Observații generale
probabil cea mai naturală abordare a logicii formale este prin ideea validității unui argument de genul cunoscut sub numele de deductiv. Un argument deductiv poate fi aproximativ caracterizat ca unul în care afirmația se face că o anumită propunere (concluzia) urmează cu necesitate strictă de la o altă propunere sau propuneri (premisele)—adică, că ar fi inconsistente sau auto-contradictorii să se afirme premisele, dar neagă concluzia.,
Dacă un argument deductiv este de a reuși în stabilirea adevărului concluziei sale, două destul de diferite condiții trebuie să fie îndeplinite: în primul rând, concluzia trebuie să rezulte din premise—de exemplu, deducerea concluziei din premise trebuie să fie logic corect—și, în al doilea rând, premisele trebuie să fie adevărate. Un argument care îndeplinește ambele condiții se numește sunet., Dintre aceste două condiții, logicianul ca atare este preocupat doar de primul; al doilea, determinarea adevărului sau falsității premiselor, este sarcina unei discipline speciale sau a unei observații comune adecvate subiectului argumentului. Atunci când încheierea unui argument este corect deductibilă din sediul său, se spune că deducția de la sediu la concluzie este (deductivă) valabilă, indiferent dacă sediul este adevărat sau fals., Alte modalități de exprimare a faptului că o inferență este deductiv valabil sunt să spun că adevărul premiselor dă (sau ar da) o garanție absolută a adevărului de concluzie sau că ar implica o inconsecvență logică (ca distinct de o simplă greșeală de fapt) să presupunem că premisele au fost adevărate, dar concluzia false.obține un abonament Britannica Premium și obține acces la conținut exclusiv., Deducțiile deductive cu care este vizată logica formală sunt, după cum sugerează și numele, cele pentru care valabilitatea nu depinde de nicio caracteristică a subiectului lor, ci de forma sau structura lor. Astfel ,cele două inferențe (1) Fiecare câine este un mamifer. Unele patrupede sunt câini. ∴ Unele patrupede sunt mamifere. și (2) fiecare anarhist este un credincios în dragoste liberă. Unii membri ai Partidului guvernamental sunt anarhiști. ∴ Unii membri ai partidului de guvernământ sunt credincioși în dragoste liberă., diferă în materie și, prin urmare, necesită proceduri diferite pentru a verifica adevărul sau falsitatea spațiilor lor. Dar valabilitatea lor este asigurată prin ceea ce au în comun—și anume, că argumentul în fiecare este de forma(3) în Fiecare X este Y. Unele Z e X e. ∴ Unii Z e Y e.
Linia (3) de mai sus poate fi numit o formă de inferență, și (1) și (2) sunt apoi instanțele de inferență formă. Literele-X, Y și Z—in (3) marchează locurile în care pot fi inserate expresii de un anumit tip., Simbolurile utilizate în acest scop sunt cunoscute ca variabile; utilizarea lor este analogă cu cea a lui x în algebră, care marchează locul în care poate fi inserat un număr. O instanță a unei forme de inferență este produsă prin înlocuirea tuturor variabilelor din ea cu expresii adecvate (adică, cele care au sens în context) și făcând acest lucru uniform (adică înlocuind aceeași expresie ori de câte ori aceeași variabilă reapare)., Caracteristica (3) care garantează că fiecare instanță a acesteia va fi valabilă este construcția sa în așa fel încât fiecare mod uniform de înlocuire a variabilelor sale pentru a face adevărate premisele face automat concluzia adevărată sau, cu alte cuvinte, că nicio instanță a acesteia nu poate avea premise adevărate, ci o concluzie falsă. În virtutea acestei caracteristici, forma (3) este denumită formă de inferență validă. În schimb, (4) fiecare X este un Y. unele Z sunt Y. ∴ unele Z sunt x., nu este o formă de inferență validă, deoarece, deși pot fi produse cazuri în care premisele și concluziile sunt toate adevărate, pot fi produse și cazuri în care premisele sunt adevărate, dar concluzia este falsă—de exemplu, (5) fiecare câine este un mamifer. Unele creaturi înaripate sunt mamifere. ∴ Unele creaturi înaripate sunt câini.logica formală ca studiu se referă mai degrabă la formele de inferență decât la anumite cazuri ale acestora. Una dintre sarcinile sale este de a discrimina între formele de inferență valide și nevalide și de a explora și sistematiza relațiile care se află între cele valide.,
