Nummer

het getal 605 in Khmer cijfers, uit een inscriptie uit 683 AD. Vroeg gebruik van nul als decimaal getal.Brahmagupta ‘ s Brāhmasphuṭasiddhānta is het eerste boek dat nul als een getal noemt, vandaar dat Brahmagupta meestal wordt beschouwd als de eerste die het begrip nul formuleert. Hij gaf regels voor het gebruik van nul met negatieve en positieve getallen, zoals ” nul plus een positief getal is een positief getal, en een negatief getal plus nul is het negatieve getal.,”De Brāhmasphuṭasiddhānta is de vroegst bekende tekst die nul behandelt als een getal op zichzelf, in plaats van als een plaatshouder in het vertegenwoordigen van een ander getal zoals werd gedaan door de Babyloniërs of als een symbool voor een gebrek aan kwantiteit zoals werd gedaan door Ptolemaeus en de Romeinen.

het gebruik van 0 als een getal moet worden onderscheiden van het gebruik ervan als een plaatshouder cijfer in plaats-waarde systemen. Veel oude teksten gebruikt 0. Babylonische en Egyptische teksten gebruikten het. Egyptenaren gebruikten het woord nfr om nul saldo aan te duiden in double entry accounting., Indiase teksten gebruikten een Sanskriet woord Shunye of shunya om te verwijzen naar het begrip leegte. In wiskundeteksten verwijst dit woord vaak naar het getal nul. In dezelfde geest gebruikte Pāṇini (5e eeuw v.Chr.) De null (nul) operator in de Ashtadhyayi, een vroeg voorbeeld van een algebraïsche grammatica voor de Sanskriet taal (zie ook Pingala).

Er zijn andere toepassingen van nul voor Brahmagupta, hoewel de documentatie niet zo volledig is als in de Brāhmasphuṭasiddhānta.,

Records tonen aan dat de oude Grieken onzeker leken over de status van 0 als een getal: ze vroegen zich af “hoe kan ‘niets’ iets zijn?”leidt tot interessante filosofische en, door de middeleeuwse periode, religieuze argumenten over de aard en het bestaan van 0 en het vacuüm. De paradoxen van Zeno van Elea hangen gedeeltelijk af van de onzekere interpretatie van 0. (De oude Grieken vroegen zich zelfs af of 1 een getal was.,)

de late Olmec – bevolking van Zuid-Centraal Mexico begon een symbool te gebruiken voor nul, een schelpteken, in de nieuwe wereld, mogelijk in de 4e eeuw v.Chr. maar zeker in 40 v. Chr., wat een integraal onderdeel werd van de Maya-cijfers en de Maya-kalender. Maya rekenkunde gebruikte Basis 4 en Basis 5 geschreven als basis 20. George I. Sánchez rapporteerde in 1961 een Basis 4, Basis 5 “vinger” telraam.

Door 130 AD gebruikte Ptolemaeus, beïnvloed door Hipparchus en de Babyloniërs, een symbool voor 0 (een kleine cirkel met een lange overbalk) binnen een sexagesimaal cijfersysteem., Omdat het alleen werd gebruikt, niet alleen als plaatshouder, was deze Hellenistische nul het eerste gedocumenteerde gebruik van een ware nul in de Oude Wereld. In latere Byzantijnse manuscripten van zijn syntaxis Mathematica (Almagest) was de Hellenistische nul veranderd in de Griekse letter Omicron (anders betekent 70).

een andere ware nul werd gebruikt in tabellen naast Romeinse cijfers door 525 (eerste bekend gebruik door Dionysius Exiguus), maar als een woord, nulla betekent niets, niet als een symbool. Toen division 0 als Rest produceerde, werd nihil, dat ook niets betekende, gebruikt., Deze middeleeuwse nullen werden gebruikt door alle toekomstige middeleeuwse computisten (rekenmachines van Pasen). Een geïsoleerd gebruik van hun initiaal, N, werd gebruikt in een tabel van Romeinse cijfers door Beda of een collega rond 725, een echte nul symbool.

negatieve getallen bewerken

het abstracte concept van negatieve getallen werd al 100-50 v.Chr. herkend in China. De negen hoofdstukken over de wiskundige kunst bevat methoden voor het vinden van de gebieden van cijfers; rode staven werden gebruikt om positieve coëfficiënten aan te duiden, zwart voor negatief., De eerste referentie in een Westers Werk was in de 3e eeuw n. Chr in Griekenland. Diophantus verwees naar de vergelijking gelijk aan 4x + 20 = 0 (de oplossing is negatief) in Arithmetica, zeggende dat de vergelijking een absurd resultaat gaf.

