NumeralsEdit
I numeri dovrebbero essere distinti dai numeri, i simboli usati per rappresentare i numeri. Gli egiziani inventarono il primo sistema numerico cifrato, e i greci seguirono mappando i loro numeri di conteggio su alfabeti ionici e dorici., Numeri romani, un sistema che utilizzava combinazioni di lettere dell’alfabeto romano, rimase dominante in Europa fino alla diffusione del sistema numerico indù–arabo superiore intorno alla fine del 14 ° secolo, e il sistema numerico indù–arabo rimane il sistema più comune per rappresentare i numeri nel mondo di oggi. La chiave per l’efficacia del sistema era il simbolo per zero, che è stato sviluppato da antichi matematici indiani intorno al 500 DC.,
Primo uso dei numerimodifica
Ossa e altri manufatti sono stati scoperti con segni tagliati in loro che molti credono siano segni di conteggio. Questi segni di conteggio possono essere stati utilizzati per contare il tempo trascorso, come il numero di giorni, cicli lunari o tenere registri di quantità, come degli animali.
Un sistema di conteggio non ha alcun concetto di valore di luogo (come nella moderna notazione decimale), che limita la sua rappresentazione di grandi numeri. Tuttavia i sistemi di conteggio sono considerati il primo tipo di sistema numerico astratto.,
Il primo sistema conosciuto con valore di posto fu il sistema mesopotamico di base 60 (c. 3400 AC) e il primo sistema conosciuto di base 10 risale al 3100 AC in Egitto.
Zero Edit
Il primo uso documentato conosciuto di zero risale al 628 d.C. ed è apparso nel Brāhmasphuṭasiddhānta, l’opera principale del matematico indiano Brahmagupta. Ha trattato 0 come un numero e ha discusso le operazioni che lo coinvolgono, compresa la divisione. A questo punto (il 7 ° secolo) il concetto aveva chiaramente raggiunto la Cambogia come numeri Khmer, e la documentazione mostra che l’idea si diffuse in seguito in Cina e nel mondo islamico.,
Il numero 605 in numeri Khmer, da un’iscrizione dal 683 DC. Uso precoce di zero come cifra decimale.
Il Brāhmasphuṭasiddhānta di Brahmagupta è il primo libro che menziona lo zero come numero, quindi Brahmagupta è solitamente considerato il primo a formulare il concetto di zero. Ha dato regole di utilizzo di zero con numeri negativi e positivi, come ad esempio “zero più un numero positivo è un numero positivo, e un numero negativo più zero è il numero negativo.,”Il Brāhmasphuṭasiddhānta è il primo testo conosciuto per trattare lo zero come un numero a sé stante, piuttosto che come semplice cifra segnaposto nel rappresentare un altro numero come è stato fatto dai babilonesi o come simbolo per una mancanza di quantità come è stato fatto da Tolomeo e dai Romani.
L’uso di 0 come numero dovrebbe essere distinto dal suo uso come numero segnaposto nei sistemi di valore posto. Molti testi antichi utilizzati 0. I testi babilonesi ed egiziani lo usavano. Gli egiziani usavano la parola nfr per indicare il saldo zero nella contabilità a partita doppia., I testi indiani usavano una parola sanscrita Shunye o shunya per riferirsi al concetto di vuoto. Nei testi di matematica questa parola si riferisce spesso al numero zero. Allo stesso modo, Pāṇini (V secolo a.C.) utilizzò l’operatore nullo (zero) nell’Ashtadhyayi, un primo esempio di grammatica algebrica per la lingua sanscrita (vedi anche Pingala).
