Delningsregel

delbarhet med 2

först, ta ett nummer (till exempel blir det 376) och notera den sista siffran i numret och kassera de andra siffrorna. Ta sedan den siffran (6) medan du ignorerar resten av numret och bestämma om det är delbart med 2. Om det är delbart med 2, är det ursprungliga numret delbart med 2.,

exempel

  1. 376 (det ursprungliga numret)
  2. 37 6 (Ta den sista siffran)
  3. 6 trip = 3 (Kontrollera om den sista siffran är delbar med 2)
  4. 376 trip = 188 (om den sista siffran är delbar med 2, då är hela numret delbart med 2)

delbarhet med 3 eller 9

ta först ett nummer (för det här exemplet blir det 492) och lägg ihop varje siffra i numret (4 + 9 + 2 = 15). Ta sedan den summan (15) och bestäm om den är delbar med 3. Det ursprungliga numret är delbart med 3 (eller 9) om och endast om summan av dess siffror är delbar med 3 (eller 9).,

Om du lägger till siffrorna i ett nummer upp och sedan upprepar processen med resultatet tills endast en siffra kvarstår, kommer det att ge resten av det ursprungliga numret om det delades med nio (om inte den enda siffran är nio själv, i vilket fall numret är delbart med nio och resten är noll).,

detta kan generaliseras till vilket standardpositionssystem som helst, där divisoren i fråga då blir en mindre än radixen; således, i bas-tolv, kommer siffrorna att lägga upp till resten av det ursprungliga numret om dividerat med elva, och siffrorna är delbara med elva endast om siffersumman är delbar med elva.

om ett tal är en multiplikation av 3 identiska på varandra följande siffror i valfri ordning, är det numret alltid delbart med 3. Detta är användbart för när numret tar formen av (n × (n − 1) × (n + 1))

exempel.,

  1. 492 (det ursprungliga numret)
  2. 4 + 9 + 2 = 15 (Lägg till varje enskild siffra tillsammans)
  3. 15 är delbar med 3 vid vilken tidpunkt vi kan sluta. Alternativt kan vi fortsätta använda samma metod om numret fortfarande är för stort:
  4. 1 + 5 = 6 (Lägg till varje enskild siffra tillsammans)
  5. 6 3 = 2 (Kontrollera om det mottagna numret är delbart med 3)
  6. 492 3 = 164 (om numret som erhålls genom att använda regeln är delbart med 3, är hela numret delbart med 3)

exempel.,

  1. 336 (det ursprungliga numret)
  2. 6 × 7 × 8 = 336
  3. 336 3 = 112

delbarhet med 4

grundregeln för delbarhet med 4 är att om numret som bildas av de två sista siffrorna i ett nummer är delbart med 4, är det ursprungliga numret delbart med 4; Detta beror på att 100 är delbart med 4 och så lägger till hundratals, tusentals etc. helt enkelt lägga till ett annat nummer som är delbart med 4. Om något nummer slutar med ett tvåsiffrigt nummer som du vet är delbart med 4 (t.ex. 24, 04, 08, etc.,), då blir hela numret delbart med 4 oavsett vad som är före de två sista siffrorna.

Alternativt kan man helt enkelt dela numret med 2 och kontrollera sedan resultatet för att hitta om det är delbart med 2. Om det är, är det ursprungliga numret delbart med 4. Dessutom är resultatet av detta test detsamma som det ursprungliga numret dividerat med 4.

exempel.,delbart med 4)

  • 2092 4 = 523 (om det erhållna numret är delbart med 4, är det ursprungliga numret delbart med 4)

    • alternativt exempel

    1. 1720 (det ursprungliga numret)
    2. 1720 2 = 860 (dela det ursprungliga numret med 2)
    3. 860 2 = 430 (kontrollera om resultatet är delbart med 2)
    4. 1720 4 = 430 (om resultatet är delbart med 2, är det ursprungliga numret delbart med 4)

    delbarhet med 5

    delbarhet med 5 bestäms enkelt genom att kontrollera den sista siffran i numret (475) och se om det är antingen 0 eller 5., Om det sista numret är antingen 0 eller 5, är hela numret delbart med 5.

