divisibilidad por 2
Primero, tome cualquier número (para este ejemplo será 376) y anote el último dígito en el número, descartando los otros dígitos. Luego tome ese dígito (6) mientras ignora el resto del número y determine si es divisible por 2. Si es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 2.,
Ejemplo
- 376 (El número original)
- 37 6 (Toma el último dígito)
- 6 ÷ 2 = 3 (Verifique para ver si el último dígito es divisible por 2)
- 376 ÷ 2 = 188 (Si el último dígito es divisible por 2, entonces el número entero es divisible por 2)
Divisibilidad por 3 o 9
en Primer lugar, tomar cualquier número (para este ejemplo será 492) y sumar cada dígito en el número (4 + 9 + 2 = 15). Luego tome esa suma (15) y determine si es divisible por 3. El número original es divisible por 3 (o 9) si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3 (o 9).,
agregar los dígitos de un número hacia arriba, y luego repetir el proceso con el resultado hasta que solo quede un dígito, dará el resto del número original Si se dividió por nueve (a menos que ese solo dígito sea nueve en sí, en cuyo caso el número es divisible por nueve y el resto es cero).,
esto puede generalizarse a cualquier sistema posicional estándar, en el que el divisor en cuestión se convierte en uno menos que la raíz; por lo tanto, en base-Doce, los dígitos sumarán el resto del número original Si se divide por once, y los números son divisibles por once solo si la suma de dígitos es divisible por once.
si un número es una multiplicación de 3 dígitos consecutivos idénticos en cualquier orden, entonces ese número siempre es divisible por 3. Esto es útil para cuando el número tiene la forma de (n × (n − 1) × (n + 1))
Ejemplo.,
- 492 (el número original)
- 4 + 9 + 2 = 15 (suma cada dígito individual)
- 15 es divisible por 3 en cuyo punto podemos parar. Alternativamente, podemos continuar usando el mismo método si el número sigue siendo demasiado grande:
- 1 + 5 = 6 (Agregue cada dígito individual)
- 6 ÷ 3 = 2 (Verifique si el número recibido es divisible por 3)
- 492 ÷ 3 = 164 (si el número obtenido usando la regla es divisible por 3, entonces el número entero es divisible por 3)
Ejemplo.,
- 336 (el número original)
- 6 × 7 × 8 = 336
- 336 ÷ 3 = 112
divisibilidad por 4
La regla básica para la divisibilidad por 4 es que si el número formado por los dos últimos dígitos de un número es divisible por 4, El número original es divisible por 4; Esto se debe a que 100 es divisible por 4 y, por lo tanto, suma cientos, miles, etc. es simplemente agregar otro número que es divisible por 4. Si cualquier número termina en un número de dos dígitos que sabe que es divisible por 4 (por ejemplo, 24, 04, 08, etc.,), entonces el número entero será divisible por 4 independientemente de lo que esté antes de los dos últimos dígitos.
alternativamente, uno puede simplemente dividir el número por 2, y luego verificar el resultado para encontrar si es divisible por 2. Si lo es, el número original es divisible por 4. Además, el resultado de esta prueba es el mismo que el número original dividido por 4.
Ejemplo.,divisible por 4)
Alternativa de ejemplo
- 1720 (El número original)
- 1720 ÷ 2 = 860 (Dividir el número original por 2)
- 860 ÷ 2 = 430 (Verifique para ver si el resultado es divisible por 2)
- 1720 ÷ 4 = 430 (Si el resultado es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 4)
Divisibilidad por 5
Divisibilidad por 5 es fácilmente determinado por la comprobación de que el último dígito en el número (475), y ver si es 0 o 5., Si el último número es 0 o 5, el número entero es divisible por 5.
si el último dígito en el número es 0, entonces el resultado serán los dígitos restantes multiplicados por 2. Por ejemplo, el número 40 termina en un cero (0), así que tome los dígitos restantes (4) y multiplíquelo por dos (4 × 2 = 8). El resultado es el mismo que el resultado de 40 dividido por 5(40/5 = 8).
