Număr

NumeralsEdit

numerele trebuie diferențiate de cifre, simbolurile utilizate pentru a reprezenta numere. Egiptenii au inventat primul sistem numeric cifrat, iar grecii au urmat cartografierea numerelor lor de numărare pe alfabetele Ionice și Dorice., Cifre romane, un sistem care a folosit combinații de Litere din alfabetul Roman, a rămas dominant în Europa până la răspândirea sistemului superior numeric hindus–arab în jurul sfârșitul secolului al 14–lea, și sistemul numeric hindus-arab rămâne cel mai comun sistem pentru reprezentarea numerelor în lumea de astăzi. Cheia eficacității sistemului a fost simbolul pentru zero, care a fost dezvoltat de matematicienii indieni vechi în jurul anului 500 D.hr.,

Prima utilizare a numbersEdit

Oase și alte artefacte au fost descoperite cu semnele taie în ei că mulți cred că sunt tally mărci. Este posibil ca aceste semne să fi fost utilizate pentru numărarea timpului scurs, cum ar fi numărul de zile, ciclurile lunare sau păstrarea înregistrărilor cantităților, cum ar fi animalele.un sistem de numărare nu are niciun concept de valoare a locului (ca în notația zecimală modernă), ceea ce limitează reprezentarea numerelor mari. Cu toate acestea, sistemele de numărare sunt considerate primul tip de sistem numeric abstract.,

primul sistem cunoscut cu valoare de loc a fost sistemul Mesopotamian base 60 (c. 3400 Î. HR.) și cel mai vechi sistem de bază 10 cunoscut datează din 3100 î.HR. în Egipt.

Zero Editare

prima utilizare documentată de zero datele pentru a AD 628, și a apărut în Brāhmasphuṭasiddhānta, principalul lucru de matematicianul Indian Brahmagupta. El a tratat 0 ca un număr și a discutat despre operațiunile care îl implică, inclusiv Divizia. Până în acest moment (secolul al 7-lea) conceptul a ajuns în mod clar Cambodgia ca cifre Khmer, iar documentația arată ideea de răspândire mai târziu în China și lumea islamică.,

Brāhmasphuṭasiddhānta lui Brahmagupta este prima carte care menționează zero ca număr, de aceea Brahmagupta este de obicei considerată prima care formulează conceptul de zero. El a dat reguli de utilizare a zero cu numere negative și pozitive, cum ar fi „zero plus un număr pozitiv este un număr pozitiv, iar un număr negativ plus zero este numărul negativ.,”Brāhmasphuṭasiddhānta este cel mai vechi text cunoscut pentru a trata zero ca un număr în sine, mai degrabă decât ca pur și simplu o cifră substituent în reprezentând un alt număr așa cum a fost făcut de babilonieni sau ca un simbol pentru o lipsă de cantitate așa cum a fost făcut de Ptolemeu și romani.

utilizarea 0 ca număr ar trebui să se distingă de utilizarea sa ca număr de substituent în sistemele de valori loc. Multe texte antice folosite 0. Textele babiloniene și egiptene au folosit-o. Egiptenii au folosit cuvântul nfr pentru a desemna soldul zero în contabilitatea cu dublă intrare., Textele indiene au folosit un cuvânt sanscrit Shunye sau shunya pentru a se referi la conceptul de gol. În textele matematice acest cuvânt se referă adesea la numărul zero. În mod similar, Pāṇini (secolul al V-lea î. HR.) a folosit operatorul nul (zero) în Ashtadhyayi, un exemplu timpuriu de gramatică algebrică pentru limba sanscrită (vezi și Pingala).

există alte utilizări ale lui zero înainte de Brahmagupta, deși documentația nu este la fel de completă ca în Brāhmasphuṭasiddhānta.,înregistrările arată că grecii antici păreau nesiguri cu privire la statutul de 0 ca număr: s-au întrebat „cum poate” nimic ” să fie ceva?”conducând la interesante argumente filosofice și, prin perioada medievală, religioase despre natura și existența lui 0 și a vidului. Paradoxurile lui Zeno din Elea depind în parte de interpretarea incertă a lui 0. (Grecii antici chiar se întrebau dacă 1 era un număr.,)

