Szám

ez a szakasz ténybeli pontossága vitatott. Releváns vita megtalálható Talk: szám. Kérjük, segítsen annak biztosításában, hogy a vitatott állítások megbízhatóan beszerezhetők legyenek. (November 2014) (Megtanulják, hogyan kell eltávolítani ezt a sablont üzenet)

Fő cikk: Szám rendszer

fő cikk: az ősi számrendszerek története

Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhānta az első könyv, amely nullát említ számként, ezért Brahmagupta általában az első, aki megfogalmazza a nulla fogalmát. A “nulla plusz egy pozitív szám egy pozitív szám, és egy negatív szám plusz nulla a negatív szám.,”A Brāhmasphuṭasiddhānta a legkorábbi ismert szöveg, amely a nullát saját jogán számként kezeli, nem pedig egyszerűen egy helyőrző számjegyként egy másik szám ábrázolásában, ahogyan azt a babilóniaiak tették, vagy a mennyiség hiányának szimbólumaként, ahogyan azt Ptolemaiosz és a rómaiak tették.

a 0 Mint szám használatát meg kell különböztetni a helyőrző számként való használatától a helyérték-rendszerekben. Sok ősi szövegek használt 0. Babiloni és egyiptomi szövegek használták. Az egyiptomiak az nfr szót használták a nulla egyenleg jelölésére a kettős könyvelésben., Indiai szövegek használt szanszkrit szó Shunye vagy shunya utalni a koncepció void. A matematikai szövegekben ez a szó gyakran a nulla számra utal. Hasonló értelemben Pāṇini (IE 5. század) az Ashtadhyayi null (nulla) operátorát használta, amely a szanszkrit nyelv algebrai nyelvtanának korai példája (Lásd még Pingala).

vannak más felhasználási nulla előtt Brahmagupta, bár a dokumentáció nem olyan teljes, mint ez a Brāhmasphuṭasiddhānta.,

A feljegyzések azt mutatják, hogy az ókori görögök nem voltak biztosak a 0 Mint szám státuszában: megkérdezték magukat: “hogyan lehet A “semmi” valami?”érdekes filozófiai és a középkorra jellemző vallási vitákhoz vezetett a 0 és a vákuum természetéről és létezéséről. Az Elea Zeno paradoxonjai részben a 0 bizonytalan értelmezésétől függenek. (Az ókori görögök még azt is megkérdőjelezték, hogy az 1 szám-e.,)

A dél-közép-mexikói késő Olmec nép az új világban a nullára, a héjjelre használt szimbólumot használta, valószínűleg a Kr.E. 4. századra, de minden bizonnyal az I. E. 40-re, amely a maja számok és a maja naptár szerves részévé vált. A maja aritmetika a 4-es és az 5-ös bázist használta 20-as alapként. George I. Sánchez 1961 jelentett bázis 4, bázis 5 “finger” abacus.

I.E. 130-ban a Hipparchus és a babilóniaiak által befolyásolt Ptolemaiosz egy 0-ra (egy kis körre, hosszú túlsúllyal) utaló szimbólumot használt egy nembeli számrendszerben, máskülönben ábécé görög számokat használt., Mivel egyedül használták, nem csak helyőrzőként, ez a hellenisztikus nulla volt az első dokumentált nulla használata a régi világban. A későbbi Bizánci kéziratok az ő Syntaxis Mathematica (Almagest), a hellenisztikus nulla átalakult a görög betű Omicron (egyébként jelentése 70).

egy másik valódi nullát a római számok mellett 525-tel (Dionysius Exiguus első ismert használata) használtak táblázatokban, de mint szó, a nulla semmit jelent, nem szimbólumként. Amikor division termelt 0 mint a többi, nihil, is jelent semmit, használták., Ezeket a középkori nullákat minden jövőbeli középkori computista használta (húsvéti számológépek). Egy elszigetelt használata a kezdeti, N, használták a táblázatban a római számok Bede vagy egy kolléga mintegy 725, egy igazi nulla szimbólum.

negatív számok szerkesztése

a negatív számok absztrakt fogalmát már 100-50-ben felismerték Kínában. A matematikai művészet kilenc fejezete módszereket tartalmaz a számok területének megtalálására; piros rudakat használtak pozitív együtthatók jelölésére, fekete negatívra., Az első utalás egy nyugati mű volt a 3. században Görögországban. Diophantus az Arithmeticában a 4x + 20 = 0 (a megoldás negatív) egyenletre hivatkozott, mondván, hogy az egyenlet abszurd eredményt adott.

