Nombre

NumeralsEdit

Les nombres doivent être distingués des chiffres, les symboles utilisés pour représenter les nombres. Les Égyptiens ont inventé le premier système de chiffres chiffrés, et les Grecs ont suivi en mappant leurs nombres de comptage sur les alphabets Ioniens et doriques., Chiffres romains, un système qui utilisait des combinaisons de lettres de l « alphabet romain, est resté dominant en Europe jusqu » à la propagation du système de chiffres supérieur Hindou–arabe vers la fin du 14ème siècle, et le système de chiffres Hindou–arabe reste le système le plus commun pour représenter les nombres dans le monde aujourd  » hui. La clé de l’efficacité du système était le symbole du zéro, qui a été développé par d’anciens mathématiciens Indiens vers 500 après JC.,

première utilisation des numérosmodifier

des os et d’autres artefacts ont été découverts avec des marques découpées que beaucoup croient être des marques de comptage. Ces marques de comptage peuvent avoir été utilisées pour compter le temps écoulé, comme le nombre de jours, les cycles lunaires ou la tenue de registres de quantités, comme des animaux.

un système de comptage n’a pas de concept de valeur de lieu (comme dans la notation décimale moderne), ce qui limite sa représentation des grands nombres. Néanmoins, les systèmes de comptage sont considérés comme le premier type de système numérique abstrait.,

le premier système connu avec une valeur de place était le système mésopotamien de base 60 (C. 3400 avant JC) et le plus ancien système de base 10 connu date de 3100 avant JC en Égypte.

Zero Edit

la première utilisation documentée connue de zero Date de 628 après JC, et est apparue dans le Brāhmasphuṭasiddhānta, le principal travail du mathématicien indien Brahmagupta. Il a traité 0 comme un nombre et a discuté des opérations impliquant, y compris la division. À cette époque (le 7ème siècle), le concept avait clairement atteint le Cambodge en tant que chiffres Khmers, et la documentation montre que l’idée s’est ensuite répandue en Chine et dans le monde islamique.,

Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta est le premier livre qui mentionne zéro comme un nombre, donc Brahmagupta est généralement considéré comme le premier à formuler le concept de zéro. Il a donné des règles d’utilisation de zéro avec des nombres négatifs et positifs, telles que « zéro plus un nombre positif est un nombre positif, et un nombre négatif plus Zéro est le nombre négatif., »Le Brāhmasphuṭasiddhānta est le premier texte connu à traiter le zéro comme un nombre à part entière, plutôt que comme un simple chiffre d’espace réservé pour représenter un autre nombre comme cela a été fait par les Babyloniens ou comme un symbole pour un manque de quantité comme cela a été fait par Ptolémée et les Romains.

L’utilisation de 0 comme nombre doit être distinguée de son utilisation comme un espace réservé chiffre en place des systèmes de valeur. De nombreux textes anciens utilisés 0. Les textes Babyloniens et égyptiens l’utilisaient. Les Égyptiens ont utilisé le mot nfr pour désigner le solde nul dans la comptabilité en double entrée., Les textes Indiens utilisaient un mot sanskrit Shunye ou shunya pour désigner le concept de vide. Dans les textes mathématiques, ce mot fait souvent référence au nombre zéro. Dans la même veine, Pāṇini (5ème siècle avant JC) a utilisé l’opérateur nul (zéro) dans L’Ashtadhyayi, un exemple précoce d’une grammaire algébrique pour la langue sanskrite (Voir Aussi Pingala).

