allmänna observationer
förmodligen är det mest naturliga tillvägagångssättet för formell logik genom tanken på giltigheten av ett argument av det slag som kallas deduktivt. Ett deduktivt argument kan grovt karakteriseras som ett där påståendet görs att vissa förslag (slutsatsen) följer med strikt nödvändighet från några andra förslag eller förslag (lokalerna)—dvs. att det skulle vara inkonsekvent eller självmotsägt att hävda lokalerna men förneka slutsatsen.,
om ett deduktivt argument är att lyckas fastställa sanningen i sin slutsats, måste två ganska tydliga villkor uppfyllas: för det första måste slutsatsen verkligen följa från lokalerna—dvs. avdraget av slutsatsen från lokalerna måste vara logiskt korrekt—och för det andra måste lokalerna själva vara sanna. Ett argument som uppfyller båda dessa villkor kallas ljud., Av dessa två villkor är logikern som sådan endast berör den första; den andra, fastställandet av sanningen eller falskheten i lokalerna, är uppgiften för någon speciell disciplin eller gemensam observation som är lämplig för argumentets ämne. När slutsatsen av ett argument är korrekt avdragsgillt från dess lokaler, sägs slutsatsen från lokalerna till slutsatsen vara (avdragsgillt) giltig, oavsett om lokalerna är sanna eller falska., Andra sätt att uttrycka det faktum att en slutsats är avdragsgillt giltig är att säga att sanningen i lokalerna ger (eller skulle ge) en absolut garanti för sanningen i slutsatsen eller att det skulle innebära en logisk inkonsekvens (som skiljer sig från ett rent misstag av faktum) att anta att lokalerna var sanna men slutsatsen falsk.
de deduktiva slutsatser med vilka formell logik berörs är, som namnet antyder, de för vilka giltigheten inte beror på några funktioner i deras ämne utan på deras form eller struktur. Således är de två inferenserna (1) varje hund ett däggdjur. Några fyrhjulingar är hundar. Några quadrupeds är däggdjur. och (2) varje anarkist är en troende i fri kärlek. Vissa medlemmar av regeringspartiet är anarkister. Vissa medlemmar i regeringspartiet tror på fri kärlek., skiljer sig åt i ämnet och kräver därför olika förfaranden för att kontrollera sanningen eller falskheten i sina lokaler. Men deras giltighet säkerställs av vad de har gemensamt-nämligen att argumentet i var och en är av formen (3) varje X är en Y. vissa Z är x: S. några Z: s är Y: s.
linje (3) ovan kan kallas en inferensform, och (1) och (2) är då fall av denna inferensform. Bokstäverna-X, Y och Z—in (3) markerar de platser där uttryck av en viss typ kan infogas., Symboler som används för detta ändamål är kända som variabler; deras användning är analog med x i algebra, som markerar den plats där en siffra kan införas. En instans av en inferensform produceras genom att ersätta alla variabler i den med lämpliga uttryck (dvs. sådana som är meningsfulla i sammanhanget) och genom att göra det enhetligt (dvs. genom att ersätta samma uttryck varhelst samma variabel återkommer)., Funktionen i (3) som garanterar att varje instans av det kommer att vara giltigt är dess konstruktion på ett sådant sätt att varje enhetligt sätt att ersätta sina variabler för att göra lokalerna sanna automatiskt gör slutsatsen sann också, eller med andra ord, att ingen instans av det kan ha riktiga lokaler men en falsk slutsats. I kraft av denna funktion kallas formuläret (3) en giltig inferensform. Däremot (4) Varje X är en Y. vissa Z är Y ’s. några Z’ S är X ’ s., är inte en giltig inferensform, för även om fall av det kan produceras där lokaler och slutsats är alla sanna, kan fall av det också produceras där lokalerna är sanna men slutsatsen är falsk—t.ex. (5) varje hund är ett däggdjur. Vissa bevingade varelser är däggdjur. Några bevingade varelser är hundar.