A 600-as években Indiában negatív számokat használtak az adósságok képviseletére. Diophantus korábbi hivatkozását az indiai matematikus, Brahmagupta kifejezetten tárgyalta Brāhmasphuṭasiddhānta-ban 628-ban, aki negatív számokat használt a ma használatban lévő általános forma kvadratikus képletének előállításához., Indiában azonban a 12. században a Bhaskara negatív gyökereket ad a kvadratikus egyenletekhez, de azt mondja, hogy a negatív értéket “ebben az esetben nem kell figyelembe venni, mert nem megfelelő; az emberek nem hagyják jóvá a negatív gyökereket”.

Az Európai matematikusok nagyrészt ellenálltak a negatív számok fogalmának a 17. századig, bár a Fibonacci negatív megoldásokat tett lehetővé pénzügyi problémákban, ahol adósságként értelmezhetők (Liber Abaci 13.fejezete, 1202), majd később veszteségként (Flos-ban)., Ugyanakkor a kínaiak negatív számokat jeleztek azáltal, hogy átlós löketet rajzoltak a megfelelő pozitív szám jobb oldali nem nulla számjegyén. A negatív számok első használatát egy európai munkában Nicolas Chuquet használta a 15. században. Exponensként használta őket, de “abszurd számoknak”nevezte őket.

a közelmúltban, mint a 18. században, általános gyakorlat volt figyelmen kívül hagyni az egyenletek által visszaadott negatív eredményeket azzal a feltételezéssel, hogy értelmetlenek, csakúgy,mint René Descartes a derékszögű koordinátarendszer negatív megoldásaival.,

racionális számok szerkesztése

valószínű, hogy a frakcionált számok fogalma a történelem előtti időkre nyúlik vissza. Az ókori egyiptomiak matematikai szövegekben, például a Rhind Mathematical Papyrusban és a Kahun Papyrusban használták a racionális számok egyiptomi frakciójelölését. A klasszikus görög és indiai matematikusok a számelmélet általános tanulmányozásának részeként tanulmányozták a racionális számok elméletét. Ezek közül a legismertebb az Euclid elemei, amelyek I.E. 300 körül keletkeztek., Az indiai szövegek közül a legfontosabb a Sthananga Sutra, amely a számelméletet is magában foglalja a matematika általános tanulmányának részeként.

a tizedes törtek fogalma szorosan kapcsolódik a tizedes hely-érték jelöléshez; úgy tűnik, hogy a kettő párhuzamosan fejlődött. Például gyakori, hogy a Jain math sutra tartalmazza a tizedes frakció közelítéseinek számításait a pi-hez vagy a 2 négyzetgyökéhez. Hasonlóképpen, a babiloni matematikai szövegek nagy gyakorisággal használták a szexagesimal (base 60) frakciókat.,

irracionális számok szerkesztése

az irracionális számok legkorábbi ismert használata az indiai Sulba Szútrákban volt, amelyek I.E. 800 és 500 között készültek. Az irracionális számok első létezésének bizonyítékait általában Pythagorasnak, pontosabban a Metapontum pitagorai Hippasusának tulajdonítják, aki (valószínűleg geometriai) bizonyítékot készített a 2 négyzetgyökének irracionalitásáról. A történet szerint Hippasus irracionális számokat fedezett fel, amikor megpróbálta a 2 négyzetgyökét frakcióként ábrázolni., Pythagoras azonban hitt a számok abszolútságában, és nem tudta elfogadni az irracionális számok létezését. Logikával nem tudta megcáfolni a létezésüket, de irracionális számokat nem tudott elfogadni, így állítólag és gyakran jelentett módon fulladással halálra ítélte Hippasust, hogy akadályozza ennek a nyugtalanító hírnek a terjesztését.

a 16. A 17. században a matematikusok általában tizedes törteket használtak modern jelöléssel., A matematikusok azonban a 19. századig nem különítették el az irracionálisokat algebrai és transzcendentális részekre, és még egyszer elvégezték az irracionálisok tudományos tanulmányozását. Euclid óta szinte szunnyadó maradt. 1872-ben megjelent Karl Weierstrass (tanítványa, E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor és Richard Dedekind elméletei. 1869-ben Méray Károly ugyanarra az indulási pontra tért vissza, mint Heine, de az elméletet általában az 1872-es évre utalják., Weierstrass módszerét teljes egészében Salvatore Pincherle (1880) határozta meg, Dedekind ‘ s pedig a szerző későbbi munkáján (1888) és Paul Tannery (1894) jóváhagyásán keresztül kapott további hangsúlyt. Weierstrass, Cantor és Heine elméleteiket a végtelen sorozatokra alapozzák, míg Dedekind a valós számok rendszerében egy vágás (Schnitt) ötletére alapozza, az összes racionális számot két csoportra osztva, amelyek bizonyos jellegzetes tulajdonságokkal rendelkeznek. A téma később Weierstrass, Kronecker és Méray kezébe került.,