Ejemplo.,nal número dividido por 5)
Si el último dígito es 5
- 85 (El número original)
- 8 5 (Toma el último dígito del número, y comprobar si es 0 o 5)
- 8 5 (Si es 5, tomar los dígitos restantes, descartando el último)
- 8 × 2 = 16 (Multiplicar el resultado por 2)
- 16 + 1 = 17 (sumar 1 al resultado)
- 85 ÷ 5 = 17 (El resultado es el mismo que el número original dividido por 5)
Divisibilidad por 6
Divisibilidad por 6 se determina mediante la comprobación de que el número original para ver si es un número par (divisible por 2) y divisible por 3., Esta es la mejor prueba para usar.
si el número es divisible por seis, tome el número original (246) y divídalo por dos (246 ÷ 2 = 123). Luego, tome ese resultado y divídalo por tres (123 ÷ 3 = 41). Este resultado es el mismo que el número original dividido por seis (246 ÷ 6 = 41).
Ejemplo.,
regla General
- 324 (El número original)
- 324 ÷ 3 = 108 (Verifique para ver si el número es divisible por 3)
- 324 ÷ 2 = 162 O 108 ÷ 2 = 54 (Verifique para ver si el número original o el resultado de la ecuación anterior es divisible por 2)
- 324 ÷ 6 = 54 (Si cualquiera de las pruebas en el último paso son verdaderas, entonces el número original es divisible por 6., Además, el resultado de la segunda prueba devuelve el mismo resultado que el número original dividido por 6)
encontrar un resto de un número cuando se divide por 6 (1, -2, -2, -2, -2, y -2 continúa para el resto) ningún período. — Secuencia de magnitud mínima(1, 4, 4, 4, 4, y 4 continúa para el resto) sequence secuencia positiva multiplique el dígito más a la derecha por el dígito más a la izquierda en la secuencia y multiplique el segundo dígito más a la derecha por el segundo dígito más a la izquierda en la secuencia y así sucesivamente. A continuación, calcular la suma de todos los valores y tomar el resto en la división por 6.,
ejemplo: ¿cuál es el resto cuando 1036125837 se divide por 6?
multiplicación del dígito más a la derecha = 1 × 7 = 7 multiplicación del segundo dígito más a la derecha = 3 × -2 = -6 tercer dígito más a la derecha = -16 cuarto dígito más a la derecha = -10 quinto dígito más a la derecha = -4 sexto dígito más a la derecha = -2 séptimo dígito más a la derecha = -12 Octavo dígito más a la derecha = -6 noveno dígito más a la derecha = 0 décimo dígito más a la derecha = -2 suma = -51 -51 Remainder 3 (mod 6) resto = 3
divisibilidad por 7
divisibilidad por 7 puede ser probado por un método recursivo., Un número de la forma 10x + y es divisible por 7 Si y solo si x – 2y es divisible por 7. En otras palabras, reste dos veces el último dígito del número formado por los dígitos restantes. Continúe haciendo esto hasta que se obtenga un número para el que se sepa si es divisible por 7. El número original es divisible por 7 Si y solo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7. Por ejemplo, el número 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; así, puesto que -7 es divisible por 7, 371 es divisible por 7.,
similarmente un número de la forma 10x + y es divisible por 7 Si y solo si x + 5y es divisible por 7. Así que agregue cinco veces el último dígito al número formado por los dígitos restantes, y continúe haciendo esto hasta que se obtenga un número para el que se sepa si es divisible por 7.
Otro método es la multiplicación por 3. Un número de la forma 10x + y tiene el mismo resto cuando se divide por 7 como 3x + y., Uno debe multiplicar el dígito más a la izquierda del número original por 3, sumar el dígito siguiente, tomar el resto cuando se divide por 7, y continuar desde el principio: multiplicar por 3, sumar el dígito siguiente, etc. Por ejemplo, el número 371: 3×3 + 7 = 16 resto 2, y 2×3 + 1 = 7. Este método se puede utilizar para encontrar el resto de la división por 7.
este método se puede simplificar eliminando la necesidad de multiplicar. Todo lo que se necesitaría con esta simplificación es memorizar la secuencia anterior (132645…), y para sumar y restar, pero siempre trabajando con números de un dígito.,
La simplificación es la siguiente:
- tome por ejemplo el número 371
- cambie todas las ocurrencias de 7, 8 o 9 a 0, 1 y 2, respectivamente. En este ejemplo, obtenemos: 301. Este segundo paso se puede omitir, excepto el dígito más a la izquierda, pero seguirlo puede facilitar los cálculos más adelante.
