Numer

dokładność merytoryczna tej sekcji jest kwestionowana. Odpowiednią dyskusję można znaleźć na stronie Talk: Number. Prosimy o pomoc w upewnieniu się, że kwestionowane oświadczenia są wiarygodnie pozyskiwane. (Listopad 2014) (dowiedz się, jak i kiedy usunąć ten szablon)

Główny artykuł: system liczbowy

Główny artykuł: Historia starożytnych systemów liczbowych

Brahmagupta ' s Brāhmasphuṭasiddhānta jest pierwszą książką, która wspomina zero jako liczbę, stąd Brahmagupta jest zwykle uważana za pierwszą, która sformułowała pojęcie zera. Podał zasady używania zera z liczbami ujemnymi i dodatnimi, takie jak ” zero plus liczba dodatnia jest liczbą dodatnią, a liczba ujemna plus zero jest liczbą ujemną.,”Brāhmasphuṭasiddhānta jest najwcześniejszym znanym tekstem traktującym zero jako liczbę samą w sobie, a nie jako zwykłą cyfrę zastępczą reprezentującą inną liczbę, jak uczynili to Babilończycy lub jako symbol braku ilości, jak uczynili to Ptolemeusz i Rzymianie.

należy odróżnić użycie 0 jako liczby od jej użycia jako liczby zastępczej w systemach wartości zastępczych. Wiele starożytnych tekstów używało 0. Posługiwały się nim teksty babilońskie i egipskie. Egipcjanie używali słowa nfr na określenie zerowego salda w rachunkowości podwójnego zapisu., Teksty indyjskie używały sanskryckiego słowa Shunye lub shunya, aby odnosić się do pojęcia pustki. W tekstach matematycznych słowo to często odnosi się do liczby zero. W podobnym duchu Pāṇini (V wiek p. n. e.) użył operatora null (zero) w Ashtadhyayi, wczesnym przykładzie gramatyki algebraicznej dla języka sanskryckiego (Zobacz też Pingala).

istnieją inne zastosowania zera przed Brahmaguptą, choć dokumentacja nie jest tak kompletna jak w Brāhmasphuṭasiddhānta.,

zapisy pokazują, że starożytni Grecy wydawali się niepewni co do statusu 0 jako liczby: zadali sobie pytanie: „jak” nic ” może być czymś?”, co prowadzi do ciekawych filozoficznych i, w średniowieczu, religijnych argumentów na temat natury i istnienia 0 i próżni. Paradoksy Zenona z Elei zależą częściowo od niepewnej interpretacji 0. (Starożytni Grecy kwestionowali nawet czy 1 jest liczbą.,)

późni olmeccy mieszkańcy Południowo-środkowego Meksyku zaczęli używać symbolu zera, glifu muszli, w Nowym Świecie, prawdopodobnie w IV wieku p. n. e., ale na pewno w 40 p. n. e., który stał się integralną częścią cyfr Majów i kalendarza Majów. Arytmetyka Maya używała bazy 4 i bazy 5 zapisanej jako baza 20. George I. Sánchez w 1961 roku zgłosił Abakus bazy 4, bazy 5 „finger”.

W 130 r.p. n. e. Ptolemeusz, pod wpływem Hipparcha i Babilończyków, używał symbolu 0 (małego okręgu z długą poprzeczką) w systemie liczbowym płciowym, inaczej używając alfabetycznych cyfr greckich., Ponieważ było ono używane samodzielnie, a nie tylko jako element zastępczy, to hellenistyczne zero było pierwszym udokumentowanym użyciem prawdziwego Zera W Starym Świecie. W późniejszych bizantyjskich rękopisach Syntaxis Mathematica (Almagest) hellenistyczne zero przekształciło się w grecką literę Omicron (inaczej oznaczającą 70).

