Nummer (Dansk)

tallet 605 i Khmer tal, fra en inskription fra 683 AD. Tidlig brug af nul som decimaltal.Brahmagupta ‘ S br .hmasphu .asiddh .nta er den første bog, der nævner nul som et tal, hvorfor Brahmagupta normalt betragtes som den første til at formulere begrebet nul. Han gav regler for brugen af zero-med negative og positive tal, såsom “nul plus et positivt tal er et positivt tal og et negativt tal plus nul er den negative tal.,”Det Brāhmasphuṭasiddhānta er den tidligst kendte tekst til behandling af nul som et nummer i sin egen ret, snarere end som blot en pladsholder ciffer, der repræsenterer et andet nummer, som var gjort af Babylonierne, eller som et symbol for en manglende mængde, som den er gjort af Ptolemæus og Romerne.

brugen af 0 som et tal skal skelnes fra dets anvendelse som et pladsholdertal i stedværdisystemer. Mange gamle tekster bruges 0. Babyloniske og egyptiske tekster brugte det. Egypterne brugte ordet nfr til at betegne nulbalance i dobbelt bogføringsregnskab., Indiske tekster brugte et sanskritord Shunye eller shunya til at henvise til begrebet tomrum. I matematiktekster refererer dette ord ofte til tallet nul. På samme måde brugte Piniiniini (5.århundrede f. kr.) null-operatøren i Ashtadhyayi, et tidligt eksempel på en algebraisk grammatik for Sanskrit-sproget (se også Pingala).

Der er andre anvendelser af nul før Brahmagupta, selvom dokumentationen ikke er så komplet som i Br .hmasphu .asiddh .nta.,

optegnelser viser, at de gamle grækere syntes usikre på status for 0 som et tal: de spurgte sig selv “Hvordan kan ‘intet’ være noget?”fører til interessante filosofiske og i middelalderen, religiøse argumenter om karakteren og eksistensen af 0 og vakuum. Paradokserne af Eleno af Elea afhænger delvis af den usikre fortolkning af 0. (De gamle grækere stillede endda spørgsmålstegn ved, om 1 var et tal.,)

sent Olmec-folk i den sydlige del af det centrale Mexico begyndte at bruge et symbol for nul, en shell glyph, i den Nye Verden, eventuelt ved 4th århundrede F.KR., men helt sikkert med 40 F.KR., som blev en integreret del af Maya tal og Maya kalenderen. Maya aritmetik brugt base 4 og base 5 skrevet som base 20. George I. S .nche.i 1961 rapporterede en base 4, base 5 “finger” abacus.

Ved 130 AD, Ptolemæus, der er påvirket af Hipparchus og Babylonierne, var ved hjælp af et symbol for 0 (en lille cirkel med en lang overbar) inden for en sexagesimal talsystem ellers bruger alfabetiske græske talord., Fordi det blev brugt alene, ikke som bare en pladsholder, var dette hellenistiske nul Den første dokumenterede brug af et ægte nul i den gamle verden. I senere By .antinske manuskripter af hans syntaks Mathematica (Almagest), hellenistiske nul havde forvandlet til det græske bogstav Omicron (ellers betyder 70).

en anden sand nul blev brugt i tabeller sammen romertal ved 525 (første kendte brug af Dionysius e .iguus), men som et ord, nulla betyder ingenting, ikke som et symbol. Når division produceret 0 som en rest, nihil, også betyder noget, blev brugt., Disse middelalderlige nuller blev brugt af alle fremtidige middelalderlige computister (regnemaskiner af påske). En isoleret brug af deres oprindelige, N, blev brugt i en tabel med romertal af Bede eller en kollega omkring 725, et ægte nulsymbol.