gedurende de jaren ‘ 60 werden in India negatieve cijfers gebruikt om schulden weer te geven. Diophantus ‘ vorige referentie werd meer expliciet besproken door de Indiase wiskundige Brahmagupta, in Brāhmasphuṭasiddhānta in 628, die negatieve getallen gebruikte om de algemene vorm kwadratische formule te produceren die vandaag de dag nog steeds in gebruik is., Echter, in de 12e eeuw in India, Bhaskara geeft negatieve wortels voor kwadratische vergelijkingen, maar zegt dat de negatieve waarde “is in dit geval niet te nemen, want het is ontoereikend; mensen keuren negatieve wortels niet goed”.Europese wiskundigen verzetten zich voor het grootste deel tot de 17e eeuw tegen het concept van negatieve getallen, hoewel Fibonacci negatieve oplossingen in financiële problemen toestond, waar ze konden worden geïnterpreteerd als schulden (hoofdstuk 13 van Liber Abaci, 1202) en later als verliezen (in Flos)., Tegelijkertijd gaven de Chinezen negatieve getallen aan door een diagonale streep te trekken door het meest rechtse niet-nulcijfer van het overeenkomstige positieve getal. Het eerste gebruik van negatieve getallen in een Europees werk was door Nicolas Chuquet in de 15e eeuw. Hij gebruikte ze als exponenten, maar noemde ze “absurde getallen”.

nog in de 18e eeuw was het gebruikelijk om negatieve resultaten van vergelijkingen te negeren in de veronderstelling dat ze betekenisloos waren, net zoals René Descartes deed met negatieve oplossingen in een Cartesiaans coördinatenstelsel.,

rationale getallen bewerken

Het is waarschijnlijk dat het concept van fractionele getallen dateert uit de prehistorie. De oude Egyptenaren gebruikten hun Egyptische fractienotatie voor rationale getallen in wiskundige teksten zoals de Rhind Mathematical Papyrus en de Kahun Papyrus. Klassieke Griekse en Indiase wiskundigen deden onderzoek naar de theorie van rationale getallen, als onderdeel van de algemene studie van de getaltheorie. De bekendste hiervan zijn Euclides ‘ elementen, die dateren uit ongeveer 300 v.Chr., Van de Indiase teksten is de meest relevante de sthananga Sutra, die ook de getaltheorie behandelt als onderdeel van een algemene studie van de wiskunde.

het begrip decimale breuken is nauw verbonden met decimale plaats-waarde notatie; de twee lijken zich in tandem te hebben ontwikkeld. Het is bijvoorbeeld gebruikelijk dat de Jain math sutra berekeningen van decimale-fractie benaderingen van pi of de vierkantswortel van 2 omvat. Ook Babylonische wiskundige teksten gebruikten sexagesimale (basis 60) fracties met grote frequentie.,

irrationele getallen bewerken

het vroegst bekende gebruik van irrationele getallen was in de Indiase Sulba Sutras samengesteld tussen 800 en 500 v.Chr. De eerste bewijzen van het bestaan van irrationele getallen worden meestal toegeschreven aan Pythagoras, meer bepaald aan de Pythagoras Hippasus van Metapontum, die een (hoogstwaarschijnlijk geometrisch) bewijs van de irrationaliteit van de vierkantswortel van 2 produceerde. Het verhaal gaat dat Hippasus irrationele getallen ontdekte toen hij probeerde de vierkantswortel van 2 als een breuk voor te stellen., Pythagoras geloofde echter in de absoluutheid van getallen en kon het bestaan van irrationele getallen niet accepteren. Hij kon hun bestaan niet door logica weerleggen, maar hij kon irrationele getallen niet accepteren, en zo veroordeelde hij, naar verluidt en vaak gemeld, Hippasus tot de dood door verdrinking, om de verspreiding van dit verontrustende nieuws te verhinderen.

de 16e eeuw bracht definitieve Europese acceptatie van negatieve integraal en fractionele getallen. In de 17e eeuw gebruikten wiskundigen over het algemeen decimale breuken met moderne notatie., Het was echter pas in de 19e eeuw dat wiskundigen irrationalen scheidden in algebraïsche en transcendentale delen, en opnieuw de wetenschappelijke studie van irrationalen ondernam. Het was bijna slapend gebleven sinds Euclides. In 1872 werd de publicatie van de theorieën van Karl Weierstrass (door zijn leerling E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor en Richard Dedekind tot stand gebracht. In 1869 had Charles Méray hetzelfde uitgangspunt genomen als Heine, maar de theorie wordt over het algemeen verwezen naar het jaar 1872., Weierstrass ‘methode werd volledig uiteengezet door Salvatore Pincherle (1880), en Dedekind’ s heeft extra bekendheid gekregen door het latere werk van de auteur (1888) en goedkeuring door Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor en Heine baseren hun theorieën op oneindige reeksen, terwijl Dedekind zijn theorie baseert op het idee van een snede (Schnitt) in het systeem van reële getallen, waarbij alle rationele getallen worden gescheiden in twee groepen met bepaalde karakteristieke eigenschappen. Het onderwerp heeft later bijdragen ontvangen van Weierstrass, Kronecker en Méray.,de zoektocht naar wortels van quintische en hogere graadvergelijkingen was een belangrijke ontwikkeling, de stelling van Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) toonde aan dat ze niet konden worden opgelost door radicalen (formules die alleen rekenkundige operaties en wortels omvatten). Daarom was het noodzakelijk om de bredere verzameling van algebraïsche getallen (alle oplossingen voor veeltermvergelijkingen) te overwegen. Galois (1832) koppelde veeltermvergelijkingen aan de groepentheorie, wat leidde tot het veld van de Galoistheorie.,

