Astronomía

aproximadamente en el momento en que Galileo comenzaba sus experimentos con cuerpos en caída, los esfuerzos de otros dos científicos avanzaron dramáticamente nuestra comprensión de los movimientos de los planetas., Estos dos astrónomos fueron el observador Tycho Brahe y el matemático Johannes Kepler. Juntos, colocaron las especulaciones de Copérnico sobre una base matemática sólida y allanaron el camino para el trabajo de Isaac Newton en el siglo siguiente.

El Observatorio de Tycho Brahe

tres años después de la publicación de Copérnico’ De Revolutionibus, Tycho Brahe nació en una familia de la nobleza danesa. Desarrolló un interés temprano en la astronomía y, como un hombre joven, hizo observaciones astronómicas significativas., Entre ellos estaba un estudio cuidadoso de lo que ahora sabemos que era una estrella en explosión que se encendió hasta un gran brillo en el cielo nocturno. Su creciente reputación le valió el patrocinio del rey danés Federico II, y a la edad de 30 años, Brahe fue capaz de establecer un observatorio astronómico en la isla de Hven del Mar del Norte (Figura 1). Brahe fue el último y más grande de los observadores pre-telescópicos en Europa.

Figura 1: Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630)., (a) un grabado estilizado muestra a Tycho Brahe usando sus instrumentos para medir la altitud de los objetos celestes sobre el horizonte. El gran instrumento curvado en primer plano le permitió medir ángulos precisos en el cielo. Tenga en cuenta que la escena incluye indicios de la grandeza del Observatorio de Brahe en Hven. (B) Kepler fue un matemático y astrónomo alemán. Su descubrimiento de las leyes básicas que describen el movimiento planetario colocó la cosmología heliocéntrica de Copérnico sobre una base matemática firme.,

en Hven, Brahe hizo un registro continuo de las posiciones del sol, la Luna y los planetas durante casi 20 años. Sus extensas y precisas observaciones le permitieron notar que las posiciones de los planetas variaban de las dadas en las tablas publicadas, que se basaban en el trabajo de Ptolomeo. Estos datos eran extremadamente valiosos, pero Brahe no tenía la capacidad de analizarlos y desarrollar un modelo mejor que el que Ptolomeo había publicado. Se inhibió aún más porque era un tipo extravagante y cascarrabias, y acumuló enemigos entre los funcionarios del Gobierno., Cuando su patrón, Federico II, murió en 1597, Brahe perdió su base política y decidió abandonar Dinamarca. Se estableció en Praga, donde se convirtió en astrónomo de la corte del emperador Rodolfo de Bohemia. Allí, en el año antes de su muerte, Brahe encontró a un joven matemático más capaz, Johannes Kepler, para ayudarlo a analizar sus extensos datos planetarios.

Johannes Kepler

Johannes Kepler nació en una familia pobre en la provincia alemana de Württemberg y vivió gran parte de su vida en medio de la agitación de la Guerra de los Treinta Años (Véase la Figura 1)., Asistió a la Universidad de Tubinga y estudió para una carrera teológica. Allí, aprendió los principios del sistema copernicano y se convirtió a la hipótesis heliocéntrica. Finalmente, Kepler fue a Praga para servir como asistente de Brahe, quien lo puso a trabajar tratando de encontrar una teoría satisfactoria del movimiento planetario, una que fuera compatible con la larga serie de observaciones hechas en Hven., Brahe era reacio a proporcionar a Kepler mucho material en cualquier momento por temor a que Kepler descubriera los secretos del movimiento universal por sí mismo, robándole así a Brahe parte de la gloria. Solo después de la muerte de Brahe en 1601 Kepler obtuvo la posesión completa de los registros de valor incalculable. Su estudio ocupó la mayor parte del tiempo de Kepler durante más de 20 años.

a través de su análisis de los movimientos de los planetas, Kepler desarrolló una serie de principios, ahora conocidos como las tres leyes de Kepler, que describían el comportamiento de los planetas en función de sus trayectorias a través del espacio., Las dos primeras leyes del movimiento planetario se publicaron en 1609 en la nueva Astronomía. Su descubrimiento fue un paso profundo en el desarrollo de la ciencia moderna.

Las Dos Primeras Leyes del Movimiento Planetario

Figura 2: Secciones Cónicas. El círculo, Elipse, Parábola e hipérbola están formados por la intersección de un plano con un cono. Esta es la razón por la que tales curvas se llaman secciones cónicas.

la trayectoria de un objeto a través del espacio se llama su órbita., Kepler inicialmente asumió que las órbitas de los planetas eran círculos, pero hacerlo no le permitió encontrar órbitas que fueran consistentes con las observaciones de Brahe. Trabajando con los datos de Marte, finalmente descubrió que la órbita de ese planeta tenía la forma de un círculo algo aplanado, o elipse. Junto al círculo, la elipse es el tipo más simple de curva cerrada, perteneciente a una familia de curvas conocidas como secciones cónicas (Figura 2).