    om den sista siffran i numret är 0, blir resultatet de återstående siffrorna multiplicerat med 2. Till exempel slutar numret 40 i en noll (0), så ta de återstående siffrorna (4) och multiplicera det med två (4 × 2 = 8). Resultatet är detsamma som resultatet av 40 dividerat med 5 (40/5 = 8).

    exempel.,nal nummer dividerat med 5)

    om den sista siffran är 5

    1. 85 (det ursprungliga numret)
    2. 8 5 (Ta den sista siffran i numret och kontrollera om det är 0 eller 5)
    3. 8 5 (om det är 5, Ta de återstående siffrorna, kasta den sista)
    4. 8 × 2 = 16 (multiplicera resultatet med 2)
    5. 16 + 1 = 17 (Lägg till 1 5 = 17 (resultatet är detsamma som det ursprungliga numret dividerat med 5)

    delbarhet med 6

    delbarhet med 6 bestäms genom att kontrollera det ursprungliga numret för att se om det är både ett jämnt tal (delbart med 2) och delbart med 3., Detta är det bästa testet att använda.

    om numret är delbart med sex, ta det ursprungliga numret (246) och dela det med två (246). Ta sedan det resultatet och dela det med tre (123 para 3 = 41). Detta resultat är detsamma som det ursprungliga numret dividerat med sex (246 trip 6 = 41).

    exempel.,

    allmän regel

    1. 324 (det ursprungliga numret)
    2. 324 3 = 108 (kontrollera om det ursprungliga numret är delbart med 3)
    3. 324 2 = 162 eller 108 2 = 54 (kontrollera om antingen det ursprungliga numret eller resultatet av den tidigare ekvationen är delbart med 2)
    4. 324 3 = 54 (om någon av testerna i det sista steget är sanna är det ursprungliga numret delbart med 6., Resultatet av det andra testet returnerar också samma resultat som det ursprungliga numret dividerat med 6)

    att hitta en återstod av ett tal när dividerat med 6 (1, -2, -2, -2, -2, och -2 fortsätter för resten) ingen period. — Minsta storleksordning sekvens (1, 4, 4, 4, 4, och 4 fortsätter för resten) – positiv sekvens multiplicera den högra mest siffran med den vänstra mest siffran i sekvensen och multiplicera den andra högra mest siffran med den andra vänstra mest siffran i sekvensen och så vidare. Därefter beräkna summan av alla värden och ta resten på division med 6.,

    exempel: Vad är resten när 1036125837 divideras med 6?

    multiplikation av den högra siffran = 1 × 7 = 7 multiplikation av den andra högra siffran = 3 × -2 = -6 tredje högra siffran = -16 fjärde högra siffran = -10 femte högra siffran = -4 sjätte högra siffran = -2 sjunde högra siffran = -12 åttonde högra siffran = -6 nionde högra siffran = 0 tionde högra siffran = -2 summan = -51 -51 3 (mod 6) resten = 3

    delbarhet med 7

    delbarhet med 7 kan testas av en rekursiv metod., Ett nummer av formuläret 10x + y är delbart med 7 om och endast om x – 2y är delbart med 7. Med andra ord, subtrahera två gånger den sista siffran från det nummer som bildas av de återstående siffrorna. Fortsätt att göra detta tills ett tal erhålls för vilket det är känt om det är delbart med 7. Det ursprungliga numret är delbart med 7 om och endast om det tal som erhålls med denna procedur är delbart med 7. Till exempel numret 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; således, eftersom -7 är delbar med 7, är 371 delbar med 7.,

    På samma sätt är ett nummer av formuläret 10x + y delbart med 7 om och endast om x + 5y är delbart med 7. Så lägg till fem gånger den sista siffran till det nummer som bildas av de återstående siffrorna och fortsätt att göra detta tills ett tal erhålls för vilket det är känt om det är delbart med 7.

    en annan metod är multiplikation med 3. Ett nummer av formuläret 10x + y har samma återstod när dividerat med 7 som 3x + y., Man måste multiplicera den vänstra siffran i det ursprungliga numret med 3, Lägg till nästa siffra, ta resten när den delas med 7 och fortsätt från början: multiplicera med 3, Lägg till nästa siffra etc. Till exempel numret 371: 3×3 + 7 = 16 rest 2 och 2×3 + 1 = 7. Denna metod kan användas för att hitta resten av divisionen med 7.

