delbarhed med 2
først skal du tage et hvilket som helst tal (i dette eksempel vil det være 376) og notere det sidste ciffer i nummeret og kassere de andre cifre. Tag derefter det ciffer (6), mens du ignorerer resten af nummeret og afgør, om det er deleligt med 2. Hvis det er deleligt med 2, er det originale nummer deleligt med 2.,
Eksempel
- 376 (Det oprindelige antal)
- 37 6 (det sidste ciffer)
- 6 ÷ 2 = 3 (Check for at se, om det sidste ciffer divideres med 2)
- 376 ÷ 2 = 188 (Hvis sidste ciffer er deleligt med 2, så de hele tal, der er deleligt med 2)
Delelighed med 3 eller 9
for det Første, tage et vilkårligt antal (i dette eksempel vil det være 492) og tilsættes sammen hvert ciffer i antallet (4 + 9 + 2 = 15). Tag derefter dette beløb (15) og afgøre, om det er deleligt med 3. Det oprindelige tal er deleligt med 3 (eller 9), hvis og kun hvis summen af dets cifre er deleligt med 3 (eller 9).,
tilføjelse af cifrene i et tal op og derefter gentagelse af processen med resultatet, indtil der kun er et ciffer tilbage, vil give resten af det oprindelige nummer, hvis det blev divideret med ni (medmindre det enkelte ciffer er Ni selv, i hvilket tilfælde tallet er deleligt med ni og resten er nul).,
Dette kan generaliseres til enhver standard positionelle system, hvor divisor i spørgsmål så bliver det mindre end radix; således i base-tolv, de cifre, der vil tilføje op til den resterende del af den oprindelige nummer, hvis divideret med elleve, og tal, der er delelige med elleve kun, hvis cifret sum er delelig med eleven.
Hvis et tal er en multiplikation af 3 identiske på hinanden følgende cifre i en vilkårlig rækkefølge, er dette tal altid deleligt med 3. Dette er nyttigt, når nummeret har form af (n. (n − 1). (n + 1))
eksempel.,
- 492 (det oprindelige nummer)
- 4 + 9 + 2 = 15 (Tilføj hvert enkelt ciffer sammen)
- 15 er deleligt med 3 på hvilket tidspunkt vi kan stoppe. Alternativt kan vi fortsætte med at bruge samme metode, hvis antallet er stadig for stor:
- 1 + 5 = 6 (Tilføje hver enkelt ciffer sammen)
- 6 ÷ 3 = 2 (Check for at se, om det nummer, du har fået er deleligt med 3)
- 492 ÷ 3 = 164 (Hvis det tal, der opnås ved hjælp af den regel, der er deleligt med 3, så de hele tal er deleligt med 3)
Eksempel.,
- 336 (Det oprindelige antal)
- 6 × 7 × 8 = 336
- 336 ÷ 3 = 112
Delelighed med 4
Den grundlæggende regel for delelighed med 4 er, at hvis antallet dannet af de to sidste cifre i et tal er deleligt med 4, det oprindelige nummer, der er deleligt med 4; dette er fordi 100 er deleligt med 4 og så tilføje hundreder, tusinder, osv. er blot at tilføje et andet nummer, der er deleligt med 4. Hvis et tal ender i et tocifret tal, som du ved, er deleligt med 4 (F 24 24, 04, 08 osv.,), så bliver hele nummeret deleligt med 4 uanset hvad der er før de sidste to cifre.
Alternativt kan man blot dele tallet med 2 og derefter kontrollere resultatet for at finde ud af, om det er deleligt med 2. Hvis det er tilfældet, er det originale nummer deleligt med 4. Desuden er resultatet af denne test det samme som det oprindelige nummer divideret med 4.
eksempel.,delelige med 4)
Alternativ eksempel
- 1720 (Det oprindelige antal)
- 1720 ÷ 2 = 860 (Opdele det oprindelige antal af 2)
- 860 ÷ 2 = 430 (Check for at se, om resultatet er deleligt med 2)
- 1720 ÷ 4 = 430 (Hvis resultatet er deleligt med 2, så de oprindelige tal er deleligt med 4)
Delelighed af 5
Delelighed med 5 er let bestemmes ved at kontrollere det sidste ciffer i nummeret (475), og se, om det er enten 0 eller 5., Hvis det sidste tal er enten 0 eller 5, er hele nummeret deleligt med 5.