formell logik som en studie handlar om inferensformer snarare än med särskilda fall av dem. En av dess uppgifter är att diskriminera mellan giltiga och ogiltiga inferensformer och att utforska och systematisera de relationer som håller bland giltiga.,
nära besläktad med idén om ett giltigt inferensformulär är ett giltigt förslagsformulär. Ett förslagsformulär är ett uttryck för vilket instanserna (som tidigare producerats av lämpliga och enhetliga ersättningar för variabler) inte är slutsatser från flera propositioner till en slutsats utan snarare propositioner tagna individuellt, och ett giltigt förslagsformulär är en för vilken alla instanser är sanna propositioner. Ett enkelt exempel är (6) ingenting är både en X och en icke-X. formell logik handlar om förslagsformer samt med inferensformer., Studien av förslagsformer kan i själva verket göras för att inkludera inferensformer på följande sätt: låt lokalerna i en viss inferensform (tillsammans) förkortas med alfa (α) och dess slutsats med beta (β). Det villkor som anges ovan för slutledningsformens giltighet ”α” innebär således att det inte finns någon instans av förslagsformuläret ”α och inte-β” är sant—dvs. att varje instans av förslagsformuläret(7) inte är både: α och inte-β är sant—eller den raden (7), som är helt klarlagd, är naturligtvis ett giltigt förslagsformulär., Studien av förslagsformer kan emellertid inte på samma sätt tillgodoses under studien av inferensformer, och därför är det vanligt att betrakta formell logik som studien av förslagsformer. Eftersom en logiker hantering av proposition former är på många sätt analogt med en matematiker hantering av numeriska formler, de system han konstruerar kallas ofta calculi.
mycket av arbetet hos en logiker fortsätter på en mer abstrakt nivå än den för föregående diskussion., Även en formel som (3) ovan, men inte hänvisar till något specifikt ämne, innehåller uttryck som ”varje” och ”är A”, som anses ha en bestämd mening, och variablerna är avsedda att markera platserna för uttryck av ett visst slag (ungefär vanliga substantiv eller klassnamn). Det är dock möjligt-och för vissa ändamål är det viktigt-att studera formler utan att fästa även denna grad av meningsfullhet mot dem., Konstruktionen av ett system av logik innebär i själva verket två urskiljbara processer: en består i att skapa en symbolisk apparat—en uppsättning symboler, regler för att sätta ihop dessa i formler och regler för att manipulera dessa formler; den andra består i att fästa vissa betydelser till dessa symboler och formler. Om bara den förstnämnda görs sägs systemet vara otolkat eller rent formellt. om det senare görs också sägs systemet tolkas., Denna skillnad är viktig, eftersom system av logik visar sig ha vissa egenskaper helt oberoende av eventuella tolkningar som kan placeras på dem. Ett axiomatiskt system av logik kan tas som ett exempel-dvs ett system där vissa obevisade formler, kända som Axiom, tas som startpunkter, och ytterligare formler (teoremer) bevisas på styrkan av dessa., Som kommer att visas senare (se nedan Axiomatisering av PC), frågan om en sekvens av formler i ett axiomatiskt system är ett bevis eller inte beror enbart på vilka formler som tas som axiom och på vad reglerna är för att härleda teoremer från Axiom, och inte alls på vad teoremerna eller axiomerna betyder. Dessutom kan ett givet otolkat system i allmänhet tolkas lika bra på ett antal olika sätt.därför studerar man vid studier av ett otolkat system den struktur som är gemensam för en mängd olika tolkade system., Normalt har en logiker som konstruerar ett rent formellt system en särskild tolkning i åtanke, och hans motiv för att konstruera det är tron att när denna tolkning ges till det kommer systemets formler att kunna uttrycka sanna principer inom något tankesätt.men av ovanstående skäl kommer han vanligtvis att vara försiktig med att beskriva formlerna och ange systemets regler utan hänvisning till tolkning och att som en separat fråga ange den tolkning som han har i åtanke.,
många av de idéer som används i expositionen av formell logik, inklusive några som nämns ovan, ger upphov till problem som hör till filosofin snarare än till logiken själv. Exempel är: vad är den korrekta analysen av begreppet sanning? Vad är ett förslag, och hur är det relaterat till meningen med vilken den uttrycks? Finns det någon form av ljud resonemang som varken är deduktiva eller induktiva?, Lyckligtvis är det möjligt att lära sig att göra formell logik utan att ha tillfredsställande svar på sådana frågor, precis som det är möjligt att göra matematik utan att svara på frågor som hör till matematikens filosofi som: är siffror verkliga föremål eller mentala konstruktioner?