obserwacje ogólne
prawdopodobnie najbardziej naturalnym podejściem do logiki formalnej jest idea ważności argumentu w rodzaju znanego jako dedukcyjny. Argument dedukcyjny można z grubsza scharakteryzować jako taki, w którym wysuwa się twierdzenie, że pewna propozycja (wniosek) wynika ze ścisłą koniecznością z innej propozycji lub propozycji (przesłanek)—tzn. że twierdzenie przesłanek, ale zaprzeczenie konkluzji, byłoby niespójne lub sprzeczne.,
jeśli argument dedukcyjny ma się udać w ustaleniu prawdy jego wniosku, muszą być spełnione dwa całkiem odrębne warunki: po pierwsze, wniosek musi rzeczywiście wynikać z przesłanek—tzn. odliczenie wniosku z przesłanek musi być logicznie poprawne-i, po drugie, same przesłanki muszą być prawdziwe. Argument spełniający oba te warunki nazywany jest dźwiękiem., Z tych dwóch warunków, Logik jako taki zajmuje się tylko pierwszym; drugi, określenie prawdy lub fałszu przesłanek, jest zadaniem jakiejś specjalnej dyscypliny lub wspólnej obserwacji odpowiedniej do przedmiotu argumentu. Jeżeli wniosek z argumentu jest prawidłowo wyprowadzony z jego przesłanek, wnioskowanie z przesłanek do wniosku uważa się za (dedukcyjne) ważne, niezależnie od tego, czy przesłanki są prawdziwe czy fałszywe., Inne sposoby wyrażania faktu, że wniosek jest dedukcyjnie ważny, to stwierdzenie, że prawda przesłanek daje (lub dałaby) absolutną gwarancję prawdy wniosku lub że wiązałoby się to z logiczną niespójnością (w odróżnieniu od zwykłej pomyłki faktycznej) przypuszczenie, że przesłanki były prawdziwe, ale wniosek fałszywy.
wnioskami dedukcyjnymi, których dotyczy logika formalna, są, jak sama nazwa wskazuje, te, dla których ważność zależy nie od cech ich przedmiotu, ale od ich formy lub struktury. Tak więc dwa wnioski (1) każdy pies jest ssakiem. Niektóre czworonogi to psy. ∴ Niektóre czworonogi są ssakami. i (2) Każdy anarchista wierzy w wolną miłość. Niektórzy członkowie partii rządowej są anarchistami. ∴ Niektórzy członkowie partii rządowej są wierzący w wolną miłość., różnią się w temacie i dlatego wymagają różnych procedur w celu sprawdzenia prawdy lub fałszu ich przesłanek. Ale ich ważność jest zapewniona przez to, co mają ze sobą wspólnego-mianowicie, że argument w każdym jest postaci (3) Każdy X jest Y. niektóre Z Z są X. ∴ niektóre Z Z są Y.
linia (3) powyżej może być nazwana formą wnioskowania, a (1) i (2) są wtedy instancjami tej formy wnioskowania. Litery-X, Y i Z-w (3) oznaczają miejsca, w których można wstawiać wyrażenia określonego typu., Symbole używane do tego celu są znane jako zmienne; ich użycie jest analogiczne do x w algebrze, która oznacza miejsce, w które można wstawić cyfrę. Instancja postaci wnioskującej jest wytwarzana przez zastąpienie wszystkich zmiennych w nim odpowiednimi wyrażeniami (tj. tymi, które mają sens w kontekście) i robiąc to jednolicie (tj. przez zastąpienie tego samego wyrażenia wszędzie tam, gdzie ta sama zmienna się powtarza)., Cechą (3), która gwarantuje, że każdy jego przypadek będzie ważny, jest jego konstrukcja w taki sposób, że każdy jednolity sposób zastąpienia jego zmiennych w celu uczynienia przesłanek prawdziwymi automatycznie czyni wniosek również prawdziwym, lub innymi słowy, że żaden jego przypadek nie może mieć prawdziwych przesłanek, ale fałszywy wniosek. Na mocy tej funkcji forma (3) jest określana jako prawidłowa forma wnioskowania. W przeciwieństwie do tego (4) każde X jest Y. niektóre Z są Y. ∴ niektóre z Są X., nie jest poprawną formą wnioskowania, ponieważ, chociaż jego przypadki mogą być produkowane w których przesłanki i wnioski są prawdziwe, przypadki tego mogą być również produkowane w których przesłanki są prawdziwe, ale wniosek jest fałszywy—np. (5) każdy pies jest ssakiem. Niektóre skrzydlate stworzenia są ssakami. ∴ Niektóre skrzydlate stworzenia to psy.