hvis det sidste ciffer i tallet er 0, bliver resultatet de resterende cifre multipliceret med 2. For eksempel slutter tallet 40 i et nul (0), så tag de resterende cifre (4) og multiplicer det med to (4.2 = 8). Resultatet er det samme som resultatet af 40 divideret med 5(40/5 = 8).
eksempel.,endelige tal divideret med 5)
Hvis sidste ciffer er 5
- 85 (Det oprindelige antal)
- 8 5 (Tage det sidste ciffer i nummeret, og kontrollere, om det er 0 eller 5)
- 8 5 (Om det er 5, tage de resterende cifre, idet den sidste)
- 8 × 2 = 16 (Multiplicere resultatet med 2)
- 16 + 1 = 17 (lægger 1 til resultatet)
- 85 ÷ 5 = 17 (resultatet er Det samme som det oprindelige antal divideret med 5)
Delelighed med 6
Delelighed med 6 bestemmes ved at kontrollere den oprindelige antal for at se om det er både et lige antal (delelig med 2) og delelig med 3., Dette er den bedste test at bruge.
Hvis nummeret er deleligt med seks, skal du tage det originale nummer (246) og dele det med to (246 2 2 = 123). Tag derefter dette resultat og divider det med tre (123 3 3 = 41). Dette resultat er det samme som det oprindelige tal divideret med seks (246 6 6 = 41).
eksempel.,
Generelle regel,
- 324 (Det oprindelige antal)
- 324 ÷ 3 = 108 (Check for at se, om de oprindelige tal er deleligt med 3)
- 324 ÷ 2 = 162 ELLER 108 ÷ 2 = 54 (Check for at se, om enten at de oprindelige tal eller resultatet af den foregående ligning er deleligt med 2)
- 324 ÷ 6 = 54 (Hvis en af prøverne i sidste trin er sande, så er de oprindelige tal er deleligt med 6., Også resultatet af den anden test, returnerer det samme resultat som de oprindelige tal divideret med 6)
at Finde en rest af et nummer, når divideret med 6 (1, -2, -2, -2, -2, og -2 går for resten) Ingen periode. — Mindste størrelsesorden sekvens (1, 4, 4, 4, 4, og 4 fortsætter for resten) – positiv sekvens Multiplicer det højre mest ciffer med det venstre mest ciffer i sekvensen og multiplicer det andet højre mest ciffer med det andet venstre mest ciffer i sekvensen og så videre. Beregn derefter summen af alle værdierne og tag resten på division med 6., eksempel: Hvad er resten, når 1036125837 er divideret med 6? Multiplikation af det højre ciffer = 1 × 7 = 7 Multiplikation af den anden højre ciffer = 3 x -2 = -6 Tredje højre ciffer = -16 Fjerde højre ciffer = -10 Femte højre ciffer = -4 Sjette højre ciffer = -2 Syvende højre ciffer = -12 Ottende højre ciffer = -6 Niende højre ciffer = 0 Tiende højre ciffer = -2 Sum = -51 -51 ≡ 3 (mod 6) Resten = 3
Delelighed med 7
Delelighed med 7 kan testes ved en rekursiv metode., Et tal på formularen 10. + y kan deles med 7, hvis og kun hvis. − 2y kan deles med 7. Med andre ord trækker du to gange det sidste ciffer fra tallet dannet af de resterende cifre. Fortsæt med at gøre dette, indtil der opnås et tal, for hvilket det vides, om det er deleligt med 7. Det originale nummer kan deles med 7, hvis og kun hvis det nummer, der opnås ved hjælp af denne procedure, kan deles med 7. For eksempel nummeret 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; således, da -7 er delelig med 7, 371 er delelig med 7.,
tilsvarende er et tal på formen 10. + y deleligt med 7, hvis og kun hvis 5 + 5y er deleligt med 7. Så tilføj fem gange det sidste ciffer til det nummer, der er dannet af de resterende cifre, og fortsæt med at gøre dette, indtil der opnås et tal, for hvilket det vides, om det er deleligt med 7.
