvens.,

irrationella tal redigera

den tidigaste kända användningen av irrationella tal var i den indiska Sulba Sutras sammansatt mellan 800 och 500 BC. Den första existensen bevis på irrationella tal brukar tillskrivas Pythagoras, mer specifikt till Pythagoras Hippasus av Metapontum, som producerade ett (troligen geometriskt) bevis på irrationaliteten hos kvadratroten av 2. Historien går att Hippasus upptäckte irrationella tal när man försökte representera kvadratroten av 2 som en bråkdel., Pythagoras trodde emellertid på absolutheten av siffror och kunde inte acceptera förekomsten av irrationella tal. Han kunde inte motbevisa sin existens genom logik, men han kunde inte acceptera irrationella nummer, och så dömde han Hippasus till döds genom att drunkna, för att hindra spridningen av dessa förvirrande nyheter.

1500-talet gav slutlig europeisk acceptans av negativa integrerade och fraktionella nummer. Vid 1700 – talet använde matematiker vanligtvis decimalfraktioner med modern notation., Det var dock inte förrän på 1800-talet som matematiker separerade irrationella i algebraiska och transcendentala delar, och åtog sig än en gång den vetenskapliga studien av irrationella. Det hade varit nästan vilande sedan Euclid. År 1872 publicerades teorier om Karl Weierstrass (av hans elev E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor och Richard Dedekind. År 1869 hade Charles Méray tagit samma utgångspunkt som Heine, men teorin är allmänt kallad år 1872., Weierstrass ’ s metod var helt fastställs av Salvatore Pincherle (1880), och Dedekind har fått ytterligare framträdande genom författarens senare arbete (1888) och godkännande av Paul Garveri (1894). Weierstrass, Cantor och Heine baserar sina teorier på oändliga serier, medan Dedekind grundar sig på tanken på en snitt (Schnitt) i systemet med reella tal, som skiljer alla rationella tal i två grupper som har vissa karakteristiska egenskaper. Ämnet har fått senare bidrag i händerna på Weierstrass, Kronecker och Méray.,

sökandet efter rötter av kvintiska och högre grad ekvationer var en viktig utveckling, Abel-Ruffini teorem (Ruffini 1799, Abel 1824) visade att de inte kunde lösas av radikaler (formler som endast involverar aritmetiska operationer och rötter). Därför var det nödvändigt att överväga den bredare uppsättningen algebraiska tal (alla lösningar på polynomekvationer). Galois (1832) kopplade polynomekvationer till gruppteori som gav upphov till Galois-teorins fält.,

fortsatta fraktioner, nära besläktade med irrationella tal (och på grund av Cataldi, 1613), fick uppmärksamhet i händerna på Euler, och vid öppnandet av 1800-talet blev framträdande genom Joseph Louis Lagranges skrifter. Andra anmärkningsvärda bidrag har gjorts av Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) och Günther (1872). Ramus kopplade först ämnet med determinanter, vilket resulterade i de efterföljande bidragen från Heine, Möbius och Günther, i teorin om Kettenbruchdeterminanten.,

transcendentala tal och reals Edit

förekomsten av transcendentala tal fastställdes först av Liouville (1844, 1851). Hermite visat sig 1873 med att e är transcendental och Lindemann visade 1882 att π är transcendental. Slutligen visade Cantor att uppsättningen av alla reella tal är oräkneligt oändlig men uppsättningen av alla algebraiska tal är countably oändlig, så det finns ett oräkneligt oändligt antal transcendentala tal.,

Infinity och infinitesimals Edit

den tidigaste kända uppfattningen om matematisk oändlighet visas i Yajur Veda, ett gammalt indiskt manus, som vid ett tillfälle säger, ”om du tar bort en del från oändligheten eller lägger till en del till oändligheten, är det fortfarande oändligheten.”Infinity var ett populärt ämne för filosofisk studie bland Jain-matematikerna C.400 f. Kr. De skilde sig mellan fem typer av oändlighet: oändlig i en och två riktningar, oändlig i området, oändlig överallt och oändlig ständigt.,

Aristoteles definierade det traditionella västerländska begreppet matematisk oändlighet. Han skilde sig mellan faktisk oändlighet och potentiell oändlighet—det allmänna samförståndet är att endast den senare hade sant värde. Galileo Galileis två nya vetenskaper diskuterade tanken på en-till-en-korrespondens mellan oändliga uppsättningar. Men nästa stora framsteg i teorin gjordes av Georg Cantor; år 1895 publicerade han en bok om sin nya setteori, introducerade bland annat transfinittal och formulerade kontinuumhypotesen.,

på 1960-talet visade Abraham Robinson hur oändligt stora och oändligt stora tal kan definieras noggrant och användas för att utveckla fältet för icke-standardanalys. Systemet med hyperreala tal representerar en rigorös metod för att behandla idéerna om oändliga och infinitesimala tal som hade använts tillfälligt av matematiker, forskare och ingenjörer ända sedan uppfinningen av infinitesimal kalkyl av Newton och Leibniz.,

