Inverzní Tangens

Kalkulu a Analýze > Řada > BBP Formule >

inverzní funkce tangens je vynesena výše podél reálné osy.

ještě Horší je, že zápis je někdy používán pro hlavní hodnotou, s se používá pro vícehodnotové funkce (Abramowitzová a Stegun 1972, str. 80)., Všimněte si, že v notaci (běžně používané v Severní Americe a v kapesní kalkulačky po celém světě), označuje tečnou a inverzní funkce, není multiplikativní inverzní.

hlavní hodnota inverzní tangenty je implementována jako ArcTan v jazyce Wolfram. V knihovně GNU C je implementován jako atan (double x).,

inverzní tangens je vícehodnotové funkce, a proto vyžaduje větev řez v komplexní rovině, které Wolfram Jazyk je konvence místa na ., To vyplývá z definice jako

(1)

Ve Wolfram Jazyk (a v této práci), tato větev řez definice určuje rozsah skutečné . Péče musí být přijata, nicméně, jako další větve cut definice může dát různé rozsahy (nejčastěji, ).,

inverzní funkce tangens je vynesena výše v komplexní rovině.,

(8)

The complex argument of a complex number is often written as

(9)

where , sometimes also denoted , corresponds to the counterclockwise angle from the positive real axis, i.,e., the value of such that and . Plots of are illustrated above for real values of and .,

zvláštní druh inverzní tangens, který bere v úvahu kvadrantu, ve kterém leží a je vrácena FORTRAN příkaz ATAN2(y, x), GNU C knihovna příkaz atan2(double y, double x), a Wolfram Language příkaz ArcTan, a je často omezeno na rozsah .,div> has the Maclaurin series of

(11)
(12)

(OEIS A033999 and A005408).,A more rapidly converging form due to Euler is given by

(13)

for real (Castellanos 1988).,interesting approximations to pi

(16)
(17)

(OEIS A075553 and A075554).,

(27)

In terms of the hypergeometric function,

(28)

for complex , and

(29)

for real (Castellanos 1988).,

(35)

The inverse tangent satisfies the addition formula

(36)

for , as well as the more complicated formula

(37)

valid for all complex ., An additional identity known to Euler is given by

(38)

for or ., Another interesting inverse tangent identity attributed to Charles Dodgson (Lewis Carroll) by Lehmer (1938b; Bromwich 1991, Castellanos 1988) is

(39)

where

(40)

and .,

The inverse tangent has continued fractionrepresentations

(41)

(Lambert 1770; Lagrange 1776; Wall 1948, p. 343; Olds 1963, p. 138) and

(42)

due to Euler and sometimes known as Euler’scontinued fraction (Borwein et al. 2004, p. 30).,

Chcete-li najít číselně lze použít následující aritmeticko-geometrický střední algoritmus.,464e247ac“>

(45)
(46)

and the inverse tangent is given by

(47)

(Acton 1990).,

An inverse tangent with integral is called reducible if it is expressible as a finite sum of the form

(48)

where are positive or negative integers and are integers ., je redukovatelné iff všechny primární faktory vyskytují mezi hlavní faktory …, . Druhou nutnou a postačující podmínkou je, že největší prvočíslo je menší než ., Ekvivalentní druhou podmínkou je prohlášení, že každý Gregory číslo může být jednoznačně vyjádřeno jako součet, pokud jde o y, pro které je Størmer číslo (Conway a Chlap, 1996)., To find this decomposition, write

(49)

so the ratio

(50)

is a rational number.,ba555fd751″>

(52)

allows a direct conversion to a corresponding inversecotangent formula

(53)

where

(54)

Todd (1949) gives a table of decompositions of for ., Conway a Guy (1996) dávají podobnou tabulku, pokud jde o čísla Størmer.,

(57)
(58)
(59)

the finding one of which is a given as a problem by Bailey et al., (2006, s. 225).

Leave a Comment