en anden metode er multiplikation med 3. Et tal af formen 10. + Y har den samme rest, når divideret med 7 som 3. + y., Man skal multiplicere det venstre ciffer i det originale tal med 3, tilføje det næste ciffer, tage resten, når det divideres med 7, og fortsæt fra begyndelsen: multiplicer med 3, tilføj det næste ciffer osv. For eksempel er tallet 371: 3 3 3 + 7 = 16 resten 2 og 2.3 + 1 = 7. Denne metode kan bruges til at finde resten af divisionen med 7.
denne metode kan forenkles ved at fjerne behovet for at formere sig. Alt det ville tage med denne forenkling er at huske sekvensen ovenfor (132645…), og at tilføje og trække fra, men altid arbejder med etcifrede tal.,
forenklingen er som følger:
- tag for eksempel nummeret 371
- skift alle forekomster af 7, 8 eller 9 til henholdsvis 0, 1 og 2. I dette eksempel får vi: 301. Dette andet trin kan springes over, bortset fra den venstre mest ciffer, men efter det kan lette beregninger senere.
- Konverter nu det første ciffer (3) til det følgende ciffer i sekvensen 13264513… I vores eksempel bliver 3 2.,
- tilføj resultatet i det forrige trin (2) til det andet ciffer i tallet, og erstatt resultatet for begge cifre, så alle resterende cifre ikke ændres: 2 + 0 = 2. Så 301 bliver 21.
- gentag proceduren, indtil du har et genkendeligt multiplum af 7, eller for at sikre dig et tal mellem 0 og 6. Så startende fra 21 (som er et genkendeligt multiplum af 7), tag det første ciffer (2) og konverter det til følgende i sekvensen ovenfor: 2 bliver 6. Tilføj derefter dette til det andet ciffer: 6 + 1 = 7.,
- hvis det første ciffer på noget tidspunkt er 8 eller 9, bliver disse henholdsvis 1 eller 2. Men hvis det er en 7 Det skal blive 0, kun hvis ingen andre cifre følger. Ellers skal det simpelthen droppes. Dette skyldes, at 7 ville være blevet 0, og tal med mindst to cifre før decimaltegnet begynder ikke med 0, hvilket er ubrugeligt. I henhold til dette bliver vores 7 0.
Hvis du gennem denne procedure får et 0 eller et genkendeligt multiplum af 7, er det originale tal et multiplum af 7., Hvis du får et tal fra 1 til 6, vil det indikere, hvor meget du skal trække fra det originale tal for at få et multiplum af 7. Med andre ord finder du resten af at dividere tallet med 7. Tag for eksempel nummeret 186:
- skift først 8 til en 1: 116.
- skift nu 1 til følgende ciffer i sekvensen (3), tilføj det til det andet ciffer, og skriv resultatet i stedet for begge: 3 + 1 = 4. Så 116 bliver nu 46.
- gentag proceduren, da tallet er større end 7. Nu bliver 4 5, som skal tilføjes til 6. Det er 11.,
- gentag proceduren endnu en gang: 1 bliver 3, som tilføjes til det andet ciffer (1): 3 + 1 = 4.
nu har vi et tal lavere end 7, og dette tal (4) er resten af dividere 186/7. Så 186 minus 4, som er 182, skal være et multiplum af 7.
Bemærk: grunden til, at dette fungerer, er, at hvis vi har: a+b=c og b er et multiplum af et givet tal n, så a og c vil nødvendigvis give samme resten når divideret med n. Med andre ord, i 2 + 7 = 9, 7 er deleligt med 7. Så 2 og 9 skal have den samme påmindelse, når divideret med 7. Resten er 2.,
derfor, hvis et tal n er et multiplum af 7 (dvs.: resten af n/7 er 0), kan tilføjelse (eller subtraktion) multipla af 7 ikke ændre denne egenskab.
hvad denne procedure gør, som forklaret ovenfor for de fleste delbarhedsregler, trækkes simpelthen lidt efter lidt multipla af 7 fra det originale nummer, indtil vi når et tal, der er lille nok til, at vi kan huske, om det er et multiplum af 7. Hvis 1 bliver en 3 i følgende decimalposition, er det bare det samme som at konvertere 10 10 10n til en 3.10n., Og det er faktisk det samme som at trække 7×10n (klart et multiplum af 7) fra 10×10n.
på samme måde, når du tænder en 3 til 2 i det følgende decimal position, skal du dreje 30×10n i 2×10n, hvilket er det samme som at trække 30×10n−28×10n, og det er igen for at trække et multiplum af 7. Af samme grund gælder for alle de resterende konverteringer:
- 20×10n − 6×10n=14×10n
- 60×10n − 4×10n=56×10n
- 40×10n − 5×10n=35×10n
- 50×10n − 1×10n=49×10n
Første metode eksempel
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. Svar: 1050 er delelig med 7.,
andet metode eksempel
1050 10 0501 (omvendt) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicere og tilføje). Svar: 1050 er delelig med 7.