- Ahora convierta el primer dígito (3) en el siguiente dígito en la secuencia 13264513… En nuestro Ejemplo, 3 se convierte en 2.,
- agregue el resultado del paso anterior (2) al segundo dígito del número, y sustituya el resultado por ambos dígitos, dejando todos los dígitos restantes sin modificar: 2 + 0 = 2. Así que 301 se convierte en 21.
- repita el procedimiento hasta que tenga un múltiplo reconocible de 7, o para asegurarse, un número entre 0 y 6. Por lo tanto, a partir de 21 (que es un múltiplo reconocible de 7), tome el primer dígito (2) y conviértalo en el siguiente en la secuencia anterior: 2 se convierte en 6. Luego agregue esto al segundo dígito: 6 + 1 = 7.,
- si en algún punto el primer dígito es 8 o 9, estos se convierten en 1 o 2, respectivamente. Pero si es un 7 debe convertirse en 0, solo si no le siguen otros dígitos. De lo contrario, simplemente debería eliminarse. Esto se debe a que 7 se habría convertido en 0, y los números con al menos dos dígitos antes del punto decimal no comienzan con 0, Lo cual es inútil. De acuerdo con esto, nuestro 7 se convierte en 0.
si a través de este procedimiento se obtiene un 0 o cualquier múltiplo reconocible de 7, entonces el número original es un múltiplo de 7., Si obtiene cualquier número del 1 al 6, eso indicará cuánto debe restar del número original para obtener un múltiplo de 7. En otras palabras, encontrará el resto de dividir el número por 7. Por ejemplo, tome el número 186:
- Primero, cambie el 8 a 1: 116.
- Ahora, cambie 1 por el siguiente dígito en la secuencia (3), añádalo al segundo dígito y escriba el resultado en lugar de ambos: 3 + 1 = 4. Así que 116 se convierte ahora en 46.
- Repita el procedimiento, ya que el número es mayor que 7. Ahora, 4 se convierte en 5, que se debe agregar a 6. Eso es 11.,
- repita el procedimiento una vez más: 1 se convierte en 3, que se agrega al segundo dígito (1): 3 + 1 = 4.
Ahora tenemos un número menor que 7, y este número (4) es el resto de dividir 186/7. Así que 186 menos 4, que es 182, debe ser un múltiplo de 7.
Nota: La razón por la que esto funciona es que si tenemos: a+b=c y b es un múltiplo de cualquier número dado n, entonces a y c producirán necesariamente el mismo resto cuando se divide por n. En otras palabras, en 2 + 7 = 9, 7 es divisible por 7. Así que 2 y 9 deben tener el mismo recordatorio cuando se divide por 7. El resto es 2.,
por lo tanto, si un número n es un múltiplo de 7 (es decir, el resto de n/7 es 0), entonces sumar (o restar) múltiplos de 7 no puede cambiar esa propiedad.
lo que hace este procedimiento, como se explicó anteriormente para la mayoría de las reglas de divisibilidad, es simplemente restar poco a poco múltiplos de 7 del número original hasta llegar a un número lo suficientemente pequeño como para que recordemos si es un múltiplo de 7. Si 1 se convierte en un 3 en la siguiente posición decimal, eso es lo mismo que convertir 10×10N en un 3×10N., Y eso es realmente lo mismo que restar 7×10N (claramente un múltiplo de 7) de 10×10N.
del mismo modo, cuando se convierte un 3 en un 2 en la siguiente posición decimal, se está convirtiendo 30×10N en 2×10N, que es lo mismo que restar 30×10N−28×10N, y esto es otra vez restar un múltiplo de 7. La misma razón se aplica para el resto de las conversiones:
- 20×10n − 6×10n=14×10n
- 60×10n − 4×10n=56×10n
- 40×10n − 5×10n=35×10n
- 50×10n − 1×10n=49×10n
Primer ejemplo del método
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. Respuesta: 1050 es divisible por 7.,
segundo método ejemplo
1050 → 0501 (inverso) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicar y sumar). Respuesta: 1050 es divisible por 7.
