stralen kunnen sterk variëren in hun geometrie en samenstelling. Een balk kan bijvoorbeeld recht of gebogen zijn. Het kan een constante doorsnede hebben, of het kan taps toelopen. Het kan geheel uit hetzelfde materiaal (homogeen) zijn gemaakt, of het kan uit verschillende materialen (composiet) zijn samengesteld. Sommige van deze dingen maken analyse moeilijk, maar veel technische toepassingen omvatten gevallen die niet zo ingewikkeld zijn., De analyse wordt vereenvoudigd als:
- de lichtbundel oorspronkelijk recht is en een eventuele conus gering is
- de lichtbundel slechts lineaire elastische vervorming
- de lichtbundel slank is (de verhouding lengte/hoogte is groter dan 10)
- slechts kleine vervormingen worden in aanmerking genomen (maximale vervorming minder dan 1/10 van de overspanning).,
In dit geval, de vergelijking betreffende de straal van de doorbuiging ( w {\displaystyle w} ) kan benaderd worden als:
d 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
waar de tweede afgeleide van de afgebogen vorm met betrekking tot x {\displaystyle x} wordt geïnterpreteerd als de kromming, E {\displaystyle E} is de Young ‘ s modulus, I {\displaystyle I} is het gebied traagheidsmoment van de doorsnede, en M {\displaystyle M} is de interne buigend moment in de ligger.,
Als bovendien de bundel niet taps toelopend is en homogeen is, en wordt ingewerkt door een gedistribueerde belasting q {\displaystyle q}, Kan de bovenstaande uitdrukking worden geschreven als:
E I D 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
deze vergelijking kan worden opgelost voor een verscheidenheid aan laad-en randvoorwaarden. Hieronder volgt een aantal eenvoudige voorbeelden. De uitgedrukte formules zijn benaderingen ontwikkeld voor lange, slanke, homogene, prismatische bundels met kleine doorbuigingen en lineaire elastische eigenschappen., Volgens deze beperkingen moeten de benaderingen resultaten opleveren binnen 5% van de werkelijke vervorming.
Cantilever beamsEdit
Cantilever beamsedit
Cantilever beamsedit
Cantilever beamsedit
Cantilever beamsedit
schema van de doorbuiging van een cantileverstraal.,div>
Einde geladen cantilever beamsEdit
Uitkragende ligger met een werking op het vrije uiteinde
δ B = F L 3 3 E I {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}} ϕ B = F L 2 2 E I {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}
waar
F {\displaystyle F} = Kracht die op het uiteinde van de ligger L {\displaystyle L} = de Lengte van de straal (span) E {\displaystyle E} = e-Modulus van elasticiteit I {\displaystyle I} = Gebied traagheidsmoment van de straal van de doorsnede
Merk op dat indien de span verdubbelt, de doorbuiging verhoogt het achtvoudige.,e beam E {\displaystyle E} = e-Modulus van elasticiteit I {\displaystyle I} = Gebied traagheidsmoment van de doorsnede
De doorbuiging op elk punt x {\displaystyle x} , langs de spanwijdte van een uniform geladen uitkragende ligger kan berekend worden met:
δ x = q x 2 24 E I ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})} ϕ x = q x 6 E I ( 3 L 2 L − 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}
Gewoon ondersteund beamsEdit
Gewoon ondersteunde liggers hebben ondersteunt in hun uiteinden waardoor de rotatie, maar niet doorbuiging.,
schema van de vervorming van een eenvoudig ondersteunde bundel.,iv>
De maximale elastische doorbuiging van een balk ondersteund door twee eenvoudige ondersteunt, geplaatst op een afstand van een {\displaystyle a} van de dichtstbijzijnde ondersteuning wordt gegeven door:
δ m a x = F ( L 2 − a 2 ) 3 / 2 9 3 L E I {\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-een^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
waar
F {\displaystyle F} = Kracht die op de balk L {\displaystyle L} = de Lengte van de ligger tussen het ondersteunt E {\displaystyle E} = e-Modulus van Elasticiteit I {\displaystyle I} = Gebied traagheidsmoment van de doorsnede van een {\displaystyle a} = de Afstand van de lading naar het dichtstbijzijnde steun (ik.,de.,ben kan berekend worden met:
δ x = q x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}
Wijzigen in LengthEdit
Waar:
Δ L {\displaystyle \Delta L} = verandering in lengte (negatief) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = helling van de functie (eerste afgeleide van δ x {\displaystyle \delta _{x}} ) Δ L = − 1 2 ∫ 0 L ( θ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}
Als de bundel is uniform en de doorbuiging op enig moment bekend is, deze kan worden berekend zonder kennis van andere eigenschappen van de ligger.,