Vedisk metode til delbarhed ved svingning
delbarhed med syv kan testes ved multiplikation med Ekhdidika. Konverter divisor seven til nines-familien ved at multiplicere med syv. 7×7=49. Tilføj en, slip enhederne ciffer, og tag 5, Ekhdidika, som multiplikator. Start til højre. Multiplicer med 5, tilføj produktet til det næste ciffer til venstre. Sæt det resultat ned på en linje under det ciffer., Gentag denne metode til at multiplicere enheder ciffer med fem og tilføje dette produkt til antallet af tiere. Føj resultatet til det næste ciffer til venstre. Skriv det resultat ned under cifferet. Fortsæt til slutningen. Hvis slutresultatet er nul eller et multiplum på syv, så ja, tallet er deleligt med syv. Ellers er det ikke. Dette følger den vediske ideal, En-line notation.,
Vediske metode eksempel:
Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES
Pohlman–Masse metode af delelighed med 7
Pohlman–Mass-metoden giver en hurtig løsning, der kan afgøre, om de fleste tal er delelige med syv i tre trin eller mindre. Denne metode kan være nyttig i en matematikkonkurrence som MATHCOUNTS, hvor tiden er en faktor til at bestemme løsningen uden en lommeregner i Sprintrunden.
trin A:hvis heltalet er 1.000 eller mindre, trækkes to gange det sidste ciffer fra det tal, der dannes af de resterende cifre., Hvis resultatet er et multiplum af syv, så er det oprindelige nummer (og omvendt). For eksempel:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO
fordi 1,001 er delelig med syv, udvikles et interessant mønster til gentagne sæt på 1, 2 eller 3 cifre, der danner 6-cifrede tal (førende nuller er tilladt), idet alle sådanne tal er delelige med syv. For eksempel:
001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
For alle de ovenstående eksempler, at trække de tre første cifre fra de sidste tre resultater i flere af de syv., Bemærk, at førende nuller har tilladelse til at danne et 6-cifret mønster.
Dette fænomen danner grundlag for Trin B og C.
Trin B:Hvis et heltal er mellem 1,001 og en million, finde et gentaget mønster af 1, 2, eller 3 cifre, der udgør et 6-cifret nummer, der er tæt på den heltal (nuller er tilladt, og kan hjælpe dig med at visualisere mønster). Hvis den positive forskel er mindre end 1.000, skal du anvende trin A. dette kan gøres ved at trække de første tre cifre fra de sidste tre cifre., For eksempel:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES
Det faktum, at 999,999 er et multiplum af 7 kan bruges til at bestemme delelighed af heltal, der er større end én million ved at reducere heltal til et 6-cifret nummer, der kan bestemmes ved hjælp af Trin B. Dette kan gøres nemt ved at tilføje cifre til venstre for seks første til sidste seks, og følg med Trin A.
