Le travi possono variare notevolmente nella loro geometria e composizione. Ad esempio, una trave può essere diritta o curva. Può essere di sezione trasversale costante, o può rastremarsi. Può essere fatto interamente dello stesso materiale (omogeneo), o può essere composto di materiali diversi (composito). Alcune di queste cose rendono difficile l’analisi, ma molte applicazioni di ingegneria coinvolgono casi che non sono così complicati., L’analisi è semplificata se:
- Il fascio è originariamente dritto e qualsiasi cono è leggero
- Il fascio sperimenta solo una deformazione elastica lineare
- Il fascio è snello (il suo rapporto lunghezza-altezza è maggiore di 10)
- Vengono considerate solo piccole deflessioni (deflessione massima inferiore a 1/10 della campata).,
In questo caso, l’equazione che regolano il fascio di deviazione ( w {\displaystyle w} ) può essere approssimata come:
d 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
in cui la derivata seconda della sua forma deviata rispetto a x {\displaystyle x} è interpretato come la curvatura, E {\displaystyle E} è il modulo di Young, I {\displaystyle I} è il momento di inerzia della sezione trasversale, e M {\displaystyle M} è il momento flettente nella trave.,
inoltre, Se il fascio non è conico e omogeneo, ed è azionata da un carico distribuito q {\displaystyle q} , precedente espressione può essere scritta come:
E I d 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
Questa equazione può essere risolta per una varietà di carico e le condizioni al contorno. Di seguito sono riportati alcuni semplici esempi. Le formule espresse sono approssimazioni sviluppate per fasci lunghi, sottili, omogenei, prismatici con piccole deflessioni e proprietà elastiche lineari., In base a queste restrizioni, le approssimazioni dovrebbero dare risultati entro il 5% della deflessione effettiva.
Travi a cantileveredit
Le travi a cantilever hanno un’estremità fissa, in modo che la pendenza e la deflessione a quell’estremità debbano essere zero.
Schema della deviazione di una trave a sbalzo.,div>
Fine-caricato a sbalzo beamsEdit
Cantilever beam con una forza su l’estremità libera
δ B = F L 3 3 E I {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}} ϕ B = F L 2 2 E I {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}
dove
F {\displaystyle F} = Forza che agisce sulla punta della trave L {\displaystyle L} = Lunghezza della trave (span) E {\displaystyle E} = Modulo di elasticità I {\displaystyle I} = Momento di inerzia della sezione trasversale della trave
si noti che se la portata raddoppia, la flessione aumenta di otto volte.,e fascio E {\displaystyle E} = Modulo di elasticità I {\displaystyle I} = momento di inerzia della sezione trasversale
La freccia in un punto qualsiasi, x {\displaystyle x} , lungo l’arco di una uniformemente caricata trave a sbalzo può essere calcolato usando:
δ x = q x 2 24 E I ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})} ϕ x = q x 6 E I ( 3 L 2 − 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}
Semplicemente supportato beamsEdit
Semplicemente supportato da travi supporti sotto le loro estremità che permettono la rotazione, ma non di deflessione.,
Schema della deviazione di un raggio semplicemente supportato.,iv>
La massima deformazione elastica su una trave sostenuta da due supporti semplici, caricato a distanza di un {\displaystyle a} dal supporto più vicino, è dato da:
δ m a x = F ( L 2 − 2 ) 3 / 2 9 3 I L I I {\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-un^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
dove
F {\displaystyle F} = Forza agente sulla trave L {\displaystyle L} = Lunghezza della trave tra i supporti E {\displaystyle E} = Modulo di Elasticità I {\displaystyle I} = momento di Inerzia della sezione trasversale {\displaystyle a} = Distanza dal carico il supporto più vicino (io.,il.,am può essere calcolato usando:
δ x = q x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}
Cambia in LengthEdit
Dove:
Δ L {\displaystyle \Delta L} = variazione di lunghezza (sempre negativo) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = pendenza della funzione (derivata prima di δ x {\displaystyle \delta _{x}} ) Δ L = − 1 2 ∫ 0 L ( θ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}
Se il fascio è uniforme e la freccia in un punto qualsiasi è noto, questo può essere calcolato senza la conoscenza di altre proprietà della trave.,