Ci sono altri usi di zero prima di Brahmagupta, sebbene la documentazione non sia completa come nel Brāhmasphuṭasiddhānta.,
I record mostrano che gli antichi greci sembravano incerti sullo stato di 0 come numero: si sono chiesti “come può’ nothing ‘ essere qualcosa?”portando a interessanti argomenti filosofici e, dal periodo medievale, religiosi sulla natura e l’esistenza di 0 e il vuoto. I paradossi di Zenone di Elea dipendono in parte dall’interpretazione incerta di 0. (Gli antichi greci anche messo in dubbio se 1 era un numero.,)
Il tardo popolo olmeco del Messico centro-meridionale iniziò ad usare un simbolo per zero, un glifo di conchiglia, nel Nuovo Mondo, forse entro il 4 ° secolo AC ma certamente entro il 40 AC, che divenne parte integrante dei numeri Maya e del calendario Maya. Maya aritmetica usato base 4 e base 5 scritto come base 20. George I. Sánchez nel 1961 ha riportato un abaco base 4, base 5 “dito”.
Nel 130 d.C., Tolomeo, influenzato da Ipparco e dai Babilonesi, utilizzava un simbolo per 0 (un piccolo cerchio con una lunga overbar) all’interno di un sistema numerico sessagesimale altrimenti usando numeri alfabetici greci., Poiché era usato da solo, non come un semplice segnaposto, questo zero ellenistico fu il primo uso documentato di un vero zero nel Vecchio Mondo. Nei successivi manoscritti bizantini della sua Syntaxis Mathematica (Almagesto), lo zero ellenistico si era trasformato nella lettera greca Omicron (altrimenti significato 70).
Un altro zero vero era usato nelle tabelle accanto ai numeri romani da 525 (primo uso conosciuto da Dionigi Exiguus), ma come parola, nulla che significa nulla, non come simbolo. Quando la divisione ha prodotto 0 come resto, è stato usato nihil, che significa anche nulla., Questi zeri medievali furono usati da tutti i futuri computisti medievali (calcolatrici di Pasqua). Un uso isolato della loro iniziale, N, è stato utilizzato in una tabella di numeri romani da Beda o un collega su 725, un vero simbolo zero.
Numeri negativi Modifica
Il concetto astratto di numeri negativi è stato riconosciuto già nel 100-50 AC in Cina. I nove capitoli sull’arte matematica contiene metodi per trovare le aree di figure; barre rosse sono stati utilizzati per indicare coefficienti positivi, nero per negativo., Il primo riferimento in un lavoro occidentale è stato nel 3 ° secolo DC in Grecia. Diofanto si riferiva all’equazione equivalente a 4x + 20 = 0 (la soluzione è negativa) in Arithmetica, dicendo che l’equazione ha dato un risultato assurdo.
Durante il 600, i numeri negativi erano in uso in India per rappresentare i debiti. Il precedente riferimento di Diofanto fu discusso più esplicitamente dal matematico indiano Brahmagupta, in Brāhmasphuṭasiddhānta nel 628, che usò numeri negativi per produrre la formula quadratica generale che rimane in uso oggi., Tuttavia, nel 12 ° secolo in India, Bhaskara dà radici negative per equazioni di secondo grado, ma dice che il valore negativo “è in questo caso da non prendere, perché è inadeguata; la gente non approva le radici negative”.
Matematici europei, per la maggior parte, resistito al concetto di numeri negativi fino al 17 ° secolo, anche se Fibonacci ha permesso soluzioni negative in problemi finanziari dove potrebbero essere interpretati come debiti (capitolo 13 del Liber Abaci, 1202) e più tardi come perdite (in Flos)., Allo stesso tempo, i cinesi indicavano numeri negativi disegnando un tratto diagonale attraverso la cifra più a destra diversa da zero del numero del numero positivo corrispondente. Il primo uso di numeri negativi in un lavoro europeo è stato di Nicolas Chuquet durante il 15 ° secolo. Li ha usati come esponenti, ma li ha definiti “numeri assurdi”.
