Astronomy

leerdoelen

aan het einde van deze sectie kunt u:

• beschrijven hoe Tycho Brahe en Johannes Kepler hebben bijgedragen aan ons begrip van hoe planeten rond de zon bewegen
• leg Kepler ‘ s drie wetten van planetaire beweging

figuur 1: Tycho Brahe (1546-1601) en Johannes Kepler (1571-1630)., (a) een gestileerde gravure toont Tycho Brahe met zijn instrumenten om de hoogte van hemellichamen boven de horizon te meten. Met het grote gebogen instrument op de voorgrond kon hij precieze hoeken aan de hemel meten. Merk op dat de scène hints bevat van de grandeur van Brahe ‘ s observatorium in Hven. (b) Kepler was een Duitse wiskundige en astronoom. Zijn ontdekking van de fundamentele wetten die de planetaire beweging beschrijven plaatste de heliocentrische kosmologie van Copernicus op een stevige wiskundige basis.,in Hven maakte Brahe een continu verslag van de posities van de Zon, Maan en planeten gedurende bijna 20 jaar. Zijn uitgebreide en nauwkeurige waarnemingen stelden hem in staat om op te merken dat de posities van de planeten verschilden van die in gepubliceerde tabellen, die gebaseerd waren op het werk van Ptolemaeus. Deze gegevens waren zeer waardevol, maar Brahe had niet de mogelijkheid om ze te analyseren en een beter model te ontwikkelen dan wat Ptolemaeus had gepubliceerd. Hij werd verder geremd omdat hij een extravagante en chagrijnige kerel was, en hij verzamelde vijanden onder regeringsfunctionarissen., Toen zijn beschermheer Frederik II in 1597 overleed, verloor Brahe zijn politieke basis en besloot Denemarken te verlaten. Hij vestigde zich in Praag, waar hij hofastronoom werd van keizer Rudolf van Bohemen. Daar, in het jaar voor zijn dood, vond Brahe een zeer bekwame jonge wiskundige, Johannes Kepler, om hem te helpen bij het analyseren van zijn uitgebreide planetaire gegevens.Johannes Kepler werd geboren in een arm gezin in de Duitse provincie Württemberg en leefde een groot deel van zijn leven te midden van de onrust van de Dertigjarige Oorlog (zie Figuur 1)., Hij studeerde aan de Universiteit van Tubingen en studeerde voor een theologische carrière. Daar leerde hij de principes van het copernicaanse systeem en werd hij bekeerd tot de heliocentrische hypothese. Uiteindelijk ging Kepler naar Praag om te dienen als assistent van Brahe, die hem aan het werk zette om een bevredigende theorie van planetaire beweging te vinden—een die compatibel was met de lange reeks observaties die in Hven werden gemaakt., Brahe was terughoudend om Kepler te voorzien van veel materiaal op een bepaald moment uit angst dat Kepler de geheimen van de universele beweging zou ontdekken door hemzelf, waardoor Brahe beroofd van een deel van de glorie. Pas na Brahe ‘ s dood in 1601 kreeg Kepler het volledige bezit van de onbetaalbare gegevens. Hun studie duurde het grootste deel van Kepler ‘ s tijd voor meer dan 20 jaar.door zijn analyse van de bewegingen van de planeten ontwikkelde Kepler een reeks principes, nu bekend als de drie wetten van Kepler, die het gedrag van planeten beschreven op basis van hun paden door de ruimte., De eerste twee wetten van planetaire beweging werden gepubliceerd in 1609 in de nieuwe Astronomie. Hun ontdekking was een grote stap in de ontwikkeling van de moderne wetenschap.

de eerste twee wetten van de planetaire beweging

het pad van een object door de ruimte wordt zijn baan genoemd., Kepler nam aanvankelijk aan dat de banen van planeten cirkels waren, maar hierdoor kon hij geen banen vinden die consistent waren met Brahe ‘ s waarnemingen. Met behulp van de gegevens voor Mars ontdekte hij uiteindelijk dat de baan van die planeet de vorm had van een enigszins afgeplatte cirkel, of ellips. Naast de cirkel is de ellips de eenvoudigste soort gesloten kromme, behorend tot een familie van krommen bekend als kegelsneden (Figuur 2).

u herinnert zich misschien uit wiskundeklassen dat in een cirkel het midden een speciaal punt is., De afstand van het centrum tot waar dan ook op de cirkel is precies hetzelfde. In een ellips is de som van de afstand van twee speciale punten binnen de ellips tot elk punt op de ellips altijd hetzelfde. Deze twee punten in de ellips worden zijn foci (enkelvoud: focus) genoemd, een woord dat Voor dit doel is uitgevonden door Kepler.