Vervolgfracties, nauw verwant aan irrationele getallen (en door Cataldi, 1613), kregen de aandacht van Euler en werden bij de opening van de 19e eeuw op de voorgrond geplaatst door de geschriften van Joseph Louis Lagrange. Andere opmerkelijke bijdragen zijn gedaan door Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) en Günther (1872). Ramus verbond het onderwerp eerst met determinanten, resulterend, met de latere bijdragen van Heine, Möbius en Günther, in de theorie van Kettenbruchdeterminanten.,

transcendentale getallen en realen bewerken

het bestaan van transcendentale getallen werd voor het eerst vastgesteld door Liouville (1844, 1851). Hermite bewees in 1873 dat e transcendentaal is en Lindemann bewees in 1882 dat π transcendentaal is. Ten slotte toonde Cantor aan dat de verzameling van alle reële getallen ontelbaar oneindig is, maar dat de verzameling van alle algebraïsche getallen aftelbaar oneindig is, dus is er een ontelbaar oneindig aantal transcendentale getallen.,

Infinity and infinitesimals Edit

De vroegst bekende conceptie van mathematische oneindigheid verschijnt in de Yajur Veda, een oud Indiaas schrift, dat op een gegeven moment zegt: “Als je een deel uit oneindigheid verwijdert of een deel toevoegt aan oneindigheid, blijft wat overblijft oneindig.”Oneindigheid was een populair onderwerp van filosofische studie onder de Jain wiskundigen rond 400 v.Chr. Zij maakten een onderscheid tussen vijf typen oneindigheid: oneindig in één en twee richtingen, oneindig in gebied, oneindig overal en oneindig eeuwig.,

Aristoteles definieerde de traditionele westerse notie van wiskundige oneindigheid. Hij maakte een onderscheid tussen werkelijke oneindigheid en potentiële oneindigheid—de algemene consensus was dat alleen de laatste ware waarde had. Galileo Galilei ‘ s twee nieuwe wetenschappen bespraken het idee van één-op-één correspondenties tussen oneindige verzamelingen. Maar de volgende grote vooruitgang in de theorie werd gemaakt door Georg Cantor; in 1895 publiceerde hij een boek over zijn nieuwe verzamelingenleer, waarin hij onder andere transfiniete getallen introduceerde en de continuümhypothese formuleerde.,

in de jaren zestig toonde Abraham Robinson aan hoe oneindig grote en infinitesimale getallen rigoureus kunnen worden gedefinieerd en gebruikt om het veld van niet-standaardanalyse te ontwikkelen. Het systeem van hyperreale getallen vertegenwoordigt een rigoureuze methode voor de behandeling van de ideeën over oneindige en infinitesimale getallen die terloops gebruikt werden door wiskundigen, wetenschappers en ingenieurs sinds de uitvinding van de infinitesimale calculus door Newton en Leibniz.,

een moderne geometrische versie van oneindigheid wordt gegeven door projectieve meetkunde, die “ideale punten op oneindigheid” introduceert, één voor elke ruimtelijke richting. Elke familie van parallelle lijnen in een bepaalde richting wordt gepostuleerd om samen te komen tot het overeenkomstige ideale punt. Dit hangt nauw samen met het idee van verdwijnpunten in perspectieftekeningen.,

complexe getallen bewerken

De vroegste vluchtige verwijzing naar vierkantswortels van negatieve getallen vond plaats in het werk van de wiskundige en uitvinder Heron van Alexandrië in de 1e eeuw na Christus, toen hij het volume van een onmogelijk frustum van een piramide beschouwde. Ze werden prominenter toen in de 16e eeuw gesloten formules voor de wortels van derde en vierde graad veeltermen werden ontdekt door Italiaanse wiskundigen zoals Niccolò Fontana Tartaglia en Gerolamo Cardano., Al snel realiseerde men zich dat deze formules, ook al was men alleen geïnteresseerd in echte oplossingen, soms de manipulatie van kwadraatwortels van negatieve getallen vereisen.