método védico de divisibilidad por osculación
la divisibilidad por siete puede ser probada por multiplicación por el Ekhādika. Convierta el divisor siete a la familia nueves multiplicando por siete. 7×7=49. Agrega uno, suelta el dígito de unidades y, toma el 5, El Ekhādika, como el Multiplicador. Empieza por la derecha. Multiplique por 5, Agregue el producto al siguiente dígito a la izquierda. Ponga ese resultado en una línea debajo de ese dígito., Repita ese método de multiplicar el dígito de unidades por cinco y agregar ese producto al número de decenas. Agregue el resultado al siguiente dígito a la izquierda. Anote ese resultado debajo del dígito. Continúa hasta el final. Si el resultado final es cero o un múltiplo de siete, entonces sí, el número es divisible por siete. De lo contrario, no lo es. Esto sigue el ideal védico, la notación de una línea.,
método védico ejemplo:
Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES
método Pohlman–Mass de divisibilidad por 7
El método Pohlman–Mass proporciona una solución rápida que puede determinar si la mayoría de los enteros son divisibles por siete en tres pasos o menos. Este método podría ser útil en una competencia de matemáticas como MATHCOUNTS, donde el tiempo es un factor para determinar la solución sin una calculadora en la ronda Sprint.
paso A: si el entero es 1.000 o menos, reste dos veces el último dígito del número formado por los dígitos restantes., Si el resultado es un múltiplo de siete, entonces también lo es el número original (y viceversa). Por ejemplo:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO
debido a que 1,001 es divisible por siete, se desarrolla un patrón interesante para conjuntos repetidos de 1, 2 o 3 dígitos que forman números de 6 dígitos (Se Permiten ceros a la izquierda) en que todos estos números son divisibles por siete. Por ejemplo:
001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
Para todos los ejemplos anteriores, restando los tres primeros dígitos de los tres últimos resultados en un múltiplo de siete., Observe que los ceros a la izquierda pueden formar un patrón de 6 dígitos.
este fenómeno forma la base para los pasos B y C.
Paso B:si el entero está entre 1,001 y un millón, encuentre un patrón repetido de 1, 2 o 3 dígitos que forme un número de 6 dígitos que esté cerca del entero (Se Permiten ceros a la izquierda y puede ayudarlo a visualizar el patrón). Si la diferencia positiva es menor que 1,000, aplique el paso A. Esto se puede hacer restando los primeros tres dígitos de los últimos tres dígitos., Por ejemplo:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES
el hecho de que 999,999 es un múltiplo de 7 se puede usar para determinar la divisibilidad de enteros mayores a un millón reduciendo el entero a un número de 6 dígitos que se puede determinar usando el PASO B. Esto se puede hacer fácilmente agregando los dígitos a la izquierda de los seis primeros a los seis últimos y seguir con el paso A.
