deelbaarheid met 2
neem eerst een willekeurig getal (voor dit voorbeeld is het 376) en noteer het laatste cijfer in het getal, waarbij de andere cijfers worden weggelaten. Neem dan dat cijfer (6) terwijl je de rest van het getal negeert en bepaal of het deelbaar is door 2. Als het deelbaar is door 2, dan is het oorspronkelijke nummer deelbaar door 2.,
voorbeeld
- 376 (het oorspronkelijke nummer)
- 37 6 (Neem het laatste cijfer)
- 6 ÷ 2 = 3 (Controleer of het laatste cijfer deelbaar is door 2)
- 376 ÷ 2 = 188 (als het laatste cijfer deelbaar is door 2, dan is het hele getal deelbaar door 2)
deelbaarheid door 3 of 9
neem eerst een willekeurig getal (voor dit voorbeeld is het 492) en tel elk cijfer bij elkaar op in het getal (4 + 9 + 2 = 15). Neem dan die som (15) en bepaal of het deelbaar is door 3. Het oorspronkelijke nummer is deelbaar door 3 (of 9) als en alleen als de som van de cijfers deelbaar is door 3 (of 9).,
het optellen van de cijfers van een getal omhoog, en dan het proces herhalen met het resultaat totdat er slechts één cijfer overblijft, geeft de rest van het oorspronkelijke getal als het door negen gedeeld werd (tenzij dat enkele cijfer zelf negen is, in welk geval het getal deelbaar is door negen en de rest nul is).,
dit kan worden veralgemeend naar elk standaard positioneel systeem, waarbij de deler in kwestie dan één minder wordt dan de radix; dus, in basis-twaalf, zullen de cijfers optellen tot de rest van het oorspronkelijke getal als gedeeld door elf, en getallen zijn alleen deelbaar door elf als de som van het cijfer deelbaar is door elf.
als een getal een vermenigvuldiging is van 3 identieke opeenvolgende cijfers in een willekeurige volgorde, dan is dat getal altijd deelbaar door 3. Dit is handig voor wanneer het getal de vorm aanneemt van (n × (n − 1) × (n + 1))
voorbeeld.,
- 492 (het oorspronkelijke nummer)
- 4 + 9 + 2 = 15 (Tel elk individueel cijfer samen)
- 15 is deelbaar door 3 op welk punt we kunnen stoppen. Als alternatief kunnen we dezelfde methode blijven gebruiken als het getal nog te groot is:
- 1 + 5 = 6 (Tel elk individueel cijfer bij elkaar op)
- 6 ÷ 3 = 2 (Controleer of het ontvangen getal deelbaar is door 3)
- 492 ÷ 3 = 164 (als het getal verkregen met behulp van de regel deelbaar is door 3, dan is het hele getal deelbaar door 3)
voorbeeld.,
- 336 (het oorspronkelijke nummer)
- 6 × 7 × 8 = 336
- 336 ÷ 3 = 112
deelbaarheid met 4
De basisregel voor deelbaarheid met 4 is dat als het getal gevormd door de laatste twee cijfers in een getal deelbaar is door 4, het oorspronkelijke getal deelbaar is door 4; Dit komt omdat 100 deelbaar is door 4 en dus honderden, duizenden, enz. is gewoon een ander getal toevoegen dat deelbaar is door 4. Als een getal eindigt op een tweecijferig getal waarvan je weet dat het deelbaar is door 4 (bijvoorbeeld 24, 04, 08, enz.,), dan zal het hele getal deelbaar zijn door 4, ongeacht wat er voor de laatste twee cijfers staat.
als alternatief kan men het getal gewoon delen door 2, en dan het resultaat controleren om te zien of het deelbaar is door 2. Als dat zo is, is het oorspronkelijke nummer deelbaar door 4. Bovendien is het resultaat van deze test hetzelfde als het oorspronkelijke nummer gedeeld door 4.