a kvintikus és magasabb fokú egyenletek gyökereinek keresése fontos fejlemény volt, az Abel–Ruffini-tétel (Ruffini 1799, Abel 1824) azt mutatta, hogy ezeket nem lehet radikálisokkal megoldani (csak aritmetikai műveleteket és gyökereket tartalmazó képletek). Ezért figyelembe kellett venni az algebrai számok szélesebb körét (a polinom egyenletek minden megoldását). Galois (1832) összekapcsolta a polinom egyenleteket a csoportelmélettel, amely a Galois-elmélet területét eredményezte.,

az irracionális számokkal szorosan összefüggő (és Cataldinak köszönhetően 1613) frakciók Euler kezére kerültek, és a 19. század elején Joseph Louis Lagrange írásai révén kerültek előtérbe. További említésre méltó közreműködők: Druckenmüller( 1837), Kunze (1857), Lemke (1870) és Günther (1872). Ramus először determinánsokkal kötötte össze a témát, így Heine, Möbius és Günther későbbi hozzájárulásával a Kettenbruchdeterminanten elméletében.,

transzcendentális számok és számok szerkesztése

a transzcendentális számok létezését először Liouville (1844, 1851) hozta létre. Hermite 1873-ban bebizonyította, hogy e transzcendentális, Lindemann pedig 1882-ben bebizonyította, hogy π transzcendentális. Végül Cantor megmutatta, hogy az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlanul végtelen, de az összes algebrai szám halmaza számszerűen végtelen,tehát számtalan transzcendentális szám van.,

Infinity and infinitesimals Edit

a matematikai végtelenség legkorábbi ismert koncepciója megjelenik a Yajur Véda-ban, egy ősi indiai szkriptben, amely egy ponton kijelenti: “ha eltávolít egy részt a végtelenből, vagy hozzáad egy részt a végtelenhez, még mindig a végtelenség marad.”Az Infinity a filozófiai tanulmányok népszerű témája volt a Jain matematikusok körében I. E.400 körül. A végtelenség öt típusát különböztették meg: végtelen egy és két irányban, végtelen a területen, végtelen mindenhol, végtelen állandóan.,

Arisztotelész meghatározta a matematikai végtelenség hagyományos nyugati fogalmát. Különbséget tett a tényleges végtelenség és a potenciális végtelenség között—az általános konszenzus az, hogy csak az utóbbinak volt valódi értéke. Galileo Galilei két új tudománya megvitatta a végtelen halmazok közötti egy-egy megfelelés gondolatát. De az elmélet következő nagy előrelépését Georg Cantor készítette; 1895-ben kiadott egy könyvet az új halmazelméletéről, többek között a transzfinit számok bevezetésével és a kontinuum hipotézis megfogalmazásával.,

az 1960-as években Abraham Robinson megmutatta, hogy a végtelenül nagy és végtelenül nagy számok szigorúan meghatározhatók és felhasználhatók a nem szabványos analízis területének fejlesztésére. A hiperreális számok rendszere egy szigorú módszer a végtelen és végtelen számokról alkotott elképzelések kezelésére, amelyeket a matematikusok, a tudósok és a mérnökök véletlenül használtak Newton és Leibniz infinitezimális kalkulusának feltalálása óta.,

a végtelenség modern geometriai változatát a projektív geometria adja, amely “ideális pontokat a végtelenben” vezet be, minden térbeli irányhoz egyet. A párhuzamos vonalak minden családja egy adott irányba posztulálódik, hogy konvergáljon a megfelelő ideális ponthoz. Ez szorosan kapcsolódik a perspektívarajzban lévő pontok eltűnésének gondolatához.,

Komplex számok Szerkesztése

A legkorábbi röpke utalást tér gyökerei a negatív számok következett be, a munka, a matematikus, feltaláló Alexandriai Heron az 1. században, amikor úgy vélte, a kötet egy lehetetlen csonka egy piramis. Egyre hangsúlyosabbá váltak, amikor a 16. században olyan olasz matematikusok, mint Niccolò Fontana Tartaglia és Gerolamo Cardano, felfedezték a harmadik és negyedik fokú polinomok gyökereinek zárt formuláit., Hamarosan rájöttek, hogy ezek a képletek, még akkor is, ha csak a valódi megoldások iránt érdeklődtek, néha a negatív számok négyzetgyökeinek manipulálását igényelték.