    denna metod kan förenklas genom att ta bort behovet av att multiplicera. Allt som krävs med denna förenkling är att memorera sekvensen ovan (132645…), och att lägga till och subtrahera, men alltid arbeta med ensiffriga tal.,

    förenklingen går enligt följande:

    • ta till exempel numret 371
    • ändra alla händelser på 7, 8 eller 9 till 0, 1 respektive 2. I det här exemplet får vi: 301. Detta andra steg kan hoppas över, med undantag för den vänstra mest siffran, men efter det kan underlätta beräkningar senare.
    • Konvertera nu den första siffran (3) till följande siffra i sekvensen 13264513… I vårt exempel blir 3 2.,
    • Lägg till resultatet i föregående steg (2) till den andra siffran i numret och ersätt resultatet för båda siffrorna och lämna alla återstående siffror oförändrade: 2 + 0 = 2. Så 301 blir 21.
    • upprepa proceduren tills du har en igenkännbar multipel av 7, eller för att se till, ett tal mellan 0 och 6. Så, från och med 21 (vilket är en igenkännlig multipel av 7), ta den första siffran (2) och konvertera den till följande i sekvensen ovan: 2 blir 6. Lägg sedan till den andra siffran: 6 + 1 = 7.,
    • om den första siffran vid något tillfälle är 8 eller 9, blir dessa 1 respektive 2. Men om det är en 7 bör det bli 0, bara om inga andra siffror följer. Annars borde det helt enkelt släppas. Detta beror på att 7 skulle ha blivit 0, och siffror med minst två siffror innan decimalpunkten börjar inte med 0, vilket är värdelöst. Enligt detta blir våra 7 0.

    om du genom denna procedur får en 0 eller någon igenkännbar multipel av 7, är det ursprungliga numret en multipel av 7., Om du får ett tal från 1 till 6, som kommer att indikera hur mycket du ska subtrahera från det ursprungliga numret för att få en multipel av 7. Med andra ord hittar du resten av att dela numret med 7. Ta till exempel numret 186:

    • först, ändra 8 till en 1: 116.
    • ändra nu 1 till följande siffra i sekvensen (3), lägg den till den andra siffran och skriv resultatet istället för båda: 3 + 1 = 4. Så 116 blir nu 46.
    • upprepa proceduren, eftersom numret är större än 7. Nu blir 4 5, vilket måste läggas till 6. Det är elva.,
    • upprepa proceduren en gång till: 1 blir 3, som läggs till den andra siffran (1): 3 + 1 = 4.

    nu har vi ett tal lägre än 7, och detta nummer (4) är resten av divisionen 186/7. Så 186 minus 4, som är 182, måste vara en multipel av 7.

    Obs: anledningen till att detta fungerar är att om vi har: A+B=C och b är en multipel av ett visst nummer n, då kommer a och c nödvändigtvis att producera samma återstod när det divideras med n. med andra ord, i 2 + 7 = 9 är 7 delbart med 7. Så 2 och 9 måste ha samma påminnelse när den delas med 7. Resten är 2.,

    om ett tal n är en multipel av 7 (dvs.: resten av n / 7 är 0), kan därför inte addera (eller subtrahera) multiplar av 7 ändra den egenskapen.

    vad den här proceduren gör, som förklarats ovan för de flesta delbarhetsregler, subtraherar helt enkelt små och små multiplar av 7 från det ursprungliga numret tills det når ett tal som är tillräckligt litet för att vi ska komma ihåg om det är en multipel av 7. Om 1 blir en 3 i följande decimalposition, är det precis detsamma som att konvertera 10×10n till en 3×10n., Och det är faktiskt detsamma som att subtrahera 7×10n (tydligt en multipel av 7) från 10×10n.