kolejne prawdziwe zero było używane w tabelach obok cyfr rzymskich do 525 roku (pierwsze znane użycie przez Dionizego Exiguusa), ale jako słowo, nulla oznaczające nic, a nie jako symbol. Gdy podział dawał 0 jako pozostałość, używano nihil, oznaczającego również nic., Owe średniowieczne zera były używane przez wszystkich przyszłych średniowiecznych komputystów (kalkulatorów Wielkanocy). Odosobnione użycie ich inicjału, N, zostało użyte w tabeli cyfr rzymskich przez Bede lub kolegę około 725, prawdziwego symbolu zero.

liczby ujemne Edit

abstrakcyjne pojęcie liczb ujemnych zostało uznane w Chinach już w latach 100-50 p. n. e. Dziewięć rozdziałów o sztuce Matematycznej zawiera metody znajdowania obszarów liczb; czerwone pręty były używane do oznaczania współczynników dodatnich, czarne do ujemnych., Pierwsza wzmianka w dziele zachodnim pochodzi z III wieku n. e.w Grecji. Diofantus odwołał się do równania równoważnego 4x + 20 = 0 (rozwiązanie jest ujemne) w arytmetyce, mówiąc, że równanie dało absurdalny wynik.

Wcześniejsza wzmianka o diofancie została dokładniej omówiona przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę w Brāhmasphuṭasiddhānta w 628 roku, który użył liczb ujemnych do wytworzenia ogólnej postaci kwadratowej formuły, która pozostaje w użyciu do dziś., Jednak w XII wieku w Indiach Bhaskara daje negatywne korzenie równaniom kwadratowym, ale mówi, że wartość ujemna „w tym przypadku nie powinna być brana, ponieważ jest niewystarczająca; ludzie nie aprobują negatywnych korzeni”.

europejscy matematycy w większości opierali się koncepcji liczb ujemnych aż do XVII wieku, chociaż Fibonacci dopuszczał rozwiązania ujemne w problemach finansowych, gdzie można je interpretować jako długi (Rozdział 13 Liber Abaci, 1202), a później jako straty (w Flos)., W tym samym czasie Chińczycy wskazywali liczby ujemne, rysując ukośny skok przez prawą, najbardziej niezerową cyfrę odpowiadającej cyfrze liczby dodatniej. Pierwsze użycie liczb ujemnych w europejskim dziele było przez Nicolasa Chuqueta w XV wieku. Używał ich jako wykładników, ale określał je jako „liczby absurdalne”.

już w XVIII wieku powszechną praktyką było ignorowanie jakichkolwiek negatywnych wyników zwracanych przez równania przy założeniu, że są one bez znaczenia, podobnie jak René Descartes robił z ujemnymi rozwiązaniami w kartezjańskim układzie współrzędnych.,

Liczby wymierne Edytuj

jest prawdopodobne, że pojęcie liczb ułamkowych pochodzi z czasów prehistorycznych. Starożytni Egipcjanie używali egipskiej notacji ułamkowej dla liczb wymiernych w tekstach matematycznych, takich jak Papirus matematyczny Rhind i papirus Kahun. Klasyczni greccy i indyjscy matematycy przeprowadzili badania nad teorią liczb wymiernych, jako część ogólnego studium teorii liczb. Najbardziej znanym z nich są pierwiastki Euklidesa, datowane na około 300 p. n. e., Z indyjskich tekstów najbardziej istotna jest Sutra Sthananga, która obejmuje również teorię liczb jako część ogólnej nauki matematyki.

pojęcie ułamków dziesiętnych jest ściśle związane z notacją miejsc dziesiętnych. Na przykład, jest to powszechne dla Jain math Sutra zawierać obliczenia ułamków dziesiętnych przybliżenia do pi lub pierwiastek kwadratowy z 2. Podobnie babilońskie teksty matematyczne z dużą częstotliwością stosowały ułamki płciowe (baza 60).,