ez kétszeresen nyugtalanító volt, mivel akkoriban még a negatív számokat sem tekintették szilárd talajnak. Amikor René Descartes 1637-ben megalkotta a “képzeletbeli” kifejezést ezekre a mennyiségekre, azt megalázónak szánta. (Lásd a képzeletbeli számot a komplex számok “valóságának” megvitatásához.,) További zavart volt, hogy az egyenlet

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

úgy tűnt, szeszélyesen összeegyeztethetetlen az algebrai azonosság a b = a b,, {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

amely érvényes a pozitív valós számok, a, b, volt is használt komplex szám számítások az egyik a, b pozitív, a másik negatív., Ennek az identitásnak a helytelen használata, valamint a kapcsolódó identitás

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1} {\sqrt {a}}}}} = {\sqrt {\frac {1}}}}}}}

abban az esetben, ha mind az a, mind a b negatív, még bedeviled Euler is. Ez a nehézség végül arra késztette őt, hogy a − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} helyett használja az I speciális szimbólumot, hogy megvédje ezt a hibát.

a 18.században Ábrahám de Moivre és Leonhard Euler munkái jelentek meg., De Moivre képlete (1730) kimondja, hogy:

( mert ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\a bűn \theta )^{n}=\, mert n\theta +i\a bűn n\theta }

míg Euler formula komplex elemzés (1748) adta meg: mert ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \ cos \ Theta + i \ sin \ theta = e^{i\theta }.}

a komplex számok létezését nem fogadták el teljesen, amíg Caspar Wessel 1799-ben leírta a geometriai értelmezést., Carl Friedrich Gauss néhány évvel később újra felfedezte és népszerűsítette, ennek eredményeként a komplex számok elmélete figyelemre méltó bővülést kapott. A komplex számok grafikus ábrázolásának gondolata azonban már 1685-ben megjelent Wallis de algebra tractatus-ban.

szintén 1799-ben Gauss szolgáltatta az algebra alapvető tételének első általánosan elfogadott bizonyítékát, amely azt mutatja, hogy a komplex számok felett minden polinomnak teljes körű megoldása van ebben a birodalomban., A komplex számok elméletének általános elfogadása Augustin Louis Cauchy és Niels Henrik Abel munkájának köszönhető, különösen az utóbbi, aki elsőként merészkedett komplex számokat használni a jól ismert sikerrel.

Gauss az a + bi forma komplex számait tanulmányozta, ahol az A és b integráns vagy racionális (és én az x2 + 1 = 0 két gyökere egyike). Tanítványa, Gotthold Eisenstein az a + bw típust tanulmányozta, ahol ω az x3-1 = 0 komplex gyökere., A komplex számok egyéb ilyen osztályai (úgynevezett ciklotomikus mezők) az egység gyökereiből származnak xk − 1 = 0 a K magasabb értékeihez. ez az általánosítás nagyrészt Ernst Kummernek köszönhető, aki ideális számokat is feltalált, amelyeket Felix Klein geometriai entitásként fejezett ki 1893-ban.

1850-ben Victor Alexandre Puiseux megtette a legfontosabb lépést a lengyelek és az ágpontok megkülönböztetésére, és bevezette az alapvető egyes pontok fogalmát. Ez végül a kiterjesztett komplex sík koncepciójához vezetett.,

prímszámok szerkesztése

a prímszámokat a rögzített történelem során tanulmányozták. Euklidész az elemek egy könyvét a prímelméletnek szentelte; ebben bizonyította a prímek végtelenségét és az aritmetika alapvető tételét, és bemutatta az euklideszi algoritmust a két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására.

IE 240-ben az Eratosthenes az Eratosthenes Szitáját használta a prímszámok gyors elkülönítésére. De a prímek elméletének továbbfejlesztése Európában a reneszánszra, majd a későbbi korszakokra nyúlik vissza.,

1796-ban Adrien-Marie Legendre megidézte a prímszám tételét, leírva a prímek aszimptotikus eloszlását. A prímek eloszlásával kapcsolatos egyéb eredmények közé tartozik Euler bizonyítéka annak, hogy a prímek viszonjainak összege eltér egymástól, valamint a Goldbach-sejtés, amely azt állítja, hogy bármely kellően nagy páros szám két prím összege. A prímszámok eloszlásával kapcsolatos újabb feltételezés a Riemann-hipotézis, amelyet Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben., A prímszám tételét végül Jacques Hadamard és Charles de la Vallée-Poussin bizonyította 1896-ban. Goldbach és Riemann feltételezései nem bizonyítottak és nem bizonyítottak.