    På samma sätt, när du gör en 3 till en 2 i följande decimalposition, vrider du 30×10n till 2×10n, vilket är detsamma som att subtrahera 30×10n-28×10n, och detta subtraherar igen en multipel av 7. Samma anledning gäller för alla återstående omvandlingar:

    • 20×10n-6×10n=14×10N
    • 60×10n − 4×10N=56×10N
    • 40×10n − 5×10n=35×10n
    • 50×10n-1×10n=49×10n

    första metodtexempel
    1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. SVAR: 1050 är delbart med 7.,

    andra metoden exempel
    1050 → 0501 (omvänd) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicera och Lägg till). SVAR: 1050 är delbart med 7.

    vedisk metod för delbarhet genom osculation
    delbarhet med sju kan testas genom multiplikation av Ekhādika. Konvertera divisorn sju till nines-familjen genom att multiplicera med sju. 7×7=49. Lägg till en, släpp enheterna siffra och ta 5, Ekhādika, som multiplikatorn. Börja till höger. Multiplicera med 5, Lägg till produkten till nästa siffra till vänster. Ställ in resultatet på en linje under den siffran., Upprepa denna metod för att multiplicera enheterna siffra med fem och lägga till den produkten till antalet tiotals. Lägg till resultatet till nästa siffra till vänster. Skriv ner det resultatet under siffran. Fortsätt till slutet. Om slutresultatet är noll eller en multipel av sju, så ja, numret är delbart med sju. Annars är det inte. Detta följer Vedic ideal, En-line notation.,

    Vedic method example: 

    Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES

    Pohlman–Mass method of divisibility by 7
    Pohlman–Mass method ger en snabb lösning som kan avgöra om de flesta heltal är delbara med sju i tre steg eller mindre. Denna metod kan vara användbar i en matematiktävling som MATHCOUNTS, där tiden är en faktor för att bestämma lösningen utan en kalkylator i Sprintrundan.

    steg A: om heltalet är 1000 eller mindre, subtrahera två gånger den sista siffran från det nummer som bildas av de återstående siffrorna., Om resultatet är en multipel av sju, så är det ursprungliga numret (och vice versa). Till exempel:

    112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO

    eftersom 1,001 är delbar med sju, utvecklas ett intressant mönster för upprepande uppsättningar med 1, 2 eller 3 siffror som bildar 6-siffriga tal (ledande nollor är tillåtna) genom att alla sådana nummer är delbara med sju. Till exempel:

    001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
    01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
    111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
    576,576 / 7 = 82,368

    för alla ovanstående exempel, subtrahera de tre första siffrorna från de tre senaste resultaten i en multipel av sju., Observera att ledande nollor är tillåtna att bilda ett 6-siffrigt mönster.

    detta fenomen utgör grunden för steg B och C.

    steg B:om heltalet är mellan 1,001 och en miljon, hitta ett upprepande mönster på 1, 2 eller 3 siffror som bildar ett 6-siffrigt nummer som ligger nära heltalet (ledande nollor är tillåtna och kan hjälpa dig att visualisera mönstret). Om den positiva skillnaden är mindre än 1000, applicera steg A. Detta kan göras genom att subtrahera de tre första siffrorna från de tre sista siffrorna., Till exempel:

    341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES

    Det faktum att 999,999 är en multipel av 7 kan användas för att fastställa delbarhet av heltal som är större än en miljon genom att minska heltal till ett 6-siffrigt nummer som kan bestämmas med hjälp av Steg B. Detta kan göras enkelt genom att lägga till siffrorna till vänster i sex första till sista sex och följ med Steg A.

    i Steg C:Om heltalet är större än en miljon, subtrahera närmaste multipel av 999,999 och sedan tillämpa Steg B. För ännu större siffror, använda större uppsättningar som 12-siffror (999,999,999,999) och så vidare., Bryt sedan heltalet i ett mindre tal som kan lösas med steg B. till exempel: 

    22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES

    detta gör det möjligt att lägga till och subtrahera alternerande uppsättningar med tre siffror för att bestämma delbarheten med sju.,ng exempel:

    Pohlman–Mass metod för delbarhet med 7, exempel:

    Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
    Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
    Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
    Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
    Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES

    multiplikation med 3 metod för delbarhet med 7 exempel:

    Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
    Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
    Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES

    hitta resten av ett tal när dividerat med 7

    multiplicera den högra mest siffran med den vänstra mest siffran i sekvensen och multiplicera den andra högra mest siffran med den andra vänstra mest siffran i sekvensen och så vidare och så vidare., Därefter beräkna summan av alla värden och ta modulen på 7.
    exempel: Vad är resten när 1036125837 divideras med 7?,
    multiplikation av den högra siffran = 1 × 7 = 7
    multiplikation av den andra högra siffran = 3 × 3 = 9
    tredje högra siffran = 8 × 2 = 16
    fjärde högra siffran = 5 × -1 = -5
    femte högra siffran = 2 × -3 = -6
    sjätte högra siffran = 1 × -2 = -2
    sjunde högra siffran = 6 × 1 = 6
    åttonde högra siffran = 3 × 3 = 9
    nionde högra siffran = 0
    tionde högra siffran = = 1 × -1 = -1
    sum = 33
    33 modulus 7 = 5
    Rest = 5