Irrational numbers Edit

najwcześniejsze znane użycie irrational numbers było w indyjskich Sulba Sutras skomponowane między 800 A 500 pne. Pierwsze dowody istnienia irracjonalnych liczb są zwykle przypisywane Pitagorasowi, a dokładniej Pitagorejskiemu Hippasowi z Metapontum, który przedstawił (najprawdopodobniej geometryczny) dowód irracjonalności pierwiastka kwadratowego z 2. Historia mówi, że Hippasus odkrył irracjonalne liczby, próbując przedstawić pierwiastek kwadratowy z 2 jako ułamek., Jednak Pitagoras wierzył w absolutność liczb i nie mógł zaakceptować istnienia liczb irracjonalnych. Nie mógł obalić ich istnienia za pomocą logiki, ale nie mógł zaakceptować irracjonalnych liczb, więc rzekomo i często donosił, skazał Hippasa na śmierć przez utonięcie, aby utrudnić szerzenie tej niepokojącej wiadomości.

XVI wiek przyniósł ostateczną Europejską akceptację ujemnych liczb całkowych i ułamkowych. Do XVII wieku matematycy używali na ogół ułamków dziesiętnych z nowoczesną notacją., Jednak dopiero w XIX wieku matematycy rozdzielili irracjonalia na części algebraiczne i transcendentalne i po raz kolejny podjęli naukowe badania irracjonaliów. Pozostał prawie uśpiony od czasu Euklidesa. W 1872 roku ukazała się publikacja teorii Karla Weierstrassa (autorstwa jego ucznia E. Kossaka), Eduarda Heine ' a, Georga Cantora i Richarda Dedekinda. W 1869 roku Charles Méray przyjął ten sam punkt wyjścia co Heine, ale teoria jest ogólnie określana jako rok 1872., Metoda Weierstrassa została całkowicie przedstawiona przez Salvatore Pincherle 'a (1880), a Dedekinda zyskała dodatkowe znaczenie dzięki późniejszej pracy autora (1888) i poparciu Paula Garnery' ego (1894). Weierstrass, Cantor i Heine opierają swoje teorie na nieskończonych szeregach, podczas gdy Dedekind opiera się na idei cięcia (Schnitta) w systemie liczb rzeczywistych, dzieląc wszystkie liczby wymierne na dwie grupy posiadające pewne właściwości charakterystyczne. Temat otrzymał później wkład z rąk Weierstrassa, Kroneckera i Méraya.,

poszukiwanie korzeni równań kwintycznych i wyższych stopni było ważnym rozwinięciem, twierdzenie Abela-Ruffiniego (Ruffini 1799, Abel 1824) pokazało, że nie można ich rozwiązać za pomocą rodników (wzorów obejmujących tylko operacje arytmetyczne i korzenie). Stąd konieczne było rozważenie szerszego zbioru liczb algebraicznych (wszystkich rozwiązań równań wielomianowych). Galois (1832) połączył równania wielomianowe z teorią grup, tworząc pole teorii Galois.,

kontynuowane ułamki, ściśle związane z liczbami irracjonalnymi (i dzięki Cataldi, 1613), zyskały na uwadze Eulera, a na początku XIX wieku zostały wyeksponowane dzięki pismom Josepha Louisa Lagrange ' a. Inne godne uwagi wkłady wnieśli Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) i Günther (1872). Ramus po raz pierwszy połączył przedmiot z determinantami, co zaowocowało, wraz z późniejszymi wkładami Heine' a, Möbiusa i Günthera, w teorię Kettenbruchdeterminanten.,

liczby transcendentalne i liczby rzeczywiste Edytuj

istnienie liczb transcendentalnych zostało po raz pierwszy ustalone przez Liouville ' a (1844, 1851). Hermite udowodnił w 1873, że e jest transcendentalne, a Lindemann udowodnił w 1882, że π jest transcendentalne. W końcu Cantor pokazał, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieskończenie nieskończony, ale zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest nieskończenie nieskończony, więc istnieje nieskończenie nieskończona liczba liczb transcendentalnych.,