La sfârșitul Olmec oameni din europa de sud-Mexic au început să folosească un simbol pentru zero, o coajă de simbol, în Lumea Nouă, eventual prin secolul 4 Î. hr., dar cu siguranță de 40 Î. hr., care a devenit o parte integrantă a Maya cifre și calendarul Maya. Aritmetica Maya a folosit baza 4 și baza 5 scrise ca bază 20. George I. Sánchez în 1961 a raportat o bază 4, baza 5 „deget” abac.prin 130 D. HR., Ptolemeu, influențat de Hipparchus și babilonieni, folosea un simbol pentru 0 (un cerc mic cu o bară lungă) într-un sistem numeric sexagesimal, altfel folosind cifre grecești alfabetice., Pentru că a fost folosit singur, nu ca doar un substituent, acest zero elenistic a fost prima utilizare documentată a unui adevărat zero în Lumea Veche. În manuscrisele bizantine ulterioare ale lui Syntaxis Mathematica (Almagest), zero elenistic sa transformat în litera greacă Omicron (altfel însemnând 70).un alt zero adevărat a fost folosit în tabele alături de cifre romane de 525 (prima utilizare cunoscută de Dionysius Exiguus), dar ca un cuvânt, nulla nu înseamnă nimic, nu ca un simbol. Când divizia a produs 0 ca rest, nihil, de asemenea, ceea ce înseamnă nimic, a fost folosit., Aceste zerouri medievale au fost folosite de toți viitorii computiști medievali (calculatoare de Paște). O utilizare izolată a inițialului lor, N, A fost folosită într-un tabel cu cifre romane de către Bede sau un coleg despre 725, un adevărat simbol zero.

numere Negative Editare

concept abstract de numere negative a fost recunoscut cât mai devreme 100-50 Î. hr. în China. Cele nouă capitole despre arta matematică conțin metode pentru găsirea ariilor figurilor; tijele roșii au fost folosite pentru a desemna coeficienții pozitivi, negrul pentru negativ., Prima referință într-o lucrare occidentală a fost în secolul al III-lea d.HR. în Grecia. Diophantus sa referit la ecuația echivalentă cu 4x + 20 = 0 (soluția este negativă) în Arithmetica, spunând că ecuația a dat un rezultat absurd.

în timpul anilor 600, numerele negative au fost utilizate în India pentru a reprezenta datoriile. Diophantus anterioară de referință a fost discutat mai explicit de matematician Indian Brahmagupta, în Brāhmasphuṭasiddhānta în 628, care a folosit numere negative pentru a produce forma generală formula de rezolvare, care rămâne în uz astăzi., Cu toate acestea, în secolul al XII-lea în India, Bhaskara dă rădăcini negative pentru ecuațiile patratice, dar spune că valoarea negativă „în acest caz nu trebuie luată, deoarece este inadecvată; oamenii nu aprobă rădăcinile negative”.

Europene matematicieni, pentru cea mai mare parte, a rezistat conceptul de numere negative până în secolul al 17-lea, deși Fibonacci permis negative soluții la probleme financiare care ar putea fi interpretate ca datorii (capitolul 13 de Liber Abaci, 1202) și mai târziu ca pierderi (în Flos)., În același timp, chinezii indicau numere negative prin trasarea unei lovituri diagonale prin cifra cea mai dreaptă non-zero a numărului pozitiv corespunzător. Prima utilizare a numerelor negative într-o lucrare Europeană a fost de Nicolas Chuquet în timpul secolului al XV-lea. El le-a folosit ca exponenți, dar le-a numit „numere absurde”.