Fino al 18 ° secolo, era pratica comune ignorare qualsiasi risultato negativo restituito dalle equazioni sul presupposto che fossero prive di significato, proprio come René Descartes ha fatto con soluzioni negative in un sistema di coordinate cartesiane.,
Numeri razionali Modifica
E ‘ probabile che il concetto di numeri frazionari risale alla preistoria. Gli antichi egizi usavano la loro notazione di frazione egiziana per i numeri razionali in testi matematici come il Papiro matematico di Rhind e il Papiro di Kahun. I matematici classici greci e indiani fecero studi sulla teoria dei numeri razionali, come parte dello studio generale della teoria dei numeri. Il più noto di questi è Elementi di Euclide, risalente a circa 300 AC., Tra i testi indiani, il più rilevante è lo Sthananga Sutra, che copre anche la teoria dei numeri come parte di uno studio generale della matematica.
Il concetto di frazioni decimali è strettamente legato alla notazione del valore di posizione decimale; i due sembrano essersi sviluppati in tandem. Ad esempio, è comune per il sutra matematico Jain includere calcoli di approssimazioni di frazione decimale a pi o la radice quadrata di 2. Allo stesso modo, i testi matematici babilonesi usavano frazioni sessagesimali (base 60) con grande frequenza.,
Numeri irrazionali Modifica
Il primo uso noto di numeri irrazionali era nei Sulba Sutra indiani composti tra l ‘ 800 e il 500 AC. Le prime prove di esistenza dei numeri irrazionali sono di solito attribuite a Pitagora, più specificamente al pitagorico Ippaso di Metaponto, che ha prodotto una prova (molto probabilmente geometrica) dell’irrazionalità della radice quadrata di 2. La storia racconta che Ippaso scoprì i numeri irrazionali quando cercava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione., Tuttavia, Pitagora credeva nell’assolutezza dei numeri e non poteva accettare l’esistenza di numeri irrazionali. Egli non poteva confutare la loro esistenza attraverso la logica, ma non poteva accettare numeri irrazionali, e così, presumibilmente e frequentemente riportato, ha condannato Ippaso a morte per annegamento, per impedire la diffusione di questa notizia sconcertante.
Il 16 ° secolo portò l’accettazione finale europea di numeri integrali e frazionari negativi. Nel 17 ° secolo, i matematici generalmente usavano le frazioni decimali con la notazione moderna., Non è stato, tuttavia, fino al 19 ° secolo che i matematici separati irrazionali in algebrico e trascendentale parti, e ancora una volta ha intrapreso lo studio scientifico di irrazionali. Era rimasto quasi dormiente da Euclide. Nel 1872, la pubblicazione delle teorie di Karl Weierstrass (dal suo allievo E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, e Richard Dedekind è stato portato circa. Nel 1869, Charles Méray aveva preso lo stesso punto di partenza come Heine, ma la teoria è generalmente riferito all’anno 1872., Il metodo di Weierstrass è stato completamente esposto da Salvatore Pincherle (1880), e Dedekind ha ricevuto ulteriore risalto attraverso il lavoro successivo dell’autore (1888) e l’approvazione di Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor e Heine basano le loro teorie sulle serie infinite, mentre Dedekind fonda la sua sull’idea di un taglio (Schnitt) nel sistema dei numeri reali, separando tutti i numeri razionali in due gruppi con determinate proprietà caratteristiche. Il soggetto ha ricevuto contributi successivi per mano di Weierstrass, Kronecker e Méray.,
La ricerca di radici di equazioni quintiche e di grado superiore fu uno sviluppo importante, il teorema di Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) mostrò che non potevano essere risolti dai radicali (formule che coinvolgevano solo operazioni aritmetiche e radici). Quindi era necessario considerare l’insieme più ampio di numeri algebrici (tutte le soluzioni alle equazioni polinomiali). Galois (1832) ha collegato le equazioni polinomiali alla teoria dei gruppi dando origine al campo della teoria di Galois.,
