bjælker kan variere meget i deres geometri og sammensætning. For eksempel kan en stråle være lige eller buet. Det kan være af konstant tværsnit, eller det kan aftage. Det kan være fremstillet udelukkende af det samme materiale (homogent), eller det kan være sammensat af forskellige materialer (komposit). Nogle af disse ting gør analysen vanskelig, men mange tekniske applikationer involverer sager, der ikke er så komplicerede., Analysen er forenklet, hvis:
- strålen er oprindelig var lige, og alle taper er let
- strålen oplevelser, kun er lineær elastisk deformation
- strålen er slank (dets længde til højde-forholdet er større end 10)
- Kun små udsving anses (max nedbøjning mindre end 1/10 af span).,
I dette tilfælde, ligningen for strålens deformation ( w {\displaystyle w} ) kan approksimeres som:
d / 2 w ( x ) d x 2 = M ( x ) E ( x ) I ( x ) {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}
hvor den anden afledte af sin afbøjet form med hensyn til x {\displaystyle x} er fortolket som dens krumning, E {\displaystyle E} er youngs modul, I {\displaystyle jeg} er det areal, inertimoment af tværsnit, og M {\displaystyle M} er det indre bøjende moment i bjælken.,
hvis strålen desuden ikke er konisk og er homogen, og påvirkes af en distribueret belastning {{\displaystyle}}, kan ovenstående udtryk skrives som:
E I d 4 (()) d 4 4 = {({) {\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4} (())} {\mathrm {d}^ ^ {4}}}=4 (4)}
denne ligning kan skrives som: løst for en række belastnings-og grænsebetingelser. En række enkle eksempler er vist nedenfor. Formlerne udtrykt er tilnærmelser udviklet til lange, slanke, homogene, prismatiske bjælker med små afbøjninger og lineære elastiske egenskaber., Under disse begrænsninger bør tilnærmelserne give resultater inden for 5% af den faktiske afbøjning.
Cantilever beamsEdit
Cantilever bjælker har en ende fast, så hældningen og afbøjningen i den ende skal være nul.
skematisk af afbøjningen af en cantilever stråle.,div>
End-loaded cantilever beamsEdit
Cantilever stråle med en kraft på den frie ende
δ B = F L 3 3 E i {\displaystyle \delta _{B}={\frac {FL^{3}}{3EI}}} ϕ B = F L 2 2 E i {\displaystyle \phi _{B}={\frac {FL^{2}}{2EI}}}
hvor
F {\displaystyle F} = Kraft, der virker på toppen af strålen L {\displaystyle L} = Længden af bjælken (span) E {\displaystyle E} = Elasticitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = Areal, inertimoment af strålens tværsnit
Bemærk, at hvis span dobbeltværelser, den deformation, der øger ottedoblet.,e stråle E {\displaystyle E} = Elasticitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = Areal, inertimoment af tværsnit
Den deformation, der på ethvert punkt, x {\displaystyle x} , langs span af en ensartet lagt udkraget bjælke kan beregnes ved hjælp af:
δ x = q x 2 24 E I ( 6 L 2 − 4 L x + x 2 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})} ϕ x = q x 6 x E I ( 3 L 2 − 3 L x + x 2 ) {\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}
Simpelthen-understøttet beamsEdit
Simpelt understøttede bjælker har støtter under deres ender, som tillader rotation, men ikke nedbøjning.,
skematisk af afbøjningen af en enkelt understøttet stråle.,iv>
Den maksimale elastiske nedbøjning på en bjælke, der understøttes af to simple understøtninger, lagt i en afstand af {\displaystyle en} fra den nærmeste støtte, er givet ved:
δ m a x = F ( L-2 − 2 ) 3 / 2 9 3 E L I {\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-en^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}
hvor
F {\displaystyle F} = Kraft, der virker på bjælken L {\displaystyle L} = Længden af bjælken mellem understøtter E {\displaystyle E} = Elasticitetsmodul jeg {\displaystyle jeg} = Areal, Inertimoment af tværsnit i en {\displaystyle a} = Afstand fra belastning til den nærmeste støtte (jeg.,den.,jeg kan beregnes ved hjælp af:
δ x = q x 24 E i L 3 − 2 L x 2 + x 3 ) {\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}
Skift i LengthEdit
Hvor:
Δ L {\displaystyle \Delta L} = ændring i længden (altid negativ) θ x {\displaystyle \theta _{x}} = hældning funktion (første afledte af δ x {\displaystyle \delta _{x}} ) ∆ L = − 1 2 ∫ 0 L ( θ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}
Hvis bjælken er ensartet, og den deformation, der på noget tidspunkt er kendt, kan dette beregnes uden at kende andre egenskaber af bjælken.,