voorbeeld.,deelbaar door 4)
alternatief voorbeeld
- 1720 ÷ 2 = 860 (deel het oorspronkelijke getal door 2)
- 860 ÷ 2 = 430 (Controleer of het resultaat deelbaar is door 2)
- 1720 ÷ 4 = 430 (als het resultaat deelbaar is door 2, dan is het oorspronkelijke getal deelbaar door 4)
deelbaarheid door 5
deelbaarheid door 5 wordt eenvoudig bepaald door het laatste cijfer in het getal (475) te controleren en te kijken of het 0 of 5 is., Als het laatste getal 0 of 5 is, is het gehele getal deelbaar door 5.
als het laatste cijfer in het getal 0 is, dan is het resultaat de resterende cijfers vermenigvuldigd met 2. Bijvoorbeeld, het getal 40 eindigt op een nul (0), dus neem de resterende cijfers (4) en vermenigvuldig dat met twee (4 × 2 = 8). Het resultaat is hetzelfde als het resultaat van 40 gedeeld door 5(40/5 = 8).
voorbeeld.,uiteindelijke getal gedeeld door 5)
Als het laatste cijfer is 5
- 85, lid van Het oorspronkelijke aantal)
- 8 5 (Neem het laatste cijfer van het nummer en kijk of hij is op 0 of 5)
- 8 5 (Als het 5, overige cijfers, waarbij de laatste)
- 8 × 2 = 16 (Vermenigvuldig de uitkomst met 2)
- 16 + 1 = 17 (1 Toevoegen aan het resultaat)
- 85 ÷ 5 = 17 (Het resultaat is hetzelfde als het oorspronkelijke getal gedeeld door 5)
Deelbaarheid door 6
Deelbaarheid door 6 is bepaald door het controleren van het originele nummer te zien als een even aantal (deelbaar door 2) en deelbaar is door 3., Dit is de beste test om te gebruiken.
als het getal deelbaar is door zes, neem dan het oorspronkelijke getal (246) en deel het door twee (246 ÷ 2 = 123). Neem dan dat resultaat en deel het door drie (123 ÷ 3 = 41). Dit resultaat is hetzelfde als het oorspronkelijke nummer gedeeld door zes (246 ÷ 6 = 41).
voorbeeld.,
algemene regel
- 324 (het oorspronkelijke getal)
- 324 ÷ 3 = 108 (Controleer of het oorspronkelijke getal deelbaar is door 3)
- 324 ÷ 2 = 162 of 108 ÷ 2 = 54 (Controleer of het oorspronkelijke getal of het resultaat van de vorige vergelijking deelbaar is door 2)
- 324 ÷ 6 = 54 (als een van de tests in de laatste stap waar is, dan is het oorspronkelijke getal deelbaar door 6., Ook geeft het resultaat van de tweede test hetzelfde resultaat als het oorspronkelijke getal gedeeld door 6)
het vinden van een rest van een getal wanneer gedeeld door 6 (1, -2, -2, -2, -2, en -2 gaat verder) geen periode. — Minimale magnitude sequentie (1, 4, 4, 4, 4, en 4 gaat verder) – positieve reeks vermenigvuldig het rechter meest cijfer met het linker meest cijfer in de reeks en vermenigvuldig het tweede rechter meest cijfer met het tweede linker meest cijfer in de reeks en ga zo maar door. Vervolgens berekent u de som van alle waarden en neemt u de rest op deling door 6.,
voorbeeld: Wat is de rest als 1036125837 gedeeld wordt door 6?