Puede recordar de las clases de matemáticas que en un círculo, el centro es un punto especial., La distancia desde el centro a cualquier parte del círculo es exactamente la misma. En una elipse, la suma de la distancia de dos puntos especiales dentro de la elipse a cualquier punto de la elipse es siempre la misma. Estos dos puntos dentro de la elipse se llaman sus focos (singular: foco), una palabra inventada para este propósito por Kepler.

esta propiedad sugiere una forma sencilla de dibujar una elipse (Figura 3). Envolvemos los extremos de un bucle de cuerda alrededor de dos tachuelas empujadas a través de una hoja de papel en un tablero de dibujo, de modo que la cuerda esté floja., Si empujamos un lápiz contra la cadena, haciendo que la cuerda tensa y, a continuación, deslice el lápiz contra la cuerda alrededor de las tachuelas, la curva que resulta es una elipse. En cualquier punto donde el lápiz puede ser, la suma de las distancias desde el lápiz a las dos tachuelas es una longitud constante—la longitud de la cuerda. Las tachuelas están en los dos focos de la elipse.

el diámetro más ancho de la elipse se llama su eje mayor. La mitad de esta distancia, es decir, la distancia desde el Centro de la elipse hasta un extremo, es el eje semimayor, que generalmente se usa para especificar el tamaño de la elipse., Por ejemplo, el eje semimayor de la órbita de Marte, que es también la distancia promedio del planeta desde el sol, es de 228 millones de kilómetros.

Figura 3: Dibujo de una Elipse. (a) Podemos construir una elipse empujando dos tachuelas (los objetos blancos) en un pedazo de papel en un tablero de dibujo, y luego colocando una cuerda alrededor de las tachuelas. Cada tachuela representa un foco de la elipse, siendo una de las tachuelas el sol. Estira la cuerda con fuerza usando un lápiz, y luego mueve el lápiz alrededor de las tachuelas., La longitud de la cuerda sigue siendo la misma, de modo que la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es siempre constante. (b) en esta ilustración, cada eje semimayor se denota por a. la distancia 2a se llama el eje mayor de la elipse.

la forma (redondez) de una elipse depende de lo cerca que estén los dos focos, en comparación con el eje mayor. La relación entre la distancia entre los focos y la longitud del eje mayor se denomina excentricidad de la elipse.,

Si los focos (o tachuelas) se mueven a la misma ubicación, la distancia entre los focos sería cero. Esto significa que la excentricidad es cero y la elipse es solo un círculo; por lo tanto, un círculo puede llamarse una elipse de excentricidad cero. En un círculo, el eje semimayor sería el radio.

a continuación, podemos hacer elipses de varias elongaciones (o longitudes extendidas) variando el espaciado de las tachuelas (siempre y cuando no estén más separadas que la longitud de la cuerda). Cuanto mayor es la excentricidad, más alargada es la elipse, hasta una excentricidad máxima de 1.,0, cuando la elipse se vuelve «plana», el otro extremo de un círculo.

El tamaño y la forma de una elipse están completamente especificados por su eje semimayor y su excentricidad. Usando los datos de Brahe, Kepler encontró que Marte tiene una órbita elíptica, con el sol en un foco (el otro foco está vacío). La excentricidad de la órbita de Marte es de solo 0.1; su órbita, dibujada a escala, sería prácticamente indistinguible de un círculo, pero la diferencia resultó ser crítica para comprender los movimientos planetarios.,

Kepler generalizó este resultado en su primera ley y dijo que las órbitas de todos los planetas son elipses. He aquí un momento decisivo en la historia del pensamiento humano: no era necesario tener solo círculos para tener un cosmos aceptable. El universo podría ser un poco más complejo de lo que los filósofos griegos habían querido que fuera.

La segunda ley de Kepler trata de la velocidad con la que cada planeta se mueve a lo largo de su elipse, también conocida como su velocidad orbital., Trabajando con las observaciones de Brahe de Marte, Kepler descubrió que el planeta se acelera a medida que se acerca al sol y se ralentiza a medida que se aleja del Sol. Expresó la forma precisa de esta relación imaginando que el sol y Marte están conectados por una línea recta y elástica. Cuando Marte está más cerca del Sol (posiciones 1 y 2 en la Figura 4), la línea elástica no se estira tanto, y el planeta se mueve rápidamente. Más lejos del sol, como en las posiciones 3 y 4, la línea se estira mucho, y el planeta no se mueve tan rápido., A medida que Marte viaja en su órbita elíptica alrededor del sol, la línea elástica barre las áreas de la elipse a medida que se mueve (las regiones coloreadas en nuestra figura). Kepler encontró que en intervalos iguales de tiempo (t), las áreas barridas en el espacio por esta línea imaginaria son siempre iguales; es decir, el área de la región B de 1 a 2 es la misma que la de la región a de 3 a 4.

si un planeta se mueve en una órbita circular, la línea elástica siempre se estira la misma cantidad y el planeta se mueve a una velocidad constante alrededor de su órbita., Pero, como Kepler descubrió, en la mayoría de las órbitas esa velocidad de un planeta orbitando su estrella (o luna orbitando su planeta) tiende a variar porque la órbita es elíptica.