încă din secolul al XVIII-lea, era o practică obișnuită să ignorăm orice rezultate negative returnate de ecuații pe presupunerea că acestea erau lipsite de sens, la fel cum a făcut René Descartes cu soluții negative într-un sistem de coordonate carteziene.,

Numere raționale editare

este probabil ca conceptul de numere fracționare să datează din timpuri preistorice. Egiptenii antici au folosit notația fracției Egiptene pentru numere raționale în texte matematice, cum ar fi Papirusul matematic Rhind și Papirusul Kahun. Matematicienii clasici greci și indieni au făcut studii asupra teoriei numerelor raționale, ca parte a studiului general al teoriei numerelor. Cele mai cunoscute dintre acestea sunt elementele lui Euclid, datând de la aproximativ 300 î.HR., Dintre textele indiene, cea mai relevantă este Sthananga Sutra, care acoperă și teoria numerelor ca parte a unui studiu general al matematicii.conceptul de fracții zecimale este strâns legat de notația zecimală-valoare; cele două par să se fi dezvoltat în tandem. De exemplu, este obișnuit ca sutra matematică Jain să includă calcule ale aproximărilor fracției zecimale la pi sau rădăcina pătrată a lui 2. În mod similar, textele matematice babiloniene au folosit fracții sexagesimale (baza 60) cu mare frecvență.,

numere Iraționale Editare

Cea mai veche cunoscută utilizarea unor numere iraționale, a fost în india Sulba Sutra compusă între 800 și 500 Î.hr. Primul existența dovezilor de numere iraționale este de obicei atribuită lui Pitagora, mai precis a lui Pitagora Hippasus Metapontum, care a produs-o (cel mai probabil geometrice) dovada de lipsa de rădăcina pătrată a lui 2. Povestea spune că Hippasus a descoperit numere iraționale atunci când încerca să reprezinte rădăcina pătrată a lui 2 ca fracție., Cu toate acestea, Pitagora a crezut în absolutitatea numerelor și nu a putut accepta existența numerelor iraționale. El nu a putut infirma existența lor prin logică, dar el nu a putut accepta numere iraționale, și astfel, se presupune și frecvent raportate, el a condamnat Hippasus la moarte prin înec, pentru a împiedica răspândirea acestei știri deconcertant.secolul al XVI-lea a adus acceptarea finală europeană a numerelor integrale și fracționare negative. Până în secolul al XVII-lea, matematicienii foloseau în general fracții zecimale cu notație modernă., Cu toate acestea, până în secolul al XIX-lea, matematicienii au separat iraționalii în părți algebrice și transcendentale și au întreprins încă o dată studiul științific al iraționalilor. Acesta a rămas aproape latente de la Euclid. În 1872, a fost adusă publicarea teoriilor lui Karl Weierstrass (de către elevul său E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor și Richard Dedekind. În 1869, Charles Méray a luat același punct de plecare ca Heine, dar teoria se referă în general la anul 1872., Weierstrass metoda lui a fost complet stabilit de către Salvatore interpretării sale (1880), și Dedekind a primit suplimentare importanță prin autorului munca de mai târziu (1888) și aprobarea de către Paul Tăbăcărie (1894). Weierstrass, Cantor, și Heine bază teoriile lor privind serie infinită, în timp ce Dedekind fondează pe ideea de a o taia (Schnitt) în sistemul de numere reale, separându-toate numerele raționale în două grupuri care au anumite proprietăți caracteristice. Subiectul a primit contribuții ulterioare de la Weierstrass, Kronecker și Méray.,căutarea rădăcinilor ecuațiilor de grad quintic și superior a fost o dezvoltare importantă, teorema Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) a arătat că nu pot fi rezolvate de radicali (formule care implică doar operații aritmetice și rădăcini). Prin urmare, a fost necesar să se ia în considerare setul mai larg de numere algebrice (toate soluțiile la ecuațiile polinomiale). Galois (1832) a legat ecuațiile polinomiale de teoria grupurilor, dând naștere domeniului teoriei Galois.,fracțiunile continue, strâns legate de numerele iraționale (și datorită lui Cataldi, 1613), au primit atenție în mâinile lui Euler, iar la deschiderea secolului al XIX-lea au fost aduse în evidență prin scrierile lui Joseph Louis Lagrange. Alte contribuții notabile au fost făcute de Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) și Günther (1872). Ramus a conectat mai întâi subiectul cu determinanții, rezultând, cu contribuțiile ulterioare ale lui Heine, Möbius și Günther, în teoria lui Kettenbruchdeterminanten.,