Deze eigenschap suggereert een eenvoudige manier om een ellips te tekenen (Figuur 3). We wikkelen de uiteinden van een lus van touw rond twee spijkers geduwd door een vel papier in een tekentafel, zodat de snaar slap is., Als we een potlood tegen de snaar duwen, de snaar strak maken, en dan het potlood tegen de snaar schuiven rondom de spijkers, is de kromme die resulteert een ellips. Op elk punt waar het potlood kan zijn, is de som van de afstanden van het potlood tot de twee spijkers een constante lengte—de lengte van de snaar. De spijkers zijn op de twee punten van de ellips.

de grootste diameter van de ellips wordt de hoofdas genoemd. De helft van deze afstand—dat wil zeggen de afstand van het midden van de ellips tot het ene uiteinde—is de halve lange as, die meestal wordt gebruikt om de grootte van de ellips te specificeren., Bijvoorbeeld, de halve grote as van de baan van Mars, die ook de gemiddelde afstand van de planeet tot de zon is, is 228 miljoen kilometer.

de vorm (rondheid) van een ellips hangt af van hoe dicht de twee punten bij elkaar liggen, vergeleken met de hoofdas. De verhouding tussen de afstand tussen de foci en de lengte van de hoofdas wordt de excentriciteit van de ellips genoemd.,

als de foci (of spijkers) naar dezelfde locatie worden verplaatst, dan is de afstand tussen de foci nul. Dit betekent dat de excentriciteit nul is en de ellips slechts een cirkel is; zo kan een cirkel een ellips van nul excentriciteit worden genoemd. In een cirkel zou de halve grote as de straal zijn.

vervolgens kunnen we ellipsen maken van verschillende elongaties (of verlengde lengtes) door de spatiëring van de spijkers te variëren (zolang ze niet verder uit elkaar liggen dan de lengte van de tekenreeks). Hoe groter de excentriciteit, hoe langer de ellips is, tot een maximale excentriciteit van 1.,0, wanneer de ellips “plat” wordt, het andere uiterste van een cirkel.

De grootte en vorm van een ellips worden volledig gespecificeerd door zijn halve grote as en zijn excentriciteit. Met behulp van Brahe ‘ s gegevens ontdekte Kepler dat Mars een elliptische baan heeft, met de zon op één focus (de andere focus is leeg). De excentriciteit van de baan van Mars is slechts ongeveer 0,1; zijn baan, getekend op schaal, zou praktisch niet te onderscheiden zijn van een cirkel, maar het verschil bleek van cruciaal belang te zijn voor het begrijpen van planetaire bewegingen.,

Kepler veralgemeende dit resultaat in zijn eerste wet en zei dat de banen van alle planeten ellipsen zijn. Hier was een beslissend moment in de geschiedenis van het menselijk denken: Het was niet nodig om alleen cirkels te hebben om een aanvaardbare kosmos te hebben. Het universum kon een beetje complexer zijn dan de Griekse filosofen hadden gewild.

Kepler ‘ s tweede wet heeft betrekking op de snelheid waarmee elke planeet langs zijn ellips beweegt, ook bekend als zijn baansnelheid., Samen met Brahe ‘ s observaties van Mars ontdekte Kepler dat de planeet versnelt als hij dichter bij de zon komt en vertraagt als hij zich van de zon verwijdert. Hij drukte de precieze vorm van deze relatie uit door zich voor te stellen dat de zon en Mars verbonden zijn door een rechte, elastische lijn. Wanneer Mars dichter bij de zon staat (posities 1 en 2 in Figuur 4), wordt de elastische lijn minder gespannen en beweegt de planeet snel. Verder van de zon, zoals in posities 3 en 4, is de lijn veel uitgerekt, en de planeet beweegt niet zo snel., Als Mars in zijn elliptische baan rond de zon reist, veegt de elastische lijn gebieden van de ellips uit als het beweegt (de gekleurde gebieden in onze figuur). Kepler vond dat in gelijke tijdsintervallen (t), de gebieden die door deze denkbeeldige lijn in de ruimte worden weggevaagd altijd gelijk zijn; dat wil zeggen, de oppervlakte van regio B van 1 tot 2 is hetzelfde als die van regio a van 3 tot 4.

als een planeet in een cirkelbaan beweegt, wordt de elastische lijn altijd even groot uitgerekt en beweegt de planeet met een constante snelheid rond zijn baan., Maar, zoals Kepler ontdekte, in de meeste banen die snelheid van een planeet rond zijn ster (of maan rond zijn planeet) heeft de neiging om te variëren omdat de baan is elliptisch.