Le frazioni continue, strettamente correlate ai numeri irrazionali (e dovute a Cataldi, 1613), ricevettero attenzione per mano di Eulero, e all’apertura del 19 ° secolo furono messe in risalto attraverso gli scritti di Joseph Louis Lagrange. Altri contributi degni di nota sono stati fatti da Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), e Günther (1872). Ramus prima collegato il soggetto con determinanti, risultante, con i successivi contributi di Heine, Möbius, e Günther, nella teoria di Kettenbruchdeterminanten.,
Numeri trascendentali e reali Modifica
L’esistenza dei numeri trascendentali fu stabilita per la prima volta da Liouville (1844, 1851). Hermite dimostrato nel 1873 che e è trascendentale e Lindemann dimostrato nel 1882 che π è trascendentale. Infine, Cantor ha mostrato che l’insieme di tutti i numeri reali è infinitamente infinito ma l’insieme di tutti i numeri algebrici è numerabilmente infinito, quindi c’è un numero infinitamente infinito di numeri trascendentali.,
Infinito e infinitesimali Modifica
La prima concezione conosciuta dell’infinito matematico appare nello Yajur Veda, un antico scritto indiano, che a un certo punto afferma: “Se rimuovi una parte dall’infinito o aggiungi una parte all’infinito, ciò che rimane è l’infinito.”L’infinito era un argomento popolare di studio filosofico tra i matematici Jain c.400 AC. Essi distinguevano tra cinque tipi di infinito: infinito in una e due direzioni, infinito in area, infinito ovunque e infinito perennemente.,
Aristotele definì la nozione tradizionale occidentale di infinito matematico. Egli distingueva tra l’infinito reale e l’infinito potenziale – il consenso generale è che solo quest’ultimo aveva un vero valore. Le due Nuove scienze di Galileo Galilei hanno discusso l’idea delle corrispondenze uno-a-uno tra insiemi infiniti. Ma il successivo importante progresso nella teoria fu fatto da Georg Cantor; nel 1895 pubblicò un libro sulla sua nuova teoria degli insiemi, introducendo, tra le altre cose, i numeri transfiniti e formulando l’ipotesi del continuum.,
Nel 1960, Abraham Robinson ha mostrato come i numeri infinitamente grandi e infinitesimali possono essere rigorosamente definiti e utilizzati per sviluppare il campo dell’analisi non standard. Il sistema dei numeri iperreali rappresenta un metodo rigoroso di trattare le idee sui numeri infiniti e infinitesimali che erano stati usati casualmente da matematici, scienziati e ingegneri fin dall’invenzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz.,
Una versione geometrica moderna dell’infinito è data dalla geometria proiettiva, che introduce “punti ideali all’infinito”, uno per ogni direzione spaziale. Ogni famiglia di linee parallele in una data direzione è postulata a convergere al punto ideale corrispondente. Questo è strettamente correlato all’idea di punti di fuga nel disegno prospettico.,
Numeri complessi Modifica
Il primo riferimento fugace alle radici quadrate dei numeri negativi si è verificato nel lavoro del matematico e inventore Airone di Alessandria nel 1 ° secolo DC, quando considerava il volume di un tronco impossibile di una piramide. Sono diventati più importanti quando nel 16 ° secolo chiuso formule per le radici di terzo e quarto grado polinomi sono stati scoperti da matematici italiani come Niccolò Fontana Tartaglia e Gerolamo Cardano., Si rese presto conto che queste formule, anche se si era interessati solo a soluzioni reali, a volte richiedevano la manipolazione delle radici quadrate dei numeri negativi.
