generelle observationer
sandsynligvis er den mest naturlige tilgang til formel logik gennem ideen om gyldigheden af et argument af den art, der kaldes deduktiv. En deduktiv argumentation kan groft karakteriseres som en, hvor kravet er gjort, at nogle proposition (konklusionen) følger med streng nødvendighed fra nogle andre forslag eller udsagn (lokaler)—dvs, at det ville være inkonsekvent eller selvmodsigende at hævde præmisserne, men benægte konklusionen.,
Hvis en deduktiv argument er at opnå sandheden om sin konklusion, to helt forskellige betingelser skal være opfyldt: for det første konklusion, man skal virkelig følge af lokaler—dvs fradrag af konklusion fra lokalerne skal være logisk korrekt, og for det andet, lokaler, selv skal være sandt. Et argument, der opfylder begge disse betingelser, kaldes lyd., Af disse to betingelser er logician som sådan kun bekymret for den første; den anden, bestemmelsen af sandheden eller forfalskningen af lokalerne, er opgaven med en særlig disciplin eller fælles observation, der passer til argumentets genstand. Når konklusionen af et argument er korrekt deducerbart fra dets lokaler, antages det, at konklusionen fra lokalerne til konklusionen er (deduktivt) gyldig, uanset om lokalerne er sande eller falske., Andre måder at udtrykke det forhold, at en slutning er deductively gyldig, er at sige, at sandheden af de lokaler, giver (eller give) en absolut garanti for sandheden af den konklusion, eller at det ville være en logisk konsekvens (som adskiller sig fra en simpel fejl af virkeligheden) for at antage, at lokalerne var sande, men konklusionen er falsk.
de deduktive slutninger, som formel logik vedrører, er, som navnet antyder, dem, for hvilke gyldighed ikke afhænger af nogen funktioner i deres emne, men af deres form eller struktur. Således, de to slutninger (1) Hver hund er et pattedyr. Nogle quaduadrupeds er hunde. Some nogle pattedyr er pattedyr. og (2) Hver anarkist er en troende i fri kærlighed. Nogle medlemmer af regeringspartiet er anarkister. Some nogle medlemmer af regeringspartiet tror på fri kærlighed., forskellige i emne og kræver derfor forskellige procedurer for at kontrollere sandheden eller forfalskningen af deres lokaler. Men deres gyldighed er sikret ved, hvad de har til fælles—nemlig, at det argument, der hver er af formen(3) for Hvert X er et Y. Nogle af Z ‘er, X’ er. ∴ Nogle af Z ‘er, Y’ er.
Linje i (3) ovenfor, kan siges at være en følgeslutning form, og (1) og (2) er derefter tilfælde af, at antage form. Bogstaverne—3, Y og Z-in (3) markerer de steder, hvor udtryk af en bestemt type kan indsættes., Symboler, der anvendes til dette formål, er kendt som variabler; deres anvendelse er analog med x i algebra, som markerer det sted, hvor et tal kan indsættes. En forekomst af en inferensformular produceres ved at erstatte alle variabler i den med passende udtryk (dvs.dem, der giver mening i sammenhængen) og ved at gøre det ensartet (dvs. ved at erstatte det samme udtryk, hvor den samme variabel gentager sig)., Funktionen ved (3), der garanterer, at alle forekomster af det vil være gyldige, er dens konstruktion på en sådan måde, at enhver ensartet måde at erstatte dens variabler for at gøre lokalerne sande automatisk gør konklusionen sand også, eller med andre ord, at ingen forekomst af det kan have sande lokaler, men en falsk konklusion. I kraft af denne funktion betegnes formen (3) som en gyldig inferensform. I modsætning hertil (4) hver X er en Y. nogle Z ‘er er Y’ er. Some nogle. ‘er er.’ er., er ikke en gyldig inferens formular, for, selv om forekomster af det kan produceres i hvilke lokaler og konklusion er alle sande, forekomster af det kan også produceres, hvor lokalerne er sande, men konklusionen er falsk—f.eks, (5) hver hund er et pattedyr. Nogle bevingede væsener er pattedyr. Some nogle bevingede væsener er hunde.