Figura 4: la Segunda Ley de Kepler: La Ley de Igualdad de Áreas. La velocidad orbital de un planeta que viaja alrededor del sol (el objeto circular dentro de la elipse) varía de tal manera que en intervalos iguales de tiempo (t), una línea entre el sol y un planeta Barre áreas iguales (a y B)., Tenga en cuenta que las excentricidades de las órbitas de los planetas en nuestro sistema solar son sustancialmente menores de lo que se muestra aquí.

La Tercera Ley de Kepler

Las dos primeras leyes de Kepler del movimiento planetario describen la forma de la órbita de un planeta y nos permiten calcular la velocidad de su movimiento en cualquier punto de la órbita. Kepler se alegró de haber descubierto tales reglas fundamentales, pero no satisfacían su búsqueda de comprender plenamente los movimientos planetarios., Quería saber por qué las órbitas de los planetas estaban espaciadas como están y encontrar un patrón matemático en sus movimientos—una «armonía de las esferas» como él lo llamó. Durante muchos años trabajó para descubrir las relaciones matemáticas que rigen el espaciamiento planetario y el tiempo que cada planeta tomó para dar la vuelta al Sol.

en 1619, Kepler descubrió una relación básica para relacionar las órbitas de los planetas con sus distancias relativas del Sol. Definimos el período orbital de un planeta, (P), como el tiempo que le toma a un planeta viajar una vez alrededor del Sol., Además, recuerde que el eje semimayor de un planeta, a, es igual a su distancia promedio del Sol. La relación, ahora conocida como la tercera ley de Kepler, dice que el período orbital de un planeta cuadrado es proporcional al eje semimayor de su órbita cúbica, o

{P}^{2}\propto {a}^{3}

Cuando P (el período orbital) se mide en años, y a se expresa en una cantidad conocida como unidad astronómica (UA), los dos lados de la fórmula no solo son proporcionales, sino que igual. Una UA es la distancia media entre la Tierra y el sol y es aproximadamente igual a 1.,5 × 108 kilómetros. En estas unidades,

{P}^{2} = {a}^{3}

La Tercera Ley de Kepler se aplica a todos los objetos que orbitan el sol, incluida la Tierra, y proporciona un medio para calcular sus distancias relativas desde el sol desde el tiempo que toman en órbita. Veamos un ejemplo específico para ilustrar cuán útil es la tercera ley de Kepler.

por ejemplo, supongamos que usted mide el tiempo que tarda Marte en dar la vuelta al sol (en años terrestres). La tercera ley de Kepler puede ser usada para calcular la distancia promedio de Marte desde el sol. El período orbital de Marte (1.88 años terrestres) al cuadrado, o P2, es 1.,882 = 3.53, y de acuerdo con la ecuación para la tercera ley de Kepler, esto es igual al cubo de su semimajor eje, o a3. Entonces, ¿qué número debe ser al cubo para dar 3.53? La respuesta es 1.52 (desde 1.52 × 1.52 × 1.52 = 3.53). Por lo tanto, el eje semimajor de Marte en unidades astronómicas debe ser de 1,52 UA. En otras palabras, para dar la vuelta al sol en poco menos de dos años, Marte debe estar cerca del 50% (la mitad de nuevo) de lo que está la Tierra.,

Las Tres Leyes del movimiento planetario de Kepler se pueden resumir de la siguiente manera:

• La primera ley de Kepler: cada planeta se mueve alrededor del sol en una órbita que es una elipse, con el sol en un foco de la elipse.
• La segunda ley de Kepler: la línea recta que une un planeta y el sol Barre áreas iguales en el espacio en intervalos iguales de tiempo.
• Tercera Ley de Kepler: el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del eje semimayor de su órbita.,

Las Tres Leyes de Kepler proporcionan una descripción geométrica precisa del movimiento planetario dentro del marco del sistema copernicano. Con estas herramientas, fue posible calcular las posiciones planetarias con una precisión muy mejorada. Sin embargo, las leyes de Kepler son puramente descriptivas: no nos ayudan a entender qué fuerzas de la naturaleza limitan a los planetas a seguir este conjunto particular de reglas. Ese paso fue dejado a Isaac Newton.,

Glosario

unidad astronómica (AU): la unidad de longitud definida como la distancia media entre la Tierra y el sol; esta distancia es de aproximadamente 1.,el período orbital de net es directamente proporcional al cubo del eje semimayor de su órbita

eje mayor: el diámetro máximo de una elipse

órbita: la trayectoria de un objeto que está en revolución sobre otro objeto o punto

período orbital (P): el tiempo que tarda un objeto en viajar una vez alrededor del sol

velocidad orbital: la velocidad a la que un objeto (generalmente un planeta) orbita alrededor de la masa de otro objeto; en el caso de un planeta, la velocidad a la que cada planeta se mueve a lo largo de su elipse

semimajor AXIS: la mitad del eje mayor de una sección cónica, como una elipse