Paso C:si el entero es mayor que un millón, reste múltiplo más cercano de 999,999 y luego aplique el PASO B. Para números aún más grandes, use conjuntos más grandes como 12 dígitos (999,999,999,999) y así sucesivamente., Luego, divida el entero en un número más pequeño que se puede resolver usando el PASO B. por ejemplo:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES
esto permite agregar y restar conjuntos alternos de tres dígitos para determinar la divisibilidad por siete.,ejemplos de ng:
Pohlman–método de masa de divisibilidad por 7, ejemplos:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES
multiplicación por 3 método de divisibilidad por 7, ejemplos:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES
encontrar el resto de un número cuando se divide por 7 dígito por el dígito más a la izquierda en la secuencia y multiplicar el segundo dígito más a la derecha por el segundo dígito más a la izquierda en la secuencia y así sucesivamente y así para., Siguiente, calcular la suma de todos los valores y tomar el módulo de 7.ejemplo: ¿cuál es el resto cuando 1036125837 se divide por 7?,
multiplicación del dígito más a la derecha = 1 × 7 = 7
multiplicación del segundo dígito más a la derecha = 3 × 3 = 9
tercer dígito más a la derecha = 8 × 2 = 16
cuarto dígito más a la derecha = 5 × -1 = -5
quinto dígito más a la derecha = 2 × -3 = -6
sexto dígito más a la derecha = 1 × -2 = -2
séptimo dígito más a la derecha = 6 × 1 = 6
Octavo dígito más a la derecha = 3 × 3 = 9
noveno dígito br>décimo dígito a la derecha = 1 × -1 = -1
suma = 33
33 módulo 7 = 5
resto = 5
par de dígitos método de divisibilidad por 7
este método utiliza 1, -3, 2 patrón en los pares de dígitos., Es decir, la divisibilidad de cualquier número por siete se puede probar separando primero el número en pares de dígitos, y luego aplicando el algoritmo en pares de tres dígitos (seis dígitos). Cuando el número es menor que seis dígitos, a continuación, llenar cero a la derecha hasta que haya seis dígitos. Cuando el número sea mayor que seis dígitos, repita el ciclo en el siguiente grupo de seis dígitos y luego agregue los resultados. Repita el algoritmo hasta que el resultado sea un número pequeño. El número original es divisible por siete si y solo si el número obtenido usando este algoritmo es divisible por siete., Este método es especialmente adecuado para grandes números.
Ejemplo 1:
el número a probar es 157514.Primero separamos el número en tres pares de dígitos: 15, 75 y 14.
entonces aplicamos el algoritmo: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
debido a que el resultado 182 es menos de seis dígitos, añadimos cero a la derecha hasta que es de seis dígitos.
entonces aplicamos nuestro algoritmo de nuevo: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42
El resultado -42 es divisible por siete, por lo que el número original 157514 es divisible por siete.
Ejemplo 2:
el número a probar es 15751537186.,
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
El resultado -77 es divisible por siete, por lo que el número original 15751537186 es divisible por siete.
otro método de par de dígitos de divisibilidad por 7
método
Este es un método no recursivo para encontrar el resto dejado por un número al dividir por 7:
- separar el número en pares de dígitos a partir del lugar de las unidades. Anteponga el número con 0 para completar el par final si es necesario.
- calcular los restos dejados por cada par de dígitos al dividir por 7.,
- multiplique los restos con el Multiplicador apropiado de la secuencia 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : El resto del par de dígitos que consiste en un lugar y diez lugar debe multiplicarse por 1, cientos y miles por 2, diez miles y cientos de miles por 4, millones y diez millones de nuevo por 1 y así sucesivamente.
- calcular los restos dejados por cada producto al dividir por 7.
- Añadir estos restos.
- El resto de la suma cuando se divide por 7 es el resto del número dado cuando se divide por 7.,
Por ejemplo:
El número de 194,536 deja un resto de 6 de dividir por 7.
el número 510,517,813 deja un resto de 1 al dividir por 7.
Prueba de corrección del método
el método se basa en la observación de que 100 deja un resto de 2 cuando se divide por 7. Y como estamos dividiendo el número en pares de dígitos, esencialmente tenemos potencias de 100.,
1 mod 7 = 1
100 mod 7 = 2
10,000 mod 7 = 2^2 = 4
1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1
10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2
1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4
Y así sucesivamente.
la corrección del método se establece mediante la siguiente cadena de igualdades:
Sea N El número dado a 2 N A 2 n − 1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\overline {a_{2N}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}} .
a 2 n A 2 n-1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2N}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}
= mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}
a= ∑ k = 1 n ( a 2 k 2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}
a= ∑ k = 1 n ( a 2 k 2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n} a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}
Divisibilidad por 13
Multiplicar el derecho de la mayoría de los dígitos del número de la izquierda de la mayoría de número en la secuencia mostrada anteriormente y la segunda a la derecha dígito de más a la izquierda en segundo lugar la mayoría de los dígitos de un número en la secuencia., El ciclo continúa.
ejemplo: ¿cuál es el resto cuando 321 se divide por 13?
usando la primera secuencia,
Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
resto = -17 mod 13 = 9