Il y a d’autres utilisations de zéro avant Brahmagupta, bien que la documentation ne soit pas aussi complète que dans le Brāhmasphuṭasiddhānta.,

Les archives montrent que les anciens Grecs semblaient incertains du statut de 0 en tant que nombre: ils se demandaient « comment » rien  » ne peut-il être quelque chose? »conduisant à des arguments philosophiques et, par la période médiévale, religieux intéressants sur la nature et l’existence du 0 et du vide. Les paradoxes de Zénon d’Élée dépendent en partie de l’interprétation incertaine de 0. (Les anciens Grecs ont même demandé si 1 était un nombre.,

le peuple olmèque tardif du Centre-Sud du Mexique a commencé à utiliser un symbole pour zéro, un glyphe de coquille, dans le nouveau monde, peut-être au 4ème siècle avant JC, mais certainement en 40 avant JC, qui est devenu une partie intégrante des chiffres Mayas et du calendrier Maya. L’arithmétique Maya utilisait la base 4 et la base 5 écrites en base 20. George I. Sánchez en 1961 a rapporté une base 4, base 5 « doigt » boulier.

En 130 après JC, Ptolémée, influencé par Hipparque et les Babyloniens, utilisait un symbole pour 0 (un petit cercle avec une longue overbar) dans un système de chiffres sexagésimaux utilisant autrement des chiffres grecs alphabétiques., Parce qu’il a été utilisé seul, pas seulement comme un espace réservé, ce Zéro hellénistique a été la première utilisation documentée d’un vrai zéro dans l’Ancien Monde. Dans les manuscrits byzantins ultérieurs de son Syntaxis Mathematica (Almagest), le zéro hellénistique s’était transformé en la lettre grecque Omicron (autrement signifiant 70).

un autre vrai zéro a été utilisé dans les tableaux à côté des chiffres romains en 525 (première utilisation connue par Dionysius Exiguus), mais comme un mot, nulla ne signifiant rien, pas comme un symbole. Lorsque la division a produit 0 comme reste, nihil, qui signifie également rien, a été utilisé., Ces zéros médiévaux ont été utilisés par tous les futurs computistes médiévaux (calculatrices de Pâques). Une utilisation isolée de leur initiale, N, a été utilisée dans une table de chiffres romains par Bède ou un collègue vers 725, un vrai symbole zéro.

les nombres Négatifs Edition

Le concept abstrait des nombres négatifs a été reconnue dès 100-50 avant jc en Chine. Les neuf chapitres sur l’Art mathématique contiennent des méthodes pour trouver les zones des figures; des tiges rouges ont été utilisées pour désigner des coefficients positifs, noires pour négatives., La première référence dans une œuvre occidentale était au 3ème siècle après JC en Grèce. Diophante a fait référence à L’équation équivalente à 4x + 20 = 0 (la solution est négative) dans Arithmetica, en disant que l’équation donnait un résultat absurde.

pendant les années 600, des nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour représenter les dettes. La référence précédente de Diophante a été discutée plus explicitement par le mathématicien indien Brahmagupta, dans Brāhmasphuṭasiddhānta en 628, qui a utilisé des nombres négatifs pour produire la formule quadratique de forme générale qui reste en usage aujourd’hui., Cependant, au 12ème siècle en Inde, Bhaskara donne des racines négatives pour les équations quadratiques, mais dit que la valeur négative « n’est pas à prendre, car elle est inadéquate; les gens n’approuvent pas les racines négatives ».

les mathématiciens européens, pour la plupart, ont résisté au concept de nombres négatifs jusqu’au 17ème siècle, bien que Fibonacci ait permis des solutions négatives dans les problèmes financiers où elles pouvaient être interprétées comme des dettes (chapitre 13 du Liber Abaci, 1202) et plus tard comme des pertes (dans Flos)., Dans le même temps, les Chinois indiquaient des nombres négatifs en traçant un trait diagonal à travers le chiffre le plus à droite non nul du chiffre positif correspondant. La première utilisation de nombres négatifs dans un travail européen a été par Nicolas Chuquet au cours du 15ème siècle. Il les a utilisés comme exposants, mais les a appelés « nombres absurdes ».