Nieskończoność i Nieskończoność Edytuj

Najwcześniejsza znana koncepcja matematycznej nieskończoności pojawia się w Yajur Veda, starożytnym skrypcie Indyjskim, który w pewnym momencie stwierdza: „jeśli usuniesz część z nieskończoności lub dodasz część do nieskończoności, nadal pozostaje nieskończoność.”Nieskończoność była popularnym tematem studiów filozoficznych wśród matematyków Jain około 400 pne. Rozróżniali pięć rodzajów nieskończoności: nieskończoną w jednym i dwóch kierunkach, nieskończoną w obszarze, nieskończoną wszędzie i nieskończoną wiecznie.,

Arystoteles zdefiniował tradycyjne Zachodnie pojęcie matematycznej nieskończoności. Rozróżnił między rzeczywistą nieskończonością a potencjalną nieskończonością—ogólny konsensus jest taki, że tylko ta ostatnia ma prawdziwą wartość. Dwie nowe nauki Galileusza omawiały ideę korespondencji jeden do jednego między nieskończonymi zbiorami. Ale następny duży postęp w tej teorii dokonał Georg Cantor; w 1895 roku opublikował książkę o swojej nowej teorii mnogości, wprowadzając między innymi liczby transfiniczne i formułując hipotezę continuum.,

w latach 60. Abraham Robinson pokazał, jak nieskończenie duże i infinitezymalne liczby mogą być rygorystycznie zdefiniowane i wykorzystane do opracowania pola niestandardowej analizy. System liczb hiperrzeczywistych reprezentuje rygorystyczną metodę traktowania idei o liczbach nieskończonych i infinitezymalnych, które były swobodnie używane przez matematyków, naukowców i inżynierów od czasu wynalezienia rachunku nieskończoności przez Newtona i Leibniza.,

współczesną geometryczną wersję nieskończoności daje geometria rzutowa, która wprowadza „idealne punkty w nieskończoności”, po jednym dla każdego kierunku przestrzennego. Każda rodzina linii równoległych w danym kierunku postuluje zbieżność do odpowiedniego punktu idealnego. Jest to ściśle związane z ideą punktów zbiegu w rysunku perspektywicznym.,

Liczby zespolone Edytuj

najwcześniejsze, ulotne odniesienie do kwadratowych korzeni liczb ujemnych miało miejsce w pracy matematyka i wynalazcy Herona z Aleksandrii w I wieku naszej ery, kiedy rozważał objętość niemożliwego frustum piramidy. Stały się one bardziej widoczne, gdy w XVI wieku zamknięte formuły dla korzeni wielomianów trzeciego i czwartego stopnia zostały odkryte przez włoskich matematyków, takich jak Niccolò Fontana Tartaglia i Gerolamo Cardano., Szybko zdano sobie sprawę, że te formuły, nawet jeśli interesowały tylko realne rozwiązania, czasami wymagały manipulacji pierwiastkami kwadratowymi liczb ujemnych.

To było podwójnie niepokojące, ponieważ nie uważali nawet liczb ujemnych za mocne w tym czasie. Kiedy René Descartes ukuł termin „wyimaginowany” dla tych ilości w 1637 roku, zamierzał go jako obraźliwy. (Zob. liczba urojona do omówienia „rzeczywistości” liczb zespolonych.,) Kolejnym źródłem zamieszania było to, że równanie

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

wydawało się kapryśnie niezgodne z tożsamością algebraiczną

A b = A b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {B}}={\sqrt {ab}},}

która jest ważna dla dodatnich liczb rzeczywistych a i b, a także była używana w obliczeniach liczb zespolonych z liczbami zespolonymi.jeden z A, B dodatni i drugi ujemny., Niepoprawne użycie tej tożsamości i powiązanej tożsamości

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1} {\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac{1} {A}}}}

w przypadku, gdy zarówno a, jak i b są ujemne, parzyste. Ta trudność ostatecznie doprowadziła go do konwencji używania specjalnego symbolu i zamiast − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}, aby chronić się przed tym błędem.

w XVIII wieku powstały dzieła Abrahama de Moivre i Leonharda Eulera., Муавра formuła (1730) czytamy:

( cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) n = w cos ⁡ θ n + i sin ⁡ N θ {\właściwości wyświetlania stylu wartość (\cos \theta +i\sin \theta )^{N}=\bo n\theta +\i n sin\theta }

podczas formuła Eulera kompleksowej analizy (1748), dał nam:

cos ⁡ θ + sin ⁡ θ = e ja θ . {\displaystyle \ cos \ theta +i \ sin \theta =e^{i \ theta }.}

istnienie liczb zespolonych nie zostało w pełni zaakceptowane, dopóki Caspar Wessel nie opisał interpretacji geometrycznej w 1799 roku., Carl Friedrich Gauss odkrył ją na nowo i spopularyzował kilka lat później, w wyniku czego teoria liczb zespolonych otrzymała znaczące rozszerzenie. Idea graficznej reprezentacji liczb zespolonych pojawiła się jednak już w 1685 roku w De algebra tractatus Wallisa.

również w 1799 roku Gauss dostarczył pierwszy powszechnie akceptowany dowód fundamentalnego twierdzenia algebry, pokazując, że każdy wielomian nad liczbami zespolonymi ma pełny zestaw rozwiązań w tej dziedzinie., Ogólna akceptacja teorii liczb zespolonych wynika z prac Augustina Louisa Cauchy ' ego i Nielsa Henrika Abela, a zwłaszcza tego ostatniego, który jako pierwszy odważnie stosował liczby zespolone z dobrze znanym sukcesem.

Gauss badał liczby zespolone postaci a + bi, gdzie a i b są całkowalne, czyli racjonalne (a i jest jednym z dwóch pierwiastków x2 + 1 = 0). Jego uczeń, Gotthold Eisenstein, badał Typ A + bw, gdzie ω jest złożonym pierwiastkiem x3-1 = 0., Inne takie klasy (zwane polami cyklotomicznymi) liczb zespolonych wywodzą się z korzeni jedności xk − 1 = 0 dla wyższych wartości K. uogólnienie to jest w dużej mierze zasługą Ernsta Kummera, który również wynalazł liczby idealne, które zostały wyrażone jako byty geometryczne przez Felixa Kleina w 1893 roku.

w 1850 roku Victor Alexandre Puiseux podjął kluczowy krok w rozróżnianiu biegunów i punktów rozgałęzień i wprowadził pojęcie podstawowych punktów pojedynczych. To ostatecznie doprowadziło do koncepcji rozszerzonej płaszczyzny złożonej.,

liczby pierwsze Edycja

liczby pierwsze były badane w całej historii zapisów. Euklides poświęcił jedną książkę pierwiastków teorii liczb pierwszych; udowodnił w niej nieskończoność liczb pierwszych i podstawowe twierdzenie arytmetyki oraz przedstawił algorytm Euklidesowy do znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb.

W roku 240 p. n. e.Eratostenes wykorzystał Sito Eratostenesa do szybkiego odizolowania liczb pierwszych. Jednak większość dalszego rozwoju teorii liczb pierwszych w Europie datuje się na okres renesansu i późniejszych epok.,

w 1796 roku Adrien-Marie Legendre sformułował twierdzenie o liczbie pierwszej, opisujące asymptotyczny rozkład liczb pierwszych. Inne wyniki dotyczące rozkładu liczb pierwszych obejmują dowód Eulera, że suma odwrotności liczb pierwszych jest różna, oraz hipotezę Goldbacha, która twierdzi, że każda wystarczająco duża liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych. Inną hipotezą związaną z rozkładem liczb pierwszych jest hipoteza Riemanna sformułowana przez Bernharda Riemanna w 1859 roku., Twierdzenie o liczbie pierwszej zostało ostatecznie udowodnione przez Jacques ' a Hadamarda i Charlesa de la Vallée-Poussina w 1896 roku. Hipotezy goldbacha i Riemanna pozostają niesprawdzone i nieujawnione.