Vermenigvuldiging van het meest rechtse cijfer = 1 × 7 = 7 Vermenigvuldiging van de tweede meest rechtse cijfer = 3 × -2 = -6 Derde meest rechtse cijfer = -16 Vierde meest rechtse cijfer = -10 Vijfde meest rechtse cijfer = -4 Zesde meest rechtse cijfer = -2 Zevende meest rechtse cijfer = -12 Achtste meest rechtse cijfer = -6 Negende meest rechtse cijfer = 0 Tiende meest rechtse cijfer = -2 Som = -51 -51 ≡ 3 (mod 6) Rest = 3
Deelbaarheid door 7
Deelbaarheid door 7 kunnen worden getest door een recursieve methode., Een getal van de vorm 10x + y is deelbaar door 7 Dan en alleen als x-2y deelbaar is door 7. Met andere woorden, Trek tweemaal het laatste cijfer af van het getal gevormd door de resterende cijfers. Ga hiermee door totdat een getal wordt verkregen waarvan bekend is of het deelbaar is door 7. Het oorspronkelijke nummer is deelbaar door 7 als en alleen als het nummer verkregen met behulp van deze procedure deelbaar is door 7. Bijvoorbeeld, het nummer 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; dus, aangezien -7 deelbaar is door 7, is 371 deelbaar door 7.,
evenzo is een getal van de vorm 10x + y deelbaar door 7 Dan en alleen dan als x + 5y deelbaar is door 7. Dus voeg vijf keer het laatste cijfer toe aan het getal dat gevormd wordt door de resterende cijfers, en blijf dit doen totdat een getal wordt verkregen waarvan bekend is of het deelbaar is door 7.
een andere methode is vermenigvuldiging met 3. Een getal van de vorm 10x + y heeft dezelfde rest wanneer gedeeld door 7 als 3x + y., Men moet het meest linkse cijfer van het oorspronkelijke getal vermenigvuldigen met 3, het volgende cijfer toevoegen, de rest nemen wanneer gedeeld door 7, en verder gaan vanaf het begin: vermenigvuldigen met 3, het volgende cijfer toevoegen, enz. Bijvoorbeeld, het nummer 371: 3×3 + 7 = 16 rest 2, en 2×3 + 1 = 7. Deze methode kan worden gebruikt om de rest van deling door 7 te vinden.
deze methode kan worden vereenvoudigd door de noodzaak om te vermenigvuldigen te verwijderen. Het enige wat nodig is met deze vereenvoudiging is het onthouden van de bovenstaande volgorde (132645…), en optellen en aftrekken, maar altijd werken met getallen van één cijfer.,
de vereenvoudiging gaat als volgt:
- Neem bijvoorbeeld het nummer 371
- verander alle voorvallen van 7, 8 of 9 in respectievelijk 0, 1 en 2. In dit voorbeeld krijgen we: 301. Deze tweede stap kan worden overgeslagen, behalve voor de linker meest cijfer, maar na het kan berekeningen later vergemakkelijken.
- converteer nu het eerste cijfer (3) in het volgende cijfer in de reeks 13264513… In ons voorbeeld wordt 3 2.,
- voeg het resultaat in de vorige stap (2) toe aan het tweede cijfer van het getal en vervang het resultaat voor beide cijfers, waarbij alle resterende cijfers ongewijzigd blijven: 2 + 0 = 2. Dus 301 wordt 21.
- herhaal de procedure totdat u een herkenbaar veelvoud van 7 heeft, of om er zeker van te zijn, een getal tussen 0 en 6. Dus, beginnend bij 21 (dat is een herkenbaar veelvoud van 7), Neem het eerste cijfer (2) en zet het om in de volgende volgorde hierboven: 2 wordt 6. Voeg dit dan toe aan het tweede cijfer: 6 + 1 = 7.,
- als op enig punt het eerste cijfer 8 of 9 is, worden deze respectievelijk 1 of 2. Maar als het een 7 is, moet het 0 worden, alleen als er geen andere cijfers volgen. Anders moet het gewoon worden geschrapt. Dit komt omdat Die 7 0 zou zijn geworden, en getallen met ten minste twee cijfers voor de decimale punt beginnen niet met 0, wat nutteloos is. Volgens dit wordt onze 7 0.
Als u via deze procedure een 0 of een herkenbaar veelvoud van 7 verkrijgt, dan is het oorspronkelijke getal een veelvoud van 7., Als u een getal van 1 tot 6 verkrijgt, geeft dat aan hoeveel u van het oorspronkelijke getal moet aftrekken om een veelvoud van 7 te krijgen. Met andere woorden, u vindt de rest van het delen van het getal door 7. Neem bijvoorbeeld eerst het getal 186:
- , verander de 8 in een 1: 116.