Negative tal Rediger

det abstrakte koncept med negative tal blev anerkendt allerede i 100-50 f.kr. i Kina. De ni kapitler om den matematiske Art indeholder metoder til at finde de områder af tal; røde stænger blev brugt til at betegne positive koefficienter, sort for negativ., Den første reference i et vestligt værk var i det 3.århundrede e. kr. i Grækenland. Diofant henvist til ligningen svarende til 4 + + 20 = 0 (løsningen er negativ) i Arithmetica, siger, at ligningen gav et absurd resultat.

i løbet af 600-tallet var negative tal i brug i Indien til at repræsentere gæld. Diophantus’ tidligere reference blev drøftet mere eksplicit ved Indisk matematiker Brahmagupta, der i Brāhmasphuṭasiddhānta i 628, der bruges negative tal til at producere den generelle form kvadratiske formel, der stadig er i brug i dag., Imidlertid, i det 12. århundrede i Indien, Bhaskara giver negative rødder til kvadratiske ligninger, men siger, at den negative værdi “i dette tilfælde ikke skal tages, for den er utilstrækkelig; folk godkender ikke negative rødder”.

det Europæiske matematikere, for det meste, modstod begrebet negative tal, indtil det 17 århundrede, selv om Fibonacci tilladt negative løsninger i finansielle problemer, hvor de kunne fortolkes som gæld (kapitel 13 i Liber Abaci, 1202) og senere som tab (i Flos)., På samme tid indikerede kineserne negative tal ved at tegne et diagonalt slag gennem det højre mest ikke-nul-ciffer i det tilsvarende positive tal. Den første brug af negative tal i et europæisk værk var af Nicolas Chu .uet i det 15.århundrede. Han brugte dem som eksponenter, men omtalte dem som “absurde tal”.

så sent som i det 18.århundrede var det almindelig praksis at ignorere eventuelle negative resultater, der blev returneret af ligninger under antagelse af, at de var meningsløse, ligesom Ren. Descartes gjorde med negative løsninger i et kartesisk koordinatsystem.,

rationelle tal Rediger

det er sandsynligt, at begrebet fraktionerede tal går til forhistorisk tid. De Gamle Egyptere brugte deres Egyptiske brøkdel notation for rationelle tal i matematiske tekster, såsom Rhind Matematiske Papyrus og Kahun Papyrus. Klassiske græske og indiske matematikere lavede undersøgelser af teorien om rationelle tal som en del af den generelle undersøgelse af talteori. Den bedst kendte af disse er Euclids Elementer, der dateres til omkring 300 F.kr., Af de indiske tekster er den mest relevante Sthananga Sutra, som også dækker talteori som led i en generel undersøgelse af matematik.

begrebet decimal Fraktioner er tæt forbundet med decimal-værdi notation; de to synes at have udviklet sig i tandem. For eksempel, Det er almindeligt, at Jain math sutra inkluderer beregninger af decimal-fraktion tilnærmelser til pi eller kvadratroden af 2. Tilsvarende brugte babyloniske matematiske tekster seksagesimale (base 60) fraktioner med stor frekvens.,

Irrationelle tal Rediger

De tidligste kendte brug af irrationelle tal blev i den Indiske Sulba Sutras, der består mellem 800 og 500 F.KR. Den første eksistens beviser for irrationelle tal, der normalt tilskrives Pythagoras, mere specifikt til den Pythagoræiske Hippasus af Metapontum, der producerede en (sandsynligvis geometriske) bevis for irrationalitet af kvadratroden af 2. Historien går, at Hippasus opdagede irrationelle tal, da de forsøgte at repræsentere kvadratroden af 2 som en brøkdel., Pythagoras troede imidlertid på talets absoluthed og kunne ikke acceptere eksistensen af irrationelle tal. Han kunne ikke modbevise deres eksistens gennem logik, men han kunne ikke acceptere irrationelle tal, og derfor, angiveligt og ofte rapporteret, dømte han Hippasus til døden ved drukning for at hindre spredning af denne foruroligende nyhed.

det 16.århundrede bragte den endelige europæiske accept af negative integrerede og fraktionerede tal. Ved det 17. århundrede brugte matematikere generelt decimalfraktioner med moderne notation., Det var imidlertid ikke, indtil det 19 århundrede, at matematikere adskilt irrationals i algebraiske og transcendentale dele, og endnu en gang påtog den videnskabelige undersøgelse af irrationals. Det var forblevet næsten sovende siden Euclid. I 1872, offentliggørelse af teorier om Karl Weierstrass (af hans elev E. Kossak), Eduard Heine, Georg Cantor, og Richard Dedekind blev bragt om. I 1869 havde Charles Mrayray taget samme udgangspunkt som Heine, men teorien henvises generelt til året 1872., Weieierstrass ‘s metode blev helt fremsat af Salvatore Pincherle (1880), og Dedekind’ s har modtaget yderligere fremtrædende plads gennem forfatterens senere arbejde (1888) og godkendelse af Paul Garverimaskiner (1894). Weieierstrass, Cantor, og Heine basere deres teorier om uendelig række, mens Dedekind grundlægger Hans på tanken om et snit (Schnitt) i systemet med reelle tal, der adskiller alle rationelle tal i to grupper med visse karakteristiske egenskaber. Emnet har modtaget senere bidrag i hænderne på Kroneierstrass, Kroneckers, og M .ray.,