en modern geometrisk version av oändligheten ges av projektiv geometri, som introducerar ”idealpunkter vid oändligheten”, en för varje rumslig riktning. Varje familj av parallella linjer i en given riktning är postulerad för att konvergera till motsvarande idealpunkt. Detta är nära relaterat till tanken på att försvinna punkter i perspektivritning.,

komplexa tal redigera

den tidigaste flyktiga hänvisningen till kvadratiska rötter av negativa tal inträffade i arbetet med matematikern och uppfinnaren Heron av Alexandria i 1: a århundradet e.Kr., när han ansåg volymen av en omöjlig frustration av en pyramid. De blev mer framträdande när på 1500-talet stängda formler för rötterna av tredje och fjärde graden polynom upptäcktes av italienska matematiker som Niccolò Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano., Det var snart insett att dessa formler, även om man bara var intresserad av riktiga lösningar, krävde ibland manipulering av kvadratiska rötter av negativa tal.

detta var dubbelt oroande eftersom de inte ens ansåg att negativa tal var på fast mark vid den tiden. När René Descartes myntade termen ”imaginär” för dessa kvantiteter år 1637, menade han det som nedsättande. (Se imaginärt nummer för en diskussion om” verkligheten ” av komplexa tal.,) En ytterligare källa till förvirring var att ekvationen

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

verkade capriciously oförenlig med den algebraiska identiteten

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

som är giltig för positiva reala tal A och b, och användes också i komplexa talberäkningar med en av ett av ett antal, B positiva och andra negativa., Den felaktiga användningen av denna identitet och den relaterade identiteten

1 A = 1 A {\displaystyle {\frac {1} {\sqrt {a}}} = {\sqrt {\frac {1}{A}}}}

i fallet när både A och b är negativa även bedeviled Euler. Denna svårighet ledde så småningom honom till konventionen att använda specialsymbolen i i stället för − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} för att skydda sig mot detta misstag.

1700-talet såg Abraham de Moivres och Leonhard Eulers arbete., De Moivre ’ s formel (1730) står det:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\synd \theta )^{n}=\cos n\theta +i\synd n\theta }

medan Eulers formel komplex analys (1748) gav oss:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e jag θ . {\displaystyle \cos \theta +i\synd \theta =e^{i\theta }.}

förekomsten av komplexa tal accepterades inte helt förrän Caspar Wessel beskrev den geometriska tolkningen 1799., Carl Friedrich Gauss återupptäckte och populariserade det flera år senare, och som ett resultat fick teorin om komplexa tal en anmärkningsvärd expansion. Idén om grafisk representation av komplexa tal hade dock dykt upp redan 1685 i Wallis de algebra tractatus.

även i 1799 gav Gauss det första allmänt accepterade beviset på algebras grundläggande teorem, vilket visar att varje polynom över de komplexa numren har en komplett uppsättning lösningar i den sfären., Den allmänna acceptansen av teorin om komplexa tal beror på Augustin Louis Cauchy och Niels Henrik Abels arbete, och särskilt den senare, som var den första som djärvt använde komplexa tal med en framgång som är välkänd.

Gauss studerade komplexa tal av formen a + bi, där A och b är integrerade eller rationella (och jag är en av de två rötterna av x2 + 1 = 0). Hans student, Gotthold Eisenstein, studerade typen a + bw, där ω är en komplex rot av x3-1 = 0., Andra sådana klasser (kallade cyklotomiska fält) av komplexa tal härrör från rötterna till unity xk − 1 = 0 för högre värden på k. denna generalisering beror till stor del på Ernst Kummer, som också uppfann ideala tal, som uttrycktes som geometriska enheter av Felix Klein 1893.

år 1850 tog Victor Alexandre Puiseux det viktigaste steget att skilja mellan poler och grenpunkter och introducerade begreppet väsentliga singulära punkter. Detta ledde så småningom till begreppet det utökade komplexa planet.,

Prime numbers Edit

Prime numbers har studerats genom inspelad historia. Euclid ägnade en bok av elementen till teorin om primes; i det visade han oändligheten av primes och aritmetikens grundläggande teorem och presenterade den euklidiska algoritmen för att hitta den största gemensamma divisorn av två tal.

i 240 f. Kr. använde Eratosthenes sikten av Eratosthenes för att snabbt isolera primtal. Men mest vidareutveckling av teorin om primtal i Europa går till renässansen och senare epoker.,

år 1796 gissade Adrien-Marie Legendre huvudnumret teorem, som beskriver den asymptotiska fördelningen av primtal. Andra resultat när det gäller fördelningen av primesna är Eulers bevis på att summan av Primes fram-och återgående delar avviker, och Goldbach-förmodan, som hävdar att ett tillräckligt stort jämnt antal är summan av två primes. Ännu en gissning relaterad till fördelningen av primtal är Riemann hypotesen, formulerad av Bernhard Riemann 1859., Huvudnumret teorem bevisades slutligen av Jacques Hadamard och Charles de la Vallée-Poussin 1896. Goldbach och Riemanns gissningar förblir obevisade och orefuterade.