- verander nu 1 in het volgende cijfer in de reeks (3), voeg het toe aan het tweede cijfer en schrijf het resultaat in plaats van beide: 3 + 1 = 4. Dus 116 wordt nu 46.
- herhaal de procedure, aangezien het aantal groter is dan 7. Nu, 4 wordt 5, die moet worden toegevoegd aan 6. Dat is 11.,
- herhaal de procedure nog een keer: 1 wordt 3, die wordt toegevoegd aan het tweede cijfer (1): 3 + 1 = 4.
nu hebben we een getal lager dan 7, en dit getal (4) is de rest van het delen van 186/7. Dus 186 min 4, dat is 182, moet een veelvoud van 7 zijn.
Opmerking: De reden waarom dit werkt is dat als we hebben: a + b = c en b is een veelvoud van een gegeven getal n, Dan a en c zal noodzakelijkerwijs dezelfde rest produceren wanneer gedeeld door n. met andere woorden, in 2 + 7 = 9, 7 is deelbaar door 7. Dus 2 en 9 moeten dezelfde herinnering hebben als gedeeld door 7. De rest is 2.,
daarom, als een getal n een veelvoud van 7 is (d.w.z.: de rest van n/7 is 0), dan kan het optellen (of aftrekken) van veelvouden van 7 die eigenschap niet veranderen.
wat deze procedure doet, zoals hierboven uitgelegd voor de meeste deelbaarheidsregels, is gewoon beetje bij beetje veelvouden van 7 aftrekken van het oorspronkelijke getal totdat we een getal bereiken dat klein genoeg is om te onthouden of het een veelvoud van 7 is. Als 1 een 3 wordt in de volgende decimale positie, is dat hetzelfde als het omzetten van 10×10n in een 3×10n., En dat is eigenlijk hetzelfde als het aftrekken van 7×10n (duidelijk een veelvoud van 7) van 10×10n.
Op dezelfde manier, als je een 3 in een 2 verandert in de volgende decimale positie, verander je 30×10n in 2×10n, wat hetzelfde is als het aftrekken van 30×10n−28×10n, en dit is weer aftrekken van een veelvoud van 7. Dezelfde reden geldt voor alle overige omzettingen:
- 20×10n-6×10n = 14×10n
- 60×10n-4×10n = 56×10n
- 40×10n-5×10n = 35×10n
- 50×10n-1×10n = 49×10n
eerste methode voorbeeld
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. Antwoord: 1050 is deelbaar door 7.,
tweede methode voorbeeld
1050 → 0501 (omgekeerd) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (vermenigvuldigen en optellen). Antwoord: 1050 is deelbaar door 7.
Vedische methode van deelbaarheid door osculatie
deelbaarheid door zeven kan worden getest door vermenigvuldiging met de Ekhādika. Zet de deler zeven om in de negenenfamilie door te vermenigvuldigen met zeven. 7×7=49. Voeg er een toe, laat het cijfer van de eenheden vallen en neem de 5, De Ekhādika, als de multiplier. Begin rechts. Vermenigvuldig met 5, Voeg het product toe aan het volgende cijfer aan de linkerkant. Zet dat resultaat op een lijn onder dat cijfer., Herhaal die methode van het vermenigvuldigen van de eenheden cijfer met vijf en het toevoegen van dat product aan het aantal tientallen. Voeg het resultaat toe aan het volgende cijfer aan de linkerkant. Noteer dat resultaat onder het cijfer. Ga door tot het einde. Als het eindresultaat nul is of een veelvoud van zeven, dan ja, het getal is deelbaar door zeven. Anders is het dat niet. Dit volgt het Vedische ideaal, één-lijn notatie.,
Vedische methode voorbeeld:
Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES
Pohlman–Mass methode van deelbaarheid met 7
De Pohlman–Mass methode biedt een snelle oplossing die kan bepalen of de meeste gehele getallen deelbaar zijn door zeven in drie stappen of minder. Deze methode kan nuttig zijn in een wiskundige competitie zoals MATHCOUNTS, waar tijd een factor is om de oplossing te bepalen zonder rekenmachine in de Sprint ronde.