numere Transcendentale și reale Editați

existența numerelor transcendentale a fost stabilită pentru prima dată de Liouville (1844, 1851). Hermite a dovedit în 1873 că e este transcendental, iar Lindemann a dovedit în 1882 că π este transcendental. În cele din urmă, Cantor a arătat că setul tuturor numerelor reale este infinit infinit, dar setul tuturor numerelor algebrice este infinit numărabil, deci există un număr infinit infinit de numere transcendentale.,

Infinit și infinitesimals Editare

Cele mai vechi cunoscute concepție de matematică infinită apare în Yajur Veda, un vechi scenariu Indian, care la un moment dat membre, „Dacă eliminați o parte din infinit sau pentru a adăuga o parte la infinit, tot ce rămâne este infinit.”Infinity a fost un subiect popular de studiu filosofic printre matematicienii Jain c.400 î. HR. Ei distingeau între cinci tipuri de infinit: infinit în una și două direcții, infinit în zonă, infinit peste tot și infinit perpetuu.,Aristotel a definit noțiunea tradițională occidentală de infinit matematic. El a distins între infinitul real și infinitul potențial-consensul general fiind că numai acesta din urmă avea o valoare reală. Cele două noi științe ale lui Galileo Galilei au discutat ideea corespondențelor unu-la-unu între seturi infinite. Dar următorul progres major în teorie a fost făcut de Georg Cantor; în 1895 a publicat o carte despre noua sa teorie a seturilor, introducând, printre altele, numere transfinite și formulând ipoteza continuumului.,în anii 1960, Abraham Robinson a arătat cum numerele infinit de mari și infinitezimale pot fi definite riguros și utilizate pentru a dezvolta domeniul analizei nestandardizate. Sistemul de hyperreal numere reprezintă o metodă riguroasă de a trata ideile despre infinit și infinitezimal numere care au fost folosite ocazional de matematicieni, oameni de știință, ingineri și încă de la inventarea de calcul infinitezimal de Newton și Leibniz.,o versiune geometrică modernă a infinitului este dată de geometria proiectivă, care introduce „puncte ideale la infinit”, câte unul pentru fiecare direcție spațială. Fiecare familie de linii paralele într-o anumită direcție este postulată pentru a converge la punctul ideal corespunzător. Acest lucru este strâns legat de ideea de a dispărea puncte în desenul în perspectivă.,

numere Complexe de Editare

Cea mai veche trecătoare referire la rădăcini pătrate din numere negative au avut loc în activitatea de matematician și inventator Heron din Alexandria în secolul 1 d. hr, când a considerat volumul de imposibil frustum de piramidă. Au devenit mai proeminente atunci când în secolul al XVI-lea au fost descoperite formule închise pentru rădăcinile polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea de către matematicienii italieni precum Niccolò Fontana Tartaglia și Gerolamo Cardano., În curând sa realizat că aceste formule, chiar dacă cineva era interesat doar de soluții reale, uneori necesitau manipularea rădăcinilor pătrate ale numerelor negative.