dès le 18ème siècle, il était courant d’ignorer les résultats négatifs renvoyés par les équations en supposant qu’ils n’avaient pas de sens, tout comme René Descartes le faisait avec les solutions négatives dans un système de coordonnées cartésiennes.,

les nombres Rationnels Edition

Il est probable que le concept de nombres fractionnaires dates de la préhistoire. Les anciens Égyptiens utilisaient leur notation de fraction Égyptienne pour les nombres rationnels dans des textes mathématiques tels que le papyrus mathématique Rhind et le papyrus Kahun. Les mathématiciens Grecs et indiens classiques ont fait des études de la théorie des nombres rationnels, dans le cadre de l’étude générale de la théorie des nombres. Le plus connu d’entre eux est les éléments D’Euclide, datant d’environ 300 avant JC., Parmi les textes indiens, le plus pertinent est le Sthananga Sutra, qui couvre également la théorie des nombres dans le cadre d’une étude générale des mathématiques.

Le concept de fractions décimales est étroitement lié à la notation décimale; les deux semblent s’être développés en tandem. Par exemple, il est courant que le sutra mathématique Jain inclue des calculs d’approximations de fraction décimale à pi ou à la racine carrée de 2. De même, les textes mathématiques Babyloniens utilisaient des fractions sexagésimales (base 60) avec une grande fréquence.,

nombres irrationnels modifier

la première utilisation connue des nombres irrationnels était dans les Sutras Indiens Sulba composés entre 800 et 500 avant JC. Les premières preuves d’existence des nombres irrationnels sont généralement attribuées à Pythagore, plus précisément au Pythagore Hippase de Metapontum, qui a produit une preuve (très probablement géométrique) de l’irrationalité de la racine carrée de 2. L’histoire raconte Qu’Hippase a découvert des nombres irrationnels en essayant de représenter la racine carrée de 2 comme une fraction., Cependant, Pythagore croyait en l’absoluité des nombres et ne pouvait accepter l’existence de nombres irrationnels. Il ne pouvait pas réfuter leur existence par la logique, mais il ne pouvait pas accepter des nombres irrationnels, et ainsi, prétendument et fréquemment rapporté, il a condamné Hippase à mort par noyade, pour empêcher la propagation de cette nouvelle déconcertante.

le 16ème siècle a apporté l’acceptation européenne finale des nombres entiers et fractionnaires négatifs. Au 17ème siècle, les mathématiciens utilisaient généralement des fractions décimales avec la notation moderne., Ce n’est cependant qu’au 19ème siècle que les mathématiciens ont séparé les irrationnels en parties algébriques et transcendantales, et ont entrepris une fois de plus l’étude scientifique des irrationnels. Il était resté presque en sommeil depuis Euclide. En 1872, la publication des théories de Karl Weierstrass (par son élève E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor et Richard Dedekind a été provoquée. En 1869, Charles Méray avait pris le même point de départ que Heine, mais la théorie est généralement renvoyée à l’année 1872., La méthode de Weierstrass a été complètement exposée par Salvatore Pincherle (1880), et celle de Dedekind a reçu une importance supplémentaire grâce aux travaux ultérieurs de L’auteur (1888) et à L’approbation de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor et Heine fondent leurs théories sur des séries infinies, tandis que Dedekind fonde la sienne sur l’idée d’une coupe (Schnitt) dans le système des nombres réels, séparant tous les nombres rationnels en deux groupes ayant certaines propriétés caractéristiques. Le sujet a reçu des contributions ultérieures de la part de Weierstrass, Kronecker et Méray.,

la recherche des racines des équations quintiques et de degré supérieur a été un développement important, le théorème D’Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) a montré qu’elles ne pouvaient pas être résolues par des radicaux (formules impliquant uniquement des opérations arithmétiques et des racines). Par conséquent, il était nécessaire de considérer l’ensemble plus large des nombres algébriques (toutes les solutions aux équations polynomiales). Galois (1832) a lié les équations polynomiales à la théorie des groupes donnant naissance au domaine de la théorie de Galois.,