formel logik som en undersøgelse beskæftiger sig med inferensformer snarere end med særlige tilfælde af dem. En af dens opgaver er at diskriminere mellem gyldige og ugyldige inferensformer og at udforske og systematisere de forhold, der holder blandt gyldige.,
tæt knyttet til ideen om en gyldig inferensformular er den for en gyldig propositionsformular. En proposition form er et udtryk for, hvor forekomster (produceret som før ved en passende og ensartet erstatninger for variabler) er ikke slutninger fra flere udsagn til en konklusion, men snarere udsagn træffes individuelt, og en gyldig proposition form, er et, som alle tilfælde er sandt udsagn. Et simpelt eksempel er(6) intet er både en and og en ikke -.. formel logik beskæftiger sig med proposition formularer samt med inferens former., Undersøgelsen af proposition formularer kan faktisk gøres til også at omfatte inferens formularer på følgende måde: lad lokaler enhver given inferens form (taget sammen) forkortes af alpha (α) og dens konklusion af beta (β). Så er den betingelse, der er anført ovenfor for gyldigheden af den følgeslutning form “α, derfor β” som at sige, at ingen instans af proposition form “α og β”, er sandt—dvs, at hver forekomst af den proposition form(7) Ikke begge: α og β er sandt—eller line (7), fuldt beskrevet, selvfølgelig, er en gyldig proposition form., Undersøgelsen af proposition formularer kan imidlertid ikke på samme måde imødekommes under studiet af inferens former, og så af hensyn til comprehensiveness er det sædvanligt at betragte formel logik som studiet af proposition former. Fordi en logician ‘s håndtering af proposition formularer er på mange måder analoge med en matematiker’ s håndtering af numeriske formler, de systemer, han konstruerer kaldes ofte calculi.
meget af arbejdet i en logician provenuet på et mere abstrakt niveau end den foregående diskussion., Endnu en formel, såsom (3) ovenfor, dog ikke henvise til nogen bestemt genstand, indeholder udtryk som “alle” og “er”, som er tænkt som har en bestemt betydning, og de variabler, der er beregnet til at markere steder for udtryk af en bestemt slags (groft, fælles substantiver eller klasse navne). Det er dog muligt—og til nogle formål er det vigtigt—at studere formler uden at knytte selv denne grad af meningsfuldhed til dem., Opførelsen af et system af logik, i virkeligheden, indebærer to skelnes processer: den ene består i at etablere en symbolsk apparatur—et sæt af symboler, regler for sammensætning af disse sammen i formler og regler for manipulation af disse formler, den anden består i at knytte bestemte betydninger til disse symboler og formler. Hvis kun førstnævnte gøres, systemet siges at være ufortolket, eller rent formelt; hvis sidstnævnte også gøres, systemet siges at blive fortolket., Denne sondring er vigtig, fordi logiske systemer viser sig at have visse egenskaber helt uafhængigt af eventuelle fortolkninger, der kan placeres på dem. Et aksiomatisk system af logik kan tages som et eksempel-dvs. et system, hvor visse uprøvede formler, kendt som aksiomer, er taget som udgangspunkt, og yderligere formler (teoremer) er vist på styrken af disse., Som det vil fremgå senere (se nedenfor Axiomatization af PC), spørgsmålet om, hvorvidt en sekvens af formler i et aksiomatisk system er et bevis eller ej, afhænger udelukkende af, hvor formlerne er taget som aksiomer og på, hvad reglerne er for at udlede sætninger fra aksiomer, og slet ikke på hvad de teoremer eller aksiomer mener. Desuden er et givet ufortolket system generelt i stand til at blive fortolket lige så godt på en række forskellige måder; derfor studerer man ved at studere et ufortolket system den struktur, der er fælles for en række fortolkede systemer., Normalt er en logician, der konstruerer en rent formelle system ikke har en bestemt fortolkning i tankerne, og hans motiv til at konstruere det er den tro, at når denne fortolkning er givet til det, de formler af systemet vil være i stand til at udtrykke sande principper i nogle tanke; men af de ovenfor anførte grunde, blandt andre, han vil normalt tage sig af at beskrive formler og regler for systemet uden henvisning til fortolkning og til at angive som et separat spørgsmål i den fortolkning, at han har i tankerne.,
mange af de ideer, der bruges i udstillingen af formel logik, herunder nogle, der er nævnt ovenfor, rejser problemer, der hører til filosofi snarere end til logik selv. Eksempler er: hvad er den korrekte analyse af begrebet sandhed? Hvad er et forslag, og hvordan er det relateret til den sætning, hvormed den udtrykkes? Er der nogle slags sunde ræsonnementer, der hverken er deduktive eller induktive?, Heldigvis er det muligt at lære at gøre formelle logik uden at have tilfredsstillende svar på sådanne spørgsmål, ligesom det er muligt at gøre matematik uden at besvare spørgsmål, der tilhører den filosofi, matematik, sådan som: Er tal virkelige objekter eller mentale konstruktioner?