søg for rødder af quintic og højere grad ligninger var en vigtig udvikling, Abel–Ruffini sætning (Ruffini 1799, Abel 1824) viste, at de ikke kunne løses ved radikaler (formler, der involverer kun aritmetiske operationer og rødder). Derfor var det nødvendigt at overveje det bredere sæt af algebraiske tal (alle løsninger på polynomielle ligninger). Galois (1832) knyttet polynomielle ligninger til gruppe teori giver anledning til området Galois teori.,

Fortsat fraktioner, der er tæt relateret til irrationelle tal (og på grund af Cataldi, 1613), fik opmærksomhed i hænderne på Euler, og ved åbningen af det 19. århundrede blev bragt i forgrunden gennem skrifter af Joseph Louis Lagrange. Andre bemærkelsesværdige bidrag har gjort Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), og Günther (1872). Ramus først forbundet emnet med determinanter, hvilket resulterer, med de efterfølgende bidrag fra Heine, Mbbius, og G .nther, i teorien om Kettenbruchdeterminanten.,

Transcendental numre og reals Rediger

eksistensen af transcendente tal blev etableret af Liouville (1844, 1851). Hermite vist i 1873, at e er transcendental og Lindemann vist i 1882, At π er transcendental. Endelig, Cantor viste, at mængden af alle reelle tal er uncountably uendelig, men mængden af alle algebraiske tal er countably uendeligt, så der er en uncountably uendelig række af transcendente tal.,

Infinity-og infinitesimals Rediger

De tidligste kendte opfattelse af matematisk uendelighed vises i Yajur Veda, som er en gammel Indisk script, som på et tidspunkt siger, “Hvis du fjerner en del fra infinity-eller tilføjer en del til uendelighed, stadig, hvad der er tilbage, er uendelig.”Infinity var et populært emne for filosofisk undersøgelse blandt Jain-matematikere ca. 400 F.kr. De skelnet mellem fem typer uendelighed: uendelig i en og to retninger, uendelig i området, uendelig overalt og uendelig evigt.,Aristoteles definerede den traditionelle vestlige opfattelse af matematisk uendelighed. Han skelnede mellem faktisk uendelighed og potentiel uendelighed—den generelle konsensus er, at kun sidstnævnte havde sand værdi. Galileo Galileis to nye videnskaber diskuterede ideen om en-til-en-korrespondance mellem uendelige sæt. Men det næste store fremskridt i teorien blev foretaget af Georg Cantor; i 1895 udgav han en bog om hans nye sæt teori, der indfører blandt andet transfinite tal og formulere kontinuum hypotese.,i 1960 ‘ erne viste Abraham Robinson, hvor uendeligt store og uendelige tal kan defineres strengt og bruges til at udvikle området for ikke-standardanalyse. Systemet med hyperreal numre repræsenterer en stringent metode til behandling af de ideer om uendelige og uendeligt lille tal, der var blevet brugt henkastet af matematikere, videnskabsmænd og ingeniører, lige siden opfindelsen af infinitesimale calculus af Newton og Leibniz.,

en moderne geometrisk version af uendelighed er givet ved Projektiv geometri, der introducerer “ideelle punkter ved uendelighed”, en for hver rumlig retning. Hver familie af parallelle linjer i en given retning postuleres for at konvergere til det tilsvarende ideelle punkt. Dette er tæt forbundet med ideen om forsvindingspunkter i perspektivtegning.,

Komplekse tal Rediger

De tidligste flygtig reference til kvadratrødder af negative tal forekom i arbejde, opfinder, matematiker og Heron af Alexandria i 1. århundrede E.KR., da han betragtes som den mængde af en umulig frustum af en pyramide. De blev mere fremtrædende, når du i det 16 århundrede lukkede formler for rødderne af tredje og fjerde grad polynomier blev opdaget af italienske matematikere som Niccolò Fontana Tartaglia og Gerolamo Cardano., Det blev hurtigt indset, at disse formler, selvom man kun var interesseret i reelle løsninger, undertiden krævede manipulation af firkantede rødder af negative tal.