Les fractions continues, étroitement liées aux nombres irrationnels (et dues à Cataldi, 1613), ont reçu l’attention des mains d’Euler, et à l’ouverture du 19ème siècle ont été mises en évidence par les écrits de Joseph Louis Lagrange. D’autres contributions remarquables ont été faites par Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870) et Günther (1872). Ramus a d’abord relié le sujet aux déterminants, résultant, avec les contributions ultérieures de Heine, Möbius et Günther, dans la théorie des Kettenbruchdeterminanten.,

nombres transcendantaux et réels modifier

L’existence des nombres transcendantaux a été établie pour la première fois par Liouville (1844, 1851). Hermite a prouvé en 1873 que e est transcendantal et Lindemann a prouvé en 1882 que π est transcendantal. Enfin, Cantor a montré que l’ensemble de tous les nombres réels est infiniment infini mais que l’ensemble de tous les nombres algébriques est infiniment infini, il existe donc un nombre infiniment infini de nombres transcendantaux.,

Infinity and infinitesimals Edit

la première conception connue de l’infini mathématique apparaît dans le Yajur Veda, une ancienne écriture indienne, qui à un moment donné déclare: « Si vous supprimez une partie de l’infini ou ajoutez une partie à l’infini, ce qui reste est l’infini. »L’infini était un sujet populaire d’étude philosophique parmi les mathématiciens jaïns C. 400 avant JC. Ils distinguaient cinq types d’infini: infini dans une et deux directions, infini dans la zone, infini partout et infini perpétuellement.,

Aristote a défini la notion occidentale traditionnelle de l’infini mathématique. Il distinguait entre l’infini réel et l’infini potentiel—le consensus général étant que seul ce dernier avait une vraie valeur. Les deux nouvelles Sciences de Galileo Galilei ont discuté de l’idée de correspondances un à un entre des ensembles infinis. Mais la prochaine avancée majeure dans la théorie a été faite par Georg Cantor; en 1895, il a publié un livre sur sa nouvelle théorie des ensembles, introduisant, entre autres choses, les nombres transfinites et formulant l’hypothèse du continuum.,

dans les années 1960, Abraham Robinson a montré comment les nombres infiniment grands et infinitésimaux peuvent être rigoureusement définis et utilisés pour développer le domaine de l’analyse non standard. Le système de nombres hyperréels représente une méthode rigoureuse de traitement des idées sur les nombres infinis et infinitésimaux qui avaient été utilisées avec désinvolture par les mathématiciens, les scientifiques et les ingénieurs depuis l’invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz.,

Une version géométrique moderne de l’infini est donnée par la géométrie projective, qui introduit des « points idéaux à l’infini », un pour chaque direction spatiale. Chaque famille de lignes parallèles dans une direction donnée est postulée pour converger vers le point idéal correspondant. Ceci est étroitement lié à l’idée de points de fuite dans le dessin en perspective.,

complex numbers Edit

la première référence fugace aux racines carrées des nombres négatifs a eu lieu dans le travail du mathématicien et inventeur Héron D’Alexandrie au 1er siècle après JC, quand il a considéré le volume d’un tronc impossible d’une pyramide. Ils sont devenus plus importants lorsque, au 16ème siècle, des formules fermées pour les racines des polynômes du troisième et du quatrième degré ont été découvertes par des mathématiciens italiens tels que Niccolò Fontana Tartaglia et Gerolamo Cardano., On s’est vite rendu compte que ces formules, même si l’on ne s’intéressait qu’aux solutions réelles, nécessitaient parfois la manipulation des racines carrées des nombres négatifs.

c’était doublement troublant car ils ne considéraient même pas que les nombres négatifs étaient sur un terrain ferme à l’époque. Lorsque René Descartes a inventé le terme « imaginaire » pour ces quantités en 1637, il l’a voulu péjoratif. (Voir nombre imaginaire pour une discussion de la « réalité » des nombres complexes.,) Une autre source de confusion est que l’équation