Skridt C:Hvis det heltal, der er større end én million, trække det nærmeste multiplum af 999,999 og derefter anvende Trin B. For endnu større tal, skal du bruge større grupper som 12-cifre (999,999,999,999) og så videre., Derefter bryde heltal i et mindre antal, der kan løses ved hjælp af Trin B. For eksempel:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES
Dette giver mulighed for at tilføje og trække skiftende sæt af tre cifre for at afgøre, delelighed med syv.,ng eksempler:
Pohlman–Masse metode af delelighed med 7, eksempler:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES
Multiplikation med 3 metode af delelighed med 7, eksempler:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES
Finde resterende del af et nummer, når divideret med 7
Multiplicere den rigtige fleste ciffer fra venstre de fleste tal i rækkefølgen og formere andet lige mest ciffer ved den anden til venstre ciffer i den rækkefølge, og så videre og så videre., Beregn derefter summen af alle værdierne og tag modulet på 7.eksempel :Hvad er resten, når 1036125837 er divideret med 7?,
Multiplikation af det højre ciffer = 1 × 7 = 7
Multiplikation af den anden højre ciffer = 3 × 3 = 9
Tredje højre ciffer = 8 × 2 = 16
Fjerde højre ciffer = 5 × -1 = -5
Femte højre ciffer = 2 × -3 = -6
Sjette højre ciffer = 1 x -2 = -2
Syvende højre ciffer = 6 × 1 = 6
Ottende højre ciffer = 3 × 3 = 9
Niende højre ciffer = 0
Tiende højre ciffer = 1 x -1 = -1
Sum = 33
33 modul 7 = 5
Resten = 5
Ciffer par metode af delelighed med 7
Denne metode bruger 1, -3, 2 mønster på den ciffer par., Det vil sige, at delbarheden af et hvilket som helst tal med syv kan testes ved først at adskille tallet i cifferpar og derefter anvende algoritmen på trecifrede par (seks cifre). Når tallet er mindre end seks cifre, skal du fylde nul til højre, indtil der er seks cifre. Når tallet er større end seks cifre, skal du gentage cyklussen på den næste sekscifrede gruppe og derefter tilføje resultaterne. Gentag algoritmen, indtil resultatet er et lille antal. Det originale nummer kan deles med syv, hvis og kun hvis nummeret opnået ved hjælp af denne algoritme kan deles med syv., Denne metode er især velegnet til store tal.eksempel 1:
det nummer, der skal testes, er 157514.Først adskiller vi tallet i trecifrede par: 15, 75 og 14.
så anvender vi algoritmen: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
fordi den resulterende 182 er mindre end seks cifre, tilføjer vi nul til højre, indtil det er seks cifre.
så anvender vi vores algoritme igen: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42
resultatet -42 er deleligt med syv, således er det oprindelige nummer 157514 deleligt med syv.eksempel 2:
det nummer, der skal testes, er 15751537186.,
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
resultatet -77 er deleligt med syv, således at det oprindelige antal 15751537186 er deleligt med syv.
et Andet ciffer par metode af delelighed med 7
Metode
Dette er et ikke-rekursive metode til at finde det resterende del af en række på dividere med 7:
- Separat nummer til cifret par startende fra dem plads. Forbered nummeret med 0 for at afslutte det sidste par, hvis det kræves.
- Beregn de rester, der er tilbage af hvert cifferpar, ved at dividere med 7.,
- Formere rester med passende multiplikator fra den sekvens 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : resten kommer fra det ciffer par bestående af dem, sted og tiere plads skal ganges med 1, hundredvis og tusindvis af 2, ti tusinde og hundrede tusinder af 4, millioner og ti millioner igen med 1, og så videre.
- Beregn de rester, der er tilbage af hvert produkt ved at dividere med 7.
- tilføj disse rester.
- resten af summen, når divideret med 7, er resten af det givne tal, når divideret med 7.,
For eksempel:
antallet 194,536 efterlader en rest af 6 på dividere med 7.
tallet 510,517,813 efterlader en rest af 1 ved at dividere med 7.
bevis for korrektheden af metoden
metoden er baseret på den observation, at 100 efterlader en rest af 2, når den divideres med 7. Og da vi bryder tallet i cifferpar, har vi i det væsentlige beføjelser på 100.,
1 mod 7 = 1
100 mod 7 = 2
10,000 mod 7 = 2^2 = 4
1.000.000 kroner mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1
10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2
1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4
Og så videre.
korrektheden af metoden fastlægges derefter ved hjælp af følgende kæde af ligheder:
lad N være det givne tal a 2 n A 2 n − 1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}.
a 2 N A 2 n − 1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}
= mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( 2 k-2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\gange 10^{2k-2}){\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( 2 k-2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\gange (10^{2k-2}{\bmod {7}})}
Delelighed med 13
Multiplicere den rigtige fleste ciffer i nummeret med den venstre de fleste nummer i den rækkefølge, der er vist ovenfor, og den anden til højre de fleste ciffer til venstre af den anden mest cifre i rækkefølgen., Cyklen fortsætter.eksempel: Hvad er resten, når 321 er divideret med 13?
ved Hjælp af den første sekvens,
Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
Resten = -17 mod 13 = 9