Dit was dubbel verontrustend, omdat zij zelfs geen rekening hielden met negatieve getallen op dat moment. Toen René Descartes in 1637 de term “imaginair” voor deze grootheden bedacht, bedoelde hij het als minachtend. (Zie imaginair getal voor een bespreking van de “realiteit” van complexe getallen.,) Een andere bron van verwarring is dat de vergelijking

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

leek wispelturig in strijd met de algebraïsche identiteit

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

die is geldig voor positieve getallen a en b, en werd ook gebruikt in berekeningen met complexe getallen met een a -, b-positief en de andere negatief., Het onjuiste gebruik van deze identiteit, en de verwante identiteit

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1} {\sqrt {a}}} = {\sqrt {\frac {1}{a}}}}

in het geval dat zowel A als b negatief zijn, zelfs bedeviled Euler. Deze moeilijkheid leidde hem uiteindelijk tot de conventie van het gebruik van het speciale symbool i in plaats van − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} om deze fout te voorkomen.in de 18e eeuw werd het werk van Abraham de Moivre en Leonhard Euler gezien., De Moivre ’s formule (1730) staten:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos\n \ theta +i\sin\n \ theta }

terwijl Euler’ s formule van complexe analyse (1748) gaf ons:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \ cos \ theta +i \ sin \ theta = e^{i\theta }.}

het bestaan van complexe getallen werd niet volledig geaccepteerd totdat Caspar Wessel de geometrische interpretatie beschreef in 1799., Carl Friedrich Gauss herontdekte en populariseerde het enkele jaren later, en als gevolg daarvan kreeg de theorie van complexe getallen een opmerkelijke expansie. Het idee van de grafische weergave van complexe getallen was echter al in 1685 verschenen in Wallis ‘ De algebra tractatus.

ook in 1799 leverde Gauss het eerste algemeen aanvaarde bewijs van de fundamentele stelling van de algebra, waaruit blijkt dat elke veelterm over de complexe getallen een volledige verzameling van oplossingen in dat rijk heeft., De algemene acceptatie van de theorie van de complexe getallen is te danken aan het werk van Augustin Louis Cauchy en Niels Henrik Abel, en in het bijzonder deze laatste, die als eerste vrijmoedig complexe getallen gebruikte met een succes dat bekend is.

Gauss bestudeerde complexe getallen van de vorm a + bi, waar a en b integraal of rationeel zijn (en i is een van de twee wortels van x2 + 1 = 0). Zijn leerling Gotthold Eisenstein bestudeerde het type a + bw, waarbij ω een complexe wortel is van x3-1 = 0., Andere dergelijke klassen (zogenaamde cyclotomische velden) van complexe getallen komen voort uit de wortels van eenheid xk − 1 = 0 voor hogere waarden van k. deze generalisatie is grotendeels te danken aan Ernst Kummer, die ook ideale getallen uitvond, die in 1893 door Felix Klein als meetkundige entiteiten werden uitgedrukt.in 1850 nam Victor Alexandre Puiseux de belangrijkste stap om een onderscheid te maken tussen Polen en takpunten, en introduceerde het concept van essentiële enkelvoudpunten. Dit leidde uiteindelijk tot het concept van het uitgebreide complexe vlak.,

priemgetallen bewerken

priemgetallen zijn door de gehele geregistreerde geschiedenis bestudeerd. Euclides wijdde een boek van de elementen aan de theorie van de priemgetallen; daarin bewees hij de oneindigheid van de priemgetallen en de fundamentele stelling van de rekenkunde, en presenteerde het Euclidische algoritme voor het vinden van de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen.

In 240 v.Chr. gebruikte Eratosthenes de zeef van Eratosthenes om snel priemgetallen te isoleren. Maar de meeste verdere ontwikkeling van de priementheorie in Europa dateert uit de Renaissance en latere tijdperken.,in 1796 vermoedde Adrien-Marie Legendre de priemgetalstelling en beschreef hij de asymptotische verdeling van priemgetallen. Andere resultaten met betrekking tot de verdeling van de priemgetallen zijn het bewijs van Euler dat de som van de reciproken van de priemgetallen uiteenloopt, en het vermoeden van Goldbach, dat beweert dat elk voldoende groot even getal de som van twee priemgetallen is. Nog een ander vermoeden met betrekking tot de verdeling van priemgetallen is de Riemann-hypothese, geformuleerd door Bernhard Riemann in 1859., De priemgetalstelling werd uiteindelijk bewezen door Jacques Hadamard en Charles De La Vallée-Poussin in 1896. Goldbach en Riemann ‘ s vermoedens blijven onbewezen en onbeantwoord.