stap A: als het gehele getal 1.000 of minder is, trek dan tweemaal het laatste cijfer af van het getal dat door de resterende cijfers wordt gevormd., Als het resultaat een veelvoud van zeven is, dan is dat ook het oorspronkelijke getal (en vice versa). Bijvoorbeeld:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO
omdat 1,001 deelbaar is door zeven, ontwikkelt zich een interessant patroon voor het herhalen van sets van 1, 2 of 3 cijfers die 6-cijferige getallen vormen (voorloopnullen zijn toegestaan) in die zin dat al deze getallen deelbaar zijn door zeven. Bijvoorbeeld:
001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
voor alle bovenstaande voorbeelden wordt een veelvoud van zeven verkregen door de eerste drie cijfers van de laatste drie cijfers af te trekken., Merk op dat voorloopnullen een 6-cijferig patroon mogen vormen.
dit fenomeen vormt de basis voor de stappen B en C.
stap B:als het gehele getal tussen 1,001 en een miljoen ligt, zoek dan een herhalend patroon van 1, 2 of 3 cijfers dat een 6-cijferig getal vormt dat dicht bij het gehele getal ligt (voorloopnullen zijn toegestaan en kunnen u helpen het patroon te visualiseren). Als het positieve verschil minder dan 1.000 is, moet stap A worden toegepast.dit kan worden gedaan door de eerste drie cijfers af te trekken van de laatste drie cijfers., Bijvoorbeeld:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES
Het feit dat 999,999 is een veelvoud van 7 kan worden gebruikt voor het bepalen van deelbaarheid van getallen groter dan één miljoen door het verminderen van het getal een 6-cijferig nummer dat kan worden bepaald aan de hand van Stap B. Dit kan eenvoudig worden gedaan door het toevoegen van de cijfers links van de eerste zes en de laatste zes en volg met Stap A.
Stap C:Als het getal groter is dan een miljoen, aftrekken van de dichtstbijzijnde veelvoud van 999,999 en vervolgens het toepassen van Stap B. Voor nog grotere aantallen, gebruik van grotere gehelen, zoals het 12-cijfers (999,999,999,999) en zo verder., Breek vervolgens het gehele getal in een kleiner getal dat opgelost kan worden met stap B. bijvoorbeeld:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES
Dit maakt het mogelijk om afwisselende sets van drie cijfers toe te voegen en af te trekken om de deelbaarheid met zeven te bepalen.,ng voorbeelden:
Pohlman–Massa methode van deelbaarheid door 7, voorbeeld:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES
Vermenigvuldiging met 3 methode van deelbaarheid door 7, voorbeelden:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES
het Vinden restant van een getal gedeeld door 7
Vermenigvuldig het meest rechter cijfer voor de meest linkse cijfer in de reeks en vermenigvuldig de tweede meest rechter cijfer door de tweede meest linkse cijfer in de reeks, en zo verder en zo voor., Vervolgens, bereken de som van alle waarden en neem de modulus van 7.voorbeeld: Wat is de rest als 1036125837 gedeeld wordt door 7?,
Vermenigvuldiging van het meest rechtse cijfer = 1 × 7 = 7
Vermenigvuldiging van de tweede meest rechtse cijfer = 3 × 3 = 9
het Derde meest rechtse cijfer = 8 × 2 = 16
de Vierde meest rechtse cijfer = 5 × -1 = -5
Vijfde meest rechtse cijfer = 2 × -3 = -6
Zesde meest rechtse cijfer = 1 × -2 = -2
de Zevende meest rechtse cijfer = 6 × 1 = 6
Achtste meest rechtse cijfer = 3 × 3 = 9
Negende meest rechtse cijfer = 0
de Tiende meest rechtse cijfer = 1 × -1 = -1
Sum = 33
33 modulus 7 = 5
Rest = 5
Cijfer pair methode van deelbaarheid door 7
Deze methode maakt gebruik van 1, -3, 2 patroon op de cijfers paren., Dat wil zeggen, de deelbaarheid van een getal door zeven kan worden getest door eerst het getal te scheiden in cijferparen, en vervolgens het algoritme toe te passen op drie-cijferparen (zes cijfers). Als het getal kleiner is dan zes cijfers, vul dan nul aan de rechterkant totdat er zes cijfers zijn. Wanneer het aantal groter is dan zes cijfers, herhaal dan de cyclus op de volgende groep met zes cijfers en voeg vervolgens de resultaten toe. Herhaal het algoritme totdat het resultaat een klein getal is. Het oorspronkelijke getal is deelbaar door zeven dan en alleen als het getal verkregen met behulp van dit algoritme deelbaar is door zeven., Deze methode is vooral geschikt voor grote aantallen.