logika Formalna jako badanie dotyczy form wnioskowania, a nie poszczególnych ich przypadków. Jednym z jego zadań jest rozróżnianie między poprawnymi i nieważnymi formami wnioskowania oraz badanie i usystematyzowanie relacji, które utrzymują się między poprawnymi.,
blisko związana z ideą prawidłowej formy wnioskowania jest forma poprawnej propozycji. Forma propozycji jest wyrażeniem, którego instancje (produkowane jak wcześniej przez odpowiednie i jednolite zamienniki dla zmiennych) nie są wnioskami z kilku propozycji do wniosku, ale raczej propozycjami podejmowanymi indywidualnie, a prawidłowa forma propozycji jest taka, dla której wszystkie instancje są prawdziwymi propozycjami. Prostym przykładem jest (6) nic nie jest zarówno X, jak i nie-X. logika Formalna dotyczy zarówno form propozycji, jak i form wnioskowania., Badanie form wnioskowania może w rzeczywistości obejmować form wnioskowania w następujący sposób: niech przesłanki dowolnej formy wnioskowania (wzięte razem) będą skracane przez Alfa (α), a jej wnioski przez beta (β). Wtedy warunek podany powyżej dla ważności formy wnioskowania „α, zatem β” sprowadza się do stwierdzenia, że żadna instancja formy propozycji „α i nie-β” nie jest prawdziwa—tzn. że każda instancja formy propozycji(7) nie oba: α i nie-β Jest Prawdziwa—lub że linia (7), w pełni napisana, oczywiście, jest poprawną formą propozycji., Badanie form propozycji nie może być jednak w podobny sposób uwzględnione w badaniu form wnioskowania, a więc ze względu na kompleksowość zwykle uważa się logikę formalną za badanie form propozycji. Ponieważ logika posługuje się formami propozycji jest pod wieloma względami analogiczna do matematycznej obsługi formuł numerycznych, konstruowane przez niego systemy są często nazywane obliczeniami.
większość prac logika przebiega na bardziej abstrakcyjnym poziomie niż powyższa dyskusja., Nawet formuła taka jak (3) powyżej, choć nie odnosi się do żadnego konkretnego przedmiotu, zawiera wyrażenia takie jak „every” I „is a”, które są uważane za posiadające określone znaczenie ,a zmienne są przeznaczone do oznaczania miejsc dla wyrażeń jednego konkretnego rodzaju (z grubsza, rzeczowniki pospolite lub nazwy klas). Możliwe jest jednak—i w niektórych celach jest to niezbędne-studiowanie formuł bez przywiązywania do nich nawet tego stopnia znaczenia., Budowa systemu logicznego polega bowiem na dwóch możliwych do rozróżnienia procesach: jeden polega na stworzeniu aparatu symbolicznego – zbioru symboli, reguł łączenia ich w formuły i reguł manipulowania tymi formułami; drugi polega na przywiązywaniu pewnych znaczeń do tych symboli i formuł. Jeśli tylko to pierwsze jest zrobione, system mówi się, że nie jest interpretowany lub czysto formalny; jeśli to drugie jest zrobione, mówi się, że system jest interpretowany., Rozróżnienie to jest ważne, ponieważ systemy logiki okazują się mieć pewne właściwości zupełnie niezależnie od jakichkolwiek interpretacji, które mogą być na nie nałożone. Jako przykład można przyjąć aksjomatyczny system logiki—tj. system, w którym pewne niesprawdzone formuły, znane jako aksjomaty, są traktowane jako punkty wyjściowe, a dalsze formuły (twierdzenia) są udowodnione na ich mocy., Jak się później okaże (patrz poniżej Aksjomatyzacja PC), pytanie, czy ciąg formuł w systemie aksjomatycznym jest dowodem, czy nie, zależy wyłącznie od tego, które formuły są traktowane jako aksjomaty i jakie są zasady wyprowadzania twierdzeń z aksjomatów, a nie w ogóle od tego, co oznaczają twierdzenia lub aksjomaty. Co więcej, dany system nieinterpretowany jest na ogół w stanie być interpretowany równie dobrze na wiele różnych sposobów; stąd, studiując system nieinterpretowany, badamy strukturę, która jest wspólna dla różnych systemów interpretowanych., Zwykle Logik, który konstruuje system czysto formalny, ma w umyśle szczególną interpretację, a jego motywacją do jego konstruowania jest przekonanie, że kiedy dana jest ta interpretacja, formuły systemu będą w stanie wyrazić prawdziwe zasady w jakiejś dziedzinie myśli; ale, między innymi, z powyższych powodów, zwykle będzie dbał o opis formuł i przepisów systemu bez odniesienia do interpretacji i wskazać jako oddzielną sprawę interpretację, którą ma na myśli.,
wiele idei użytych w prezentacji logiki formalnej, w tym niektóre, które są wymienione powyżej, porusza problemy, które należą raczej do filozofii, niż do samej logiki. Przykładami są: Jaka jest prawidłowa analiza pojęcia prawdy? Czym jest propozycja i jak jest ona związana ze zdaniem, za pomocą którego jest wyrażana? Czy istnieją jakieś rodzaje rozsądnego rozumowania, które nie są ani dedukcyjne, ani indukcyjne?, Na szczęście można nauczyć się robić logikę formalną bez zadawania satysfakcjonujących odpowiedzi na takie pytania, tak jak można robić matematykę bez odpowiadania na pytania należące do filozofii matematyki, takie jak: czy liczby są rzeczywistymi obiektami czy konstruktami umysłowymi?