balkar kan variera kraftigt i deras geometri och sammansättning. Till exempel kan en stråle vara rak eller krökt. Det kan vara av konstant tvärsnitt, eller det kan avsmalna. Den kan vara helt tillverkad av samma material (homogen), eller den kan vara sammansatt av olika Material (Komposit). Några av dessa saker gör analysen svår, men många tekniska applikationer involverar fall som inte är så komplicerade., Analysen förenklas om:
- strålen är ursprungligen rak, och någon avsmalning är liten
- strålen upplever endast linjär elastisk deformation
- strålen är smal (dess längd till höjd förhållande är större än 10)
- endast små avböjningar beaktas (max avböjning mindre än 1/10 av spännvidden).,
i det här fallet kan ekvationen som styr strålens avböjning ( w {\displaystyle w} ) approximeras som:
d 2 w ( x ) D x 2 = m ( x ) E ( X ) i ( X ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {m(x)}{e(x)i(x)}}}
där det andra derivatet av dess avböjda form med avseende på X {\displaystyle X} tolkas som dess krökning, e {\displaystyle E} är Youngs modul, i {\displaystyle i} är det tröghetsmoment i tvärsnittet, och m {\displaystyle M} är det interna böjningsmomentet i strålen.,
om strålen dessutom inte är avsmalnande och är homogen, och påverkas av en distribuerad belastning q {\displaystyle q}, kan ovanstående uttryck skrivas som:
E I d 4 w ( x ) D x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
denna ekvation kan användas för att lösas för en mängd olika lastnings-och gränsförhållanden. Ett antal enkla exempel visas nedan. De uttryckta formlerna är approximationer utvecklade för långa, smala, homogena, prismatiska balkar med små avböjningar och linjära elastiska egenskaper., Enligt dessa begränsningar bör approximationerna ge resultat inom 5% av den faktiska avböjningen.
fribärande beamsedit
fribärande balkar har en ände fast, så att lutningen och avböjningen i den änden måste vara noll.
schematisk avböjning av en fribärande stråle.,div>
Slutet-laddad fribärande beamsEdit
Fribärande balk med en kraft på den fria änden
δ B = F L 3 3 E jag {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}} ϕ B = F L 2 2 E i {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}
om
F {\displaystyle F} = Kraft som verkar på spetsen av balken L {\displaystyle L} = Längden av balken (span) E {\displaystyle E} = elasticitetsmodul jag {\displaystyle jag} = Område tröghetsmoment strålens tvärsnitt
Observera att om p dubbel, den deformationen ökar åttafaldiga.,e beam e {\displaystyle E} = elasticitetsmodul i {\displaystyle i} = tröghetsmoment för tvärsnitt
böjningen vid vilken punkt som helst, x {\displaystyle x} , längs span av en jämnt laddad fribärande stråle kan beräknas med hjälp av:
δ x = q x 2 24 e i ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24ei}}(6L^{2}-4LX+x^{2})} x = Q X 6 e i ( 3 L 2 − 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \Phi _{x}={\frac {QX}{6ei}}(3L^{2}-3LX+x^{2})}
simply-supported beamsedit
simply-supported beams have supports under their ends which allow rotation, but not deflection.,
schematisk avböjning av en enkel stödd stråle.,iv>
den maximala elastiska avböjningen på en stråle som stöds av två enkla stöd, laddade på avstånd a {\displaystyle A} från närmaste stöd, ges av:
δ m a x = F a (L 2 – a 2 ) 3 / 2 9 3 L E i {\displaystyle \ delta _ {max}={\frac {Fa(l^{2} – a^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
där
f {\displaystyle F} = kraft som verkar på strålen l {\displaystyle L} = längden på strålen mellan stöden e {\displaystyle E} = elasticitetsmodul i {\displaystyle i} = Area moment av tröghet av tvärsnitt a {\displaystyle a} = avstånd från lasten till närmaste stöd (i.,den.,am kan beräknas med hjälp av:
δ x = q x 24 e i ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2LX^{2}+x^{3})}
förändring i LengthEdit
var:
Δ l {\displaystyle \Delta l} = ändring i längd (alltid negativ) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = slope − funktion (första derivatet av δ x {\displaystyle \Delta _{x}} ) δ L = -1 2 2 0 l ( θ ( x ) ) 2 D x {\displaystyle \Delta l= – {\frac {1}{2}}\int _{0}^{l}(\Theta (x))^{2}DX}
om strålen är likformig och avböjningen vid vilken punkt som helst är känd kan detta beräknas utan att veta andra egenskaper av strålen.,