Voorbeeld 1:
het te testen nummer is 157514.Eerst scheiden we het getal in driecijferige paren: 15, 75 en 14.
dan passen we het algoritme toe: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
omdat de resulterende 182 minder dan zes cijfers is, voegen we nul aan de rechterkant toe totdat het zes cijfers is.
dan passen we ons algoritme opnieuw toe: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42et resultaat -42 is deelbaar door zeven, dus het originele nummer 157514 is deelbaar door zeven.
Voorbeeld 2:
het te testen nummer is 15751537186.,
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77et resultaat -77 is deelbaar door zeven, dus het originele nummer 15751537186 is deelbaar door zeven.
een ander cijferpaar methode van deelbaarheid door 7
methode
Dit is een niet-recursieve methode om de rest van een getal te vinden bij het delen door 7:
- scheid het getal in cijferparen vanaf de plaats van de enen. Vervang het nummer met 0 om het laatste paar te voltooien indien nodig.
- Bereken de restanten van elk cijferpaar bij het delen door 7.,
- vermenigvuldig de restanten met de juiste vermenigvuldigingsfactor uit de reeks 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : de rest van het cijferpaar bestaande uit enen plaats en tienen plaats moet worden vermenigvuldigd met 1, honderden en duizenden met 2, tienduizenden en honderd duizenden met 4, miljoen en tien miljoen opnieuw met 1 en ga zo maar door.
- Bereken de restanten van elk product bij het delen door 7.
- voeg deze restanten toe.
- het restant van de som wanneer gedeeld door 7 is het restant van het gegeven getal wanneer gedeeld door 7.,
bijvoorbeeld:
het getal 194.536 laat een rest van 6 na te delen door 7.
het getal 510,517,813 laat een rest van 1 na te delen door 7.
bewijs van juistheid van de methode
de methode is gebaseerd op de constatering dat 100 een rest van 2 overlaat wanneer gedeeld door 7. En omdat we het getal opsplitsen in cijferparen hebben we in wezen krachten van 100.,
1 mod 7 = 1
100 mod 7 = 2
10,000 mod 7 = 2^2 = 4
1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1
10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2
1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4
enzovoort.
de juistheid van de methode wordt dan vastgesteld door de volgende reeks gelijkenissen:
zij N het gegeven getal a 2 N a 2 n − 1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}} .
a 2 N a 2 n-1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}
= mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( 2 k-2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \som _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\maal 10^{2k-2}){\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( 2 k-2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \som _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}
Deelbaarheid door 13
Vermenigvuldig de meest rechtse cijfer van het nummer met de meest linkse getal in de bovenstaande volgorde en de tweede meest rechtse cijfer van het tweede meest linkse cijfer van het getal in de reeks., De cyclus gaat door.
voorbeeld: Wat is de rest als 321 wordt gedeeld door 13?
Met behulp van de eerste reeks,
Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
Rest = -17 mod 13 = 9