inverzní funkce tangens je vynesena výše podél reálné osy.
ještě Horší je, že zápis je někdy používán pro hlavní hodnotou, s se používá pro vícehodnotové funkce (Abramowitzová a Stegun 1972, str. 80)., Všimněte si, že v notaci (běžně používané v Severní Americe a v kapesní kalkulačky po celém světě), označuje tečnou a inverzní funkce, není multiplikativní inverzní.
hlavní hodnota inverzní tangenty je implementována jako ArcTan v jazyce Wolfram. V knihovně GNU C je implementován jako atan (double x).,
inverzní tangens je vícehodnotové funkce, a proto vyžaduje větev řez v komplexní rovině, které Wolfram Jazyk je konvence místa na ., To vyplývá z definice jako
(1)
|
Ve Wolfram Jazyk (a v této práci), tato větev řez definice určuje rozsah skutečné . Péče musí být přijata, nicméně, jako další větve cut definice může dát různé rozsahy (nejčastěji, ).,
inverzní funkce tangens je vynesena výše v komplexní rovině.,
The complex argument of a complex number is often written as
(9)
|
where , sometimes also denoted , corresponds to the counterclockwise angle from the positive real axis, i.,e., the value of such that and . Plots of are illustrated above for real values of and .,
zvláštní druh inverzní tangens, který bere v úvahu kvadrantu, ve kterém leží a je vrácena FORTRAN příkaz ATAN2(y, x), GNU C knihovna příkaz atan2(double y, double x), a Wolfram Language příkaz ArcTan, a je často omezeno na rozsah .,div> has the Maclaurin series of
(11)
|
|||
(12)
|
(OEIS A033999 and A005408).,A more rapidly converging form due to Euler is given by
(13)
|
for real (Castellanos 1988).,interesting approximations to pi
(16)
|
|||
(17)
|
(OEIS A075553 and A075554).,
In terms of the hypergeometric function,
(28)
|
for complex , and
(29)
|
for real (Castellanos 1988).,
The inverse tangent satisfies the addition formula
(36)
|
for , as well as the more complicated formula
(37)
|
valid for all complex ., An additional identity known to Euler is given by
(38)
|
for or ., Another interesting inverse tangent identity attributed to Charles Dodgson (Lewis Carroll) by Lehmer (1938b; Bromwich 1991, Castellanos 1988) is
(39)
|
where
(40)
|
and .,
The inverse tangent has continued fractionrepresentations
(41)
|
(Lambert 1770; Lagrange 1776; Wall 1948, p. 343; Olds 1963, p. 138) and
(42)
|
due to Euler and sometimes known as Euler’scontinued fraction (Borwein et al. 2004, p. 30).,
Chcete-li najít číselně lze použít následující aritmeticko-geometrický střední algoritmus.,464e247ac“>
and the inverse tangent is given by
(47)
|
(Acton 1990).,
An inverse tangent with integral is called reducible if it is expressible as a finite sum of the form
(48)
|
where are positive or negative integers and are integers ., je redukovatelné iff všechny primární faktory vyskytují mezi hlavní faktory …, . Druhou nutnou a postačující podmínkou je, že největší prvočíslo je menší než ., Ekvivalentní druhou podmínkou je prohlášení, že každý Gregory číslo může být jednoznačně vyjádřeno jako součet, pokud jde o y, pro které je Størmer číslo (Conway a Chlap, 1996)., To find this decomposition, write
(49)
|
so the ratio
(50)
|
is a rational number.,ba555fd751″>
allows a direct conversion to a corresponding inversecotangent formula
(53)
|
where
(54)
|
Todd (1949) gives a table of decompositions of for ., Conway a Guy (1996) dávají podobnou tabulku, pokud jde o čísla Størmer.,
the finding one of which is a given as a problem by Bailey et al., (2006, s. 225).