Keplers Derde Wet

Keplers eerste twee wetten van planetaire beweging beschrijven de vorm van de baan van een planeet en stellen ons in staat om de snelheid van zijn beweging op elk punt in de baan te berekenen. Kepler was blij om zulke fundamentele regels te hebben ontdekt, maar ze voldoen niet aan zijn zoektocht om planetaire bewegingen volledig te begrijpen., Hij wilde weten waarom de banen van de planeten zo verdeeld waren als ze zijn en om een wiskundig patroon in hun bewegingen te vinden—een “harmonie van de bollen” zoals hij het noemde. Gedurende vele jaren werkte hij aan het ontdekken van wiskundige relaties die de planetaire ruimte regelen en de tijd die elke planeet nodig had om rond de zon te gaan.in 1619 ontdekte Kepler een basisrelatie om de banen van de planeten te relateren aan hun relatieve afstand tot de zon. We definiëren de baanperiode van een planeet, (P), als de tijd die een planeet nodig heeft om één keer rond de zon te reizen., Bedenk ook dat de halve grote as van een planeet, a, gelijk is aan de gemiddelde afstand tot de zon. De relatie, nu bekend als Kepler ‘ s derde wet, zegt dat de baanperiode van een planeet in het kwadraat evenredig is met de halve lange as van zijn baan in de kubus, of

{P}^{2}\propto {a}^{3}

wanneer P (de baanperiode) wordt gemeten in jaren, en a wordt uitgedrukt in een hoeveelheid die bekend staat als een astronomische eenheid (AU), zijn de twee zijden van de formule niet alleen proportioneel maar gelijk. Eén AE is de gemiddelde afstand tussen de aarde en de zon en is ongeveer gelijk aan 1.,5 × 108 kilometer. In deze eenheden is

{P}^{2}={a}^{3}

Kepler ‘ s derde wet van toepassing op alle objecten die rond de zon draaien, met inbegrip van de aarde, en biedt een middel voor het berekenen van hun relatieve afstand tot de zon vanaf de tijd die ze nemen om een baan te nemen. Laten we eens kijken naar een specifiek voorbeeld om te illustreren hoe nuttig Kepler ‘ s derde wet is.

bijvoorbeeld, stel dat je tijd geeft hoe lang Mars nodig heeft om rond de zon te gaan (in aardse jaren). De derde wet van Kepler kan dan worden gebruikt om de gemiddelde afstand van Mars tot de zon te berekenen. Mars ‘ orbitale periode (1,88 aarde jaar) kwadraat, of P2, is 1.,882 = 3,53, en volgens de vergelijking voor Keplers derde wet, is dit gelijk aan de kubus van zijn halve grote as, of a3. Dus welk getal moet worden geklopt om 3,53 te geven? Het antwoord is 1,52 (sinds 1,52 × 1,52 × 1,52 = 3,53). De halve grote as van Mars in astronomische eenheden moet dus 1,52 ae zijn. Met andere woorden, om in iets minder dan twee jaar rond de zon te gaan, moet Mars ongeveer 50% (weer de helft) zo ver van de zon zijn als de aarde.,

Keplers drie wetten van planeetbeweging kunnen als volgt worden samengevat:

• Keplers eerste wet: elke planeet beweegt rond de zon in een baan die een ellips is, met de zon op één punt van de ellips.
• Keplers tweede wet: de rechte lijn die een planeet en de zon verbindt, veegt gelijke gebieden in de ruimte uit in gelijke intervallen van de tijd.de derde wet van Kepler: het kwadraat van de baanperiode van een planeet is recht evenredig met de kubus van de halve lange as van zijn baan.,de drie wetten van Kepler geven een nauwkeurige geometrische beschrijving van de planeetbeweging in het kader van het copernicaanse systeem. Met deze gereedschappen was het mogelijk om planeetposities met sterk verbeterde precisie te berekenen. Toch zijn de wetten van Kepler zuiver beschrijvend: ze helpen ons niet te begrijpen welke natuurkrachten de planeten dwingen om deze specifieke set regels te volgen. Die stap werd overgelaten aan Isaac Newton.,ter ere van de wetenschapper die voor het eerst de wetten bedacht die de bewegingen van planeten regelen, besloot het team dat het eerste ruimtevaartuig bouwde om planeten rond andere sterren te zoeken om de sonde “Kepler” te noemen.”Om meer te leren over Johannes Kepler’ s leven en zijn wetten van planetaire beweging, evenals veel informatie over de Kepler missie, bezoek NASA ‘ s Kepler website en volg de links die u interesseren.,

Key Concepts and Summary

Tycho Brahe ‘ s accurate observaties van planeetposities verschaften de gegevens die Johannes Kepler gebruikte om zijn drie fundamentele wetten van planetaire beweging af te leiden. De wetten van Kepler beschrijven het gedrag van planeten in hun banen als volgt: (1) planeetbanen zijn ellipsen met de zon op één focus; (2) in gelijke intervallen veegt de baan van een planeet gelijke gebieden uit; en (3) de relatie tussen de baanperiode (P) en de halve lange as (a) van een baan wordt gegeven door P2 = a3 (wanneer a in eenheden van AE is en P in eenheden van Aardejaren).,