Questo era doppiamente inquietante dal momento che non consideravano nemmeno i numeri negativi su un terreno solido al momento. Quando René Descartes coniò il termine “immaginario” per queste quantità nel 1637, lo intendeva come dispregiativo. (Vedi numero immaginario per una discussione sulla “realtà” dei numeri complessi.,) Una ulteriore fonte di confusione è che l’equazione
( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}
sembrava capricciosamente coerente con l’identità algebrica
a b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}
, che è valido solo per i numeri reali positivi a e b, ed è stato utilizzato anche nel complesso il numero di calcoli con uno di a, b positivo e l’altro negativo., L’uso errato di questa identità e l’identità correlata
1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}
nel caso in cui sia a che b sono negativi anche Eulero tormentato. Questa difficoltà alla fine lo portò alla convenzione di usare il simbolo speciale i al posto di − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} per proteggersi da questo errore.
Il xviii secolo vide l’opera di Abraham de Moivre e Leonhard Euler., De Moivre formula (1730), si legge:
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n q {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin\n \ theta }
mentre la formula di Eulero di analisi complessa (1748) ci ha dato:
cos θ + i sin θ = e mi θ . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
L’esistenza di numeri complessi non fu completamente accettata fino a quando Caspar Wessel descrisse l’interpretazione geometrica nel 1799., Carl Friedrich Gauss lo riscoprì e lo rese popolare diversi anni dopo, e di conseguenza la teoria dei numeri complessi ricevette una notevole espansione. L’idea della rappresentazione grafica dei numeri complessi era apparsa, tuttavia, già nel 1685, nel De algebra tractatus di Wallis.
Anche nel 1799, Gauss fornì la prima prova generalmente accettata del teorema fondamentale dell’algebra, mostrando che ogni polinomio sui numeri complessi ha un set completo di soluzioni in quel regno., L’accettazione generale della teoria dei numeri complessi è dovuta alle fatiche di Augustin Louis Cauchy e Niels Henrik Abel, e specialmente di quest’ultimo, che fu il primo ad usare audacemente i numeri complessi con un successo ben noto.
Gauss ha studiato i numeri complessi della forma a + bi, dove a e b sono integrali o razionali (e i è una delle due radici di x2 + 1 = 0). Il suo studente, Gotthold Eisenstein, ha studiato il tipo a + bw, dove ω è una radice complessa di x3 − 1 = 0., Altre classi di questo tipo (chiamate campi ciclotomici) di numeri complessi derivano dalle radici dell’unità xk − 1 = 0 per valori più alti di k. Questa generalizzazione è in gran parte dovuta a Ernst Kummer, che inventò anche i numeri ideali, che furono espressi come entità geometriche da Felix Klein nel 1893.
Nel 1850 Victor Alexandre Puiseux prese il passo chiave di distinguere tra poli e punti di diramazione, e introdusse il concetto di punti singolari essenziali. Questo alla fine ha portato al concetto del piano complesso esteso.,
Numeri primi Modifica
I numeri primi sono stati studiati nel corso della storia registrata. Euclide dedicò un libro degli Elementi alla teoria dei numeri primi; in esso dimostrò l’infinitudine dei numeri primi e il teorema fondamentale dell’aritmetica e presentò l’algoritmo Euclideo per trovare il massimo divisore comune di due numeri.
Nel 240 a. C., Eratostene utilizzò il Setaccio di Eratostene per isolare rapidamente i numeri primi. Ma la maggior parte ulteriore sviluppo della teoria dei numeri primi in Europa risale al Rinascimento e epoche successive.,
Nel 1796, Adrien-Marie Legendre congetturò il teorema dei numeri primi, descrivendo la distribuzione asintotica dei numeri primi. Altri risultati riguardanti la distribuzione dei primi includono la dimostrazione di Eulero che la somma dei reciproci dei primi diverge, e la congettura di Goldbach, che afferma che qualsiasi numero pari sufficientemente grande è la somma di due primi. Ancora un’altra congettura relativa alla distribuzione dei numeri primi è l’ipotesi di Riemann, formulata da Bernhard Riemann nel 1859., Il teorema dei numeri primi è stato finalmente dimostrato da Jacques Hadamard e Charles de la Vallée-Poussin nel 1896. Le congetture di Goldbach e Riemann rimangono non provate e non confermate.