    Sifferpar metod för delbarhet med 7

    denna metod använder 1, -3, 2 mönster på sifferpar., Det vill säga delbarheten av ett tal med sju kan testas genom att först separera numret i sifferpar och sedan applicera algoritmen på tresiffriga par (sex siffror). När numret är mindre än sex siffror fyller du noll till höger tills det finns sex siffror. När numret är större än sex siffror, upprepa sedan cykeln på nästa sexsiffriga grupp och lägg sedan till resultaten. Upprepa algoritmen tills resultatet är ett litet antal. Det ursprungliga numret är delbart med sju om och endast om det tal som erhålls med denna algoritm är delbart med sju., Denna metod är särskilt lämplig för stort antal.

    exempel 1:
    numret som ska testas är 157514.Först separerar vi numret i tre siffriga par: 15, 75 och 14.
    då tillämpar vi algoritmen: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
    eftersom de resulterande 182 är mindre än sex siffror lägger vi till noll till höger tills det är sex siffror.
    sedan tillämpar vi vår algoritm igen: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42
    resultatet -42 är delbart med sju, således är det ursprungliga numret 157514 delbart med sju.

    exempel 2:
    numret som ska testas är 15751537186.,
    (1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
    resultatet -77 är delbart med sju, således är det ursprungliga numret 15751537186 delbart med sju.

    en annan siffra par metod för delbarhet med 7

    metod

    detta är en icke-rekursiv metod för att hitta resten kvar av ett nummer på dividera med 7:

    1. separera numret i sifferpar från de plats. Förbered numret med 0 för att slutföra det sista paret om det behövs.
    2. beräkna remainders kvar av varje sifferpar på dividera med 7.,
    3. multiplicera remainders med lämplig multiplikator från sekvensen 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : resten från sifferparet som består av en plats och tiotals plats ska multipliceras med 1, hundratals och tusentals med 2, tio tusen och hundra tusen med 4, miljoner och tio miljoner igen med 1 och så vidare.
    4. beräkna remainders kvar av varje produkt på dividera med 7.
    5. Lägg till dessa remainders.
    6. återstoden av summan dividerad med 7 är återstoden av det angivna numret dividerat med 7.,

    till exempel:

    numret 194,536 lämnar en återstod av 6 på att dividera med 7.

    antalet 510,517,813 lämnar en återstod av 1 på dividera med 7.

    bevis på att metoden är korrekt

    metoden är baserad på observationen att 100 lämnar en återstod av 2 när den divideras med 7. Och eftersom vi bryter numret i sifferpar har vi i huvudsak befogenheter på 100.,

    1 mod 7 = 1

    100 mod 7 = 2

    10,000 mod 7 = 2^2 = 4

    1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1

    10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2

    1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

    och så vidare.

    metodens korrekthet fastställs sedan av följande kedja av likheter:

    låt n vara det givna numret a 2 n a 2 n − 1 . . . 2 1 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}A_{1}}}}.

    2 n-2 n − 1 . . . 2 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}A_{1}}}\mod 7}

    = mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}

    = första gången K = 1 n ( a 2 k a 2 K − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2K}a_{2K-1}\gånger 10^{2K-2}){\bmod {7}}}

    = k = 1 n ( a 2 k a 2 K − 1 Mod 7 ) × ( 10 2 K − 2 MOD 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2K}a_{2K-1}{\bmod {7}})\gånger (10^{2K-2}{\bmod {7}})}

    delbarhet med 13

    multiplicera rätt mest siffriga av numret med vänster flest nummer i sekvensen som visas ovan och den andra högra mest siffran till den andra vänstra mest siffran av numret i sekvensen., Cykeln fortsätter.

    exempel: Vad är resten när 321 divideras med 13?
    använda den första sekvensen,
    Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
    Rest = -17 mod 13 = 9

    Leave a Comment