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

semble capricieuse, incompatible avec l’identité algébrique

a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

ce qui est valable pour les nombres réels positifs a et b, et a également été utilisé dans nombre complexe des calculs avec l’un des a, b positif et l’autre négatif., L’utilisation incorrecte de cette identité, et l’identité

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}

dans le cas où a et b sont négatifs, même accablé d’Euler. Cette difficulté l’a finalement conduit à la convention d’utiliser le symbole spécial i à la place de − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} pour se prémunir contre cette erreur.

le 18ème siècle a vu L’œuvre D’Abraham de Moivre et Leonhard Euler., La formule De De Moivre (1730) membres:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }

alors que la formule d’Euler de l’analyse complexe (1748) nous a donné:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}

L’existence des nombres complexes n’a pas été complètement acceptée jusqu’à ce que Caspar Wessel décrive L’interprétation géométrique en 1799., Carl Friedrich Gauss l’a redécouverte et popularisée plusieurs années plus tard, et par conséquent la théorie des nombres complexes a reçu une expansion notable. L’idée de la représentation graphique des nombres complexes était apparue, cependant, dès 1685, dans de algebra tractatus de Wallis.

toujours en 1799, Gauss a fourni la première preuve généralement acceptée du théorème fondamental de l’algèbre, montrant que chaque polynôme sur les nombres complexes a un ensemble complet de solutions dans ce domaine., L’acceptation générale de la théorie des nombres complexes est due aux travaux D’Augustin Louis Cauchy et de Niels Henrik Abel, et surtout de ce dernier, qui fut le premier à utiliser hardiment les nombres complexes avec un succès bien connu.

Gauss a étudié les nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont intégraux, ou rationnels (et i est l’une des deux racines de x2 + 1 = 0). Son étudiant, Gotthold Eisenstein, a étudié le type a + bw, Où ω est une racine complexe de x3-1 = 0., D’autres classes de ce type (appelées champs cyclotomiques) de nombres complexes dérivent des racines de l’unité xk − 1 = 0 pour des valeurs plus élevées de K. cette généralisation est en grande partie due à Ernst Kummer, qui a également inventé les nombres idéaux, qui ont été exprimés sous forme d’entités géométriques par Felix Klein en 1893.

en 1850, Victor Alexandre Puiseux franchit l’étape clé de la distinction entre pôles et branches, et introduit le concept de points singuliers essentiels. Cela a finalement conduit au concept du plan complexe étendu.,

nombres premiers modifier

Les nombres premiers ont été étudiés tout au long de l’histoire enregistrée. Euclide a consacré un livre des éléments à la théorie des nombres premiers; il y a prouvé l’infinitude des nombres premiers et le théorème fondamental de l’arithmétique, et a présenté l’algorithme euclidien pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres.

En 240 avant JC, Ératosthène a utilisé le tamis D’Ératosthène pour isoler rapidement les nombres premiers. Mais la plupart des développements ultérieurs de la théorie des nombres premiers en Europe datent de la Renaissance et des époques ultérieures.,

en 1796, Adrien-Marie Legendre conjectura le théorème des nombres premiers, décrivant la distribution asymptotique des nombres premiers. D’autres résultats concernant la distribution des nombres premiers incluent la preuve D’Euler que la somme des réciproques des nombres premiers diverge, et la conjecture de Goldbach, qui prétend que tout nombre pair suffisamment grand est la somme de deux nombres premiers. Une autre conjecture liée à la distribution des nombres premiers est l’hypothèse de Riemann, formulée par Bernhard Riemann en 1859., Le théorème des nombres premiers a finalement été prouvé par Jacques Hadamard et Charles De La Vallée-Poussin en 1896. Les conjectures de Goldbach et Riemann restent non prouvées et non prouvées.