Acest lucru a fost de două ori neliniștitor, deoarece nici măcar nu au considerat că numerele negative sunt pe teren ferm la acea vreme. Când René Descartes a inventat termenul „imaginar” pentru aceste cantități în 1637, el a intenționat ca peiorativ. (Vezi numărul imaginar pentru o discuție despre „realitatea” numerelor complexe.,) O altă sursă de confuzie a fost că ecuația

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

părea capricios în contradicție cu algebrice de identitate

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {o}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

care este valabil pentru numere reale pozitive a și b, și a fost, de asemenea, utilizate în număr complex calcule cu unul dintre a, b pozitiv, iar celălalt negativ., Utilizarea incorectă a acestei identități, și legate de identitatea

1 o = 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {o}}}={\sqrt {\frac {1}{o}}}}

în cazul când ambele a și b sunt negative chiar chinuit Euler. Această dificultate la condus în cele din urmă la Convenția de a folosi simbolul special i în loc de − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} pentru a proteja împotriva acestei greșeli.

secolul al XVIII-lea a văzut lucrarea lui Abraham de Moivre și Leonhard Euler., De formula lui Moivre (1730) prevede:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

în timp ce formula lui Euler de analiză complexă (1748) ne-a dat:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \ cos \ theta +i \ sin \ theta =e^{i \ theta }.}

existența numerelor complexe nu a fost complet acceptată până când Caspar Wessel a descris interpretarea geometrică în 1799., Carl Friedrich Gauss a redescoperit-o și a popularizat-o câțiva ani mai târziu și, ca urmare, teoria numerelor complexe a primit o expansiune notabilă. Ideea reprezentării grafice a numerelor complexe a apărut, totuși, încă din 1685, în de algebra tractatus de Wallis.tot în 1799, Gauss a furnizat prima dovadă general acceptată a teoremei fundamentale a algebrei, arătând că fiecare polinom peste numerele complexe are un set complet de soluții în acel domeniu., Acceptarea generală a teoriei numerelor complexe se datorează muncii lui Augustin Louis Cauchy și Niels Henrik Abel, și mai ales a acestuia din urmă, care a fost primul care a folosit cu îndrăzneală numere complexe cu un succes bine cunoscut.Gauss a studiat numerele complexe ale formei a + bi, unde a și b sunt integrale sau raționale (și i este una dintre cele două rădăcini ale lui x2 + 1 = 0). Studentul său, Gotthold Eisenstein, a studiat tipul a + bw, unde ω este o rădăcină complexă de x3 – 1 = 0., Alte astfel de cursuri (numit cyclotomic domenii) de numere complexe derivă din rădăcinile de unitate xk − 1 = 0 pentru valori mai mari de k. Această generalizare se datorează în mare parte Ernst Kummer, care a inventat, de asemenea, ideal numere, care au fost exprimate ca entități geometrice de Felix Klein în anul 1893.în 1850 Victor Alexandre Puiseux a făcut pasul cheie de a distinge între poli și punctele de ramură și a introdus conceptul de puncte singulare esențiale. Acest lucru a dus în cele din urmă la conceptul de plan complex extins.,numerele Prime au fost studiate de-a lungul istoriei înregistrate. Euclid a dedicat o carte a elementelor teoriei primelor; în ea a dovedit infinitatea primelor și teorema fundamentală a aritmeticii și a prezentat algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al două numere.în 240 î. HR., Eratosthenes a folosit Sita lui Eratosthenes pentru a izola rapid numerele prime. Dar cea mai mare dezvoltare ulterioară a teoriei primelor din Europa datează din Renaștere și din epoca ulterioară.,în 1796, Adrien-Marie Legendre a presupus teorema numărului prim, descriind distribuția asimptotică a primelor. Alte rezultate privind distribuirea de numere prime includ Euler este dovada că suma de inversului de numere prime diferă, și Goldbach, care susține că orice suficient de mare număr par este suma a două numere prime. O altă presupunere legată de distribuția numerelor prime este ipoteza Riemann, formulată de Bernhard Riemann în 1859., Teorema numerelor prime a fost în cele din urmă dovedită de Jacques Hadamard și Charles de la Vallée-Poussin în 1896. Presupunerile lui Goldbach și Riemann rămân nedovedite și nerefutate.