Dette var dobbelt foruroligende, da de ikke engang overvejede negative tal at være på fast grund på det tidspunkt. Da Ren.Descartes opfandt udtrykket “imaginær” for disse mængder i 1637, mente han det som nedsættende. (Se imaginært tal for en diskussion af” virkeligheden ” af komplekse tal.,) En yderligere kilde til forvirring var, at ligningen

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

syntes capriciously i strid med den algebraiske identitet

a b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

der er gyldigt for positive reelle tal a og b, og blev også brugt i de komplekse beregninger med en af a, b positiv og den anden negativ., Forkert brug af denne identitet, og den relaterede identitet

1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}

i tilfælde, hvor både a og b er negative selv plaget Euler. Denne vanskelighed førte ham til sidst til konventionen om at bruge det specielle symbol i i stedet for-1 {\displaystyle {\S .rt {-1}}} for at beskytte mod denne fejl.

det 18.århundrede oplevede Abraham de Moivre og Leonhard Eulers arbejde., De Moivre ‘s formel (1730) hedder det:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\synd \theta )^{n}=\cos n\theta +i\synd n\theta }

mens Euler’ s formel for kompleks analyse (1748) gav os:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . det er en god id., at du har en god id..}

eksistensen af komplekse tal var ikke helt accepteret indtil Caspar .essel beskrevet den geometriske fortolkning i 1799., Carl Friedrich Gauss genopdagede og populariserede det flere år senere, og som følge heraf fik teorien om komplekse tal en bemærkelsesværdig ekspansion. Id .en om den grafiske repræsentation af komplekse numre var dukket op, men så tidligt som 1685, i .allis ‘ s de algebra tractatus.

også i 1799, Gauss forudsat den første generelt accepterede bevis for den grundlæggende sætning i algebra, der viser, at hver polynomium over de komplekse tal har et komplet sæt af løsninger på dette område., Den generelle accept af teorien om komplekse tal skyldes arbejdet i Augustin Louis Cauchy og Niels Henrik Abel, og især sidstnævnte, der var den første til dristigt at bruge komplekse tal med en succes, der er velkendt.

Gauss studerede komplekse tal af formen a + bi, hvor a og b er integrerede eller rationelle (og jeg er en af de to rødder af22 + 1 = 0). Hans elev, Gotthold Eisenstein, studerede typen A + B., hvor ω er en kompleks rod af33 − 1 = 0., Andre sådanne klasser (kaldet cyclotomic felter) af komplekse tal stammer fra rødderne af enhed xk − 1 = 0 for højere værdier af k. Denne generalisering er i høj grad på grund af Ernst Kummer, der også opfandt ideel numre, som blev udtrykt i geometriske enheder af Felix Klein i 1893.

i 1850 Victor ale .andre Puiseu.tog det centrale skridt for at skelne mellem poler og gren punkter, og indført begrebet væsentlige ental punkter. Dette førte til sidst til begrebet det udvidede komplekse plan.,

primtal Rediger

primtal er blevet undersøgt gennem hele historien. Euclid er afsat en bog af Elementer til teorien om primtal; i det han vist infinitude af primtal og den grundlæggende læresætning i aritmetik, og præsenteret den Euklidiske algoritme til at finde den største fælles divisor af to tal.

i 240 F.kr. brugte Eratosthenes sigten til Eratosthenes til hurtigt at isolere primtal. Men de fleste yderligere udvikling af teorien om primtal i Europa går til renæssancen og senere epoker.,

i 1796, Adrien-Marie Legendre conjectured primtal sætning, der beskriver den asymptotiske fordeling af primtal. Andre resultater vedrørende fordelingen af primtal omfatter Eulers bevis for, at summen af de reciprokke værdier af primtal afviger, og Goldbach formodninger, som hævder, at enhver tilstrækkelig stor lige tal er summen af to primtal. Endnu en formodning relateret til fordelingen af primtal er Riemann-hypotesen, formuleret af Bernhard Riemann i 1859., Det primære antal sætning blev endelig vist ved Jac .ues Hadamard og Charles de la Vall .e-Poussin i 1896. Goldbach og Riemann ‘ s formodninger forbliver ubeviste og uberørte.