Les poutres peuvent varier considérablement dans leur géométrie et leur composition. Par exemple, une poutre peut être droite ou incurvée. Il peut être de section constante, ou il peut s’effiler. Il peut être entièrement fait du même matériau (homogène), ou il peut être composé de matériaux différents (composite). Certaines de ces choses rendent l’analyse difficile, mais de nombreuses applications d’ingénierie impliquent des CAs qui ne sont pas si compliqués., L’analyse est simplifiée si:
- La poutre est à l’origine droite et toute conicité est légère
- La poutre ne subit qu’une déformation élastique linéaire
- La poutre est mince (son rapport longueur / hauteur est supérieur à 10)
- seules de petites déflexions sont prises en compte (déflexion maximale inférieure à 1/10 de,
dans ce cas, l’équation régissant la déviation du faisceau ( w {\displaystyle w} ) peut être approchée comme suit:
d 2 w ( x ) D x 2 = M ( x ) E ( X ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
où la dérivée seconde de sa forme déviée par rapport à x {\displaystyle X} est interprétée comme sa courbure, e {\displaystyle E} est le module de Young, i {\displaystyle I} est le moment d’inertie de la section transversale et m {\displaystyle M} est le moment de flexion interne dans la poutre.,
Si, en plus, le faisceau n’est pas conique et est homogène, et est sollicité par une charge répartie q {\displaystyle q} , l’expression ci-dessus peut être écrite comme suit:
E I d 4 w ( x ) d x 4 = q ( x ) {\displaystyle IE~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}
Cette équation peut être résolue pour une variété de chargement et les conditions aux limites. Un certain nombre d’exemples simples sont présentés ci-dessous. Les formules exprimées sont des approximations développées pour des poutres longues, minces, homogènes, prismatiques avec de petites déflexions et des propriétés élastiques linéaires., En vertu de ces restrictions, les approximations devraient donner des résultats dans les 5% de la déviation réelle.
cantilever beamsEdit
Les poutres Cantilever ont une extrémité fixe, de sorte que la pente et la déviation à cette extrémité doivent être nulles.
Schéma de principe de la flexion d’une poutre cantilever.,div>
faisceau en porte-à-faux chargé à L’extrémité edit
δ B = F L 3 3 E i {\displaystyle \delta _{b}={\frac {FL^{3}}{3ei}}} ϕ B = F L 2 2 e i {\displaystyle \Phi _{b}={\frac {fl^{2}}{2EI}}
où
F {\displaystyle F} = force agissant sur la pointe du faisceau l {\displaystyle L} = longueur du faisceau (portée) e {\displaystyle E} = module d’élasticité i {\displaystyle I} = zone moment d’inertie de la section transversale du faisceau
remarque que si la portée double, la déviation augmente huit fois.,e faisceau E {\displaystyle E} = module d’élasticité i {\displaystyle I} = Zone moment d’inertie de section transversale
la déviation en tout point, x {\displaystyle x} , le long de la portée d’un faisceau en porte − à-faux uniformément chargé peut être calculée en utilisant:
δ X = q x 2 24 E I ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24ei}}(6L^{2}-4LX+x^{2})} ϕ X = Q X 6 e i ( 3 L 2-3 L x + x 2 ) {\displaystyle \Phi _{x}={\frac {QX}{6ei}}(3L^{2}-3LX+x^{2})}
faisceaux simplement supportés edit
Les faisceaux simplement supportés ont des supports sous leurs extrémités qui permettent la rotation, mais pas la déviation.,
Schéma de principe de la déviation de simplement appuyé faisceau.,iv >
la déviation élastique maximale sur une poutre supportée par deux supports simples, chargés à une distance a {\displaystyle A} du support le plus proche, est donnée par:
δ M A X = F A ( L 2-a 2 ) 3 / 2 9 3 Il est possible de créer un espace de travail.^{2})^{3/2}}{9{\ sqrt {3}}LEI}}}
où
F {\displaystyle F} = Force agissant sur la poutre l {\displaystyle L} = Longueur de la poutre entre les supports E {\displaystyle E} = module d’élasticité i {\displaystyle I} = Zone moment D’inertie de la section transversale a {\displaystyle A} = Distance de la charge au support le plus proche (I.,le.,am peut être calculé en utilisant:
δ x = q x 24 E I ( L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24ei}}(l^{3}-2LX^{2}+x^{3})}
changement de LengthEdit
où:
Δ l {\displaystyle \Delta l} = changement de longueur (toujours négatif) θ x {\displaystyle \THETA _{x}} = fonction de pente (dérivée première de δ x {\displaystyle \Delta _{X}} ) δ L = − 1 2 ∫ 0 l ( θ ( x ) ) 2 D x {\displaystyle \Delta l=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{l}(\THETA (x))^{2}dx}
Si le faisceau est uniforme et que la déflexion en tout point est connue, cela peut être calculé sans connaître d’autres propriétés du faisceau.,