strâns legată de ideea unei forme de inferență valide este cea a unei forme de propoziție valide. O formă de propunere este o expresie a cărei instanțe (produse ca înainte de înlocuiri adecvate și uniforme pentru variabile) nu sunt inferențe de la mai multe propoziții la o concluzie, ci mai degrabă propoziții luate individual, iar o formă de propunere validă este una pentru care toate instanțele sunt propoziții adevărate. Un exemplu simplu este(6) nimic nu este atât un X, cât și un non-X. logica formală este preocupată de formele de propunere, precum și de formele de inferență., Studiul formelor de propunere poate fi, de fapt, făcut pentru a include cea a formelor de inferență în felul următor: lăsați premisele oricărei forme de inferență date (luate împreună) să fie abreviate prin alfa (α) și concluzia sa prin beta (β). Apoi starea înscrisă mai sus pentru validitatea inferență forma „α, prin urmare, β” sume să spun că nici un exemplu de propunere de forma „α și β” este adevărat—și anume, că fiecare exemplu de propunere de forma(7) Nu ambele: α și β este adevărat sau că linia (7), pe deplin precizate, desigur, este valabil propunere de formular., Studiul formelor de propunere, cu toate acestea, nu pot fi cazați în mod similar în studiul formelor de inferență, și astfel, din motive de exhaustivitate este obișnuit să se considere logica formală ca studiul formelor de propunere. Pentru un logician se ocupă de propunere forme este în multe moduri similare de la un matematician se ocupă de formule numerice, sistemele el constructe sunt adesea numite calculi.o mare parte din munca unui logician se desfășoară la un nivel mai abstract decât cea a discuției anterioare., Chiar și o formulă, cum ar fi (3) de mai sus, deși nu se referă la un anumit subiect, conține expresii de genul „fiecare” și „o”, care sunt considerate ca având un sens definit, iar variabilele sunt destinate pentru a marca locurile de expresii de un anumit fel (aproximativ, substantive comune sau nume de clasa). Cu toate acestea, este posibil—și în anumite scopuri este esențial—să studiem formulele fără a le atașa chiar și acest grad de semnificație., Construcția unui sistem de logică implică, de fapt, două procese distincte: unul constă în crearea unui aparat simbolic—un set de simboluri, reguli pentru strângerea acestora în formule și reguli pentru manipularea acestor formule; al doilea constă în atașarea anumitor semnificații acestor simboluri și formule. Dacă se face doar primul, se spune că sistemul este neinterpretat sau pur formal; dacă acesta din urmă este făcut, se spune că sistemul este interpretat., Această distincție este importantă, deoarece sistemele de logică se dovedesc a avea anumite proprietăți destul de independent de orice interpretări care pot fi plasate asupra lor. Un sistem axiomatic de logică poate fi luat ca exemplu—adică un sistem în care anumite formule nedovedite, cunoscute sub numele de axiome, sunt luate ca puncte de plecare, iar alte formule (teoreme) sunt dovedite pe baza acestora., După cum va apărea mai târziu (Vezi mai jos Axiomatizarea PC), întrebarea dacă o secvență de formule într-un sistem axiomatic este o dovadă sau nu depinde numai de formulele care sunt luate ca axiome și de regulile pentru derivarea teoremelor din axiome și deloc de ceea ce înseamnă teoremele sau axiomele. Mai mult decât atât, o anumită uninterpreted sistem este, în general, capabil de a fi interpretat la fel de bine într-un număr de moduri diferite; prin urmare, în studierea unei uninterpreted sistem, o studiază structura care este comună o varietate de interpretat sisteme., În mod normal, un logician care construiește un sistem pur formal are o anumită interpretare în minte, și motivul pentru care construcția este convingerea că, atunci când această interpretare este dat să-l, formulele de sistem va fi capabil să-și exprime adevăratele principii într-un anumit domeniu de crezut; dar, pentru motivele de mai sus, printre altele, de obicei va avea grijă să descrie formulele de stat și regulile de sistem fără referire la interpretarea și pentru a indica ca o chestiune separată de interpretarea pe care el o are în minte.,multe dintre ideile folosite în expunerea logicii formale, inclusiv unele care sunt menționate mai sus, ridică probleme care aparțin filozofiei mai degrabă decât logicii în sine. Exemplele sunt: care este analiza corectă a noțiunii de adevăr? Ce este o propoziție și cum este legată de propoziția prin care este exprimată? Există anumite tipuri de raționamente solide care nu sunt nici deductive, nici inductive?, Din fericire, este posibil să înveți să faci logică formală fără a avea răspunsuri satisfăcătoare la astfel de întrebări, la fel cum este posibil să faci matematică fără a răspunde la întrebări aparținând filozofiei matematicii, cum ar fi: numerele sunt obiecte reale sau construcții mentale?