Dělitelnosti 2
za Prvé, vzít jakékoli číslo (pro tento příklad to bude 376) a poznámka poslední číslice v čísle, odhazovat další číslice. Pak vezměte tuto číslici (6) a ignorujte zbytek čísla a zjistěte, zda je dělitelná 2. Pokud je dělitelná 2, pak je původní číslo dělitelné 2.,
Příklad:
- 376 (původní číslo)
- 37 6 (poslední číslice)
- 6 ÷ 2 = 3 (Zkontrolujte, zda poslední číslice je dělitelná 2)
- 376 ÷ 2 = 188 (v Případě, že poslední číslice je dělitelná 2, pak celé číslo je dělitelné 2)
Dělitelnosti 3 a 9
za Prvé, vzít jakékoli číslo (pro tento příklad to bude 492) a přidejte spolu každou číslici v čísle (4 + 9 + 2 = 15). Pak vezměte tuto částku (15) a zjistěte, zda je dělitelná 3. Původní číslo je dělitelné 3 (nebo 9), pokud a pouze pokud je součet jeho číslic dělitelný 3 (nebo 9).,
Přidání číslice číslo, a pak opakovat proces s výsledkem, dokud pouze jedna číslice zůstává, dá zbytek původní číslo, pokud to byly rozděleny do devíti (není-li, že jedno číslo je devět, sám, v tom případě, že číslo je dělitelné devíti a zbytek je nula).,
To může být zobecněny na všechny standardní poziční systém, v němž dělitel v otázce se pak stává jeden méně než radix; tedy v základu dvanáct, se cifry budou přičítat po zbytek původní číslo, pokud rozdělena do jedenácti, a čísla jsou dělitelná jedenácti, pouze pokud ciferný součet je dělitelný jedenácti.
Pokud je číslo násobením 3 identických po sobě jdoucích číslic v libovolném pořadí, pak je toto číslo vždy dělitelné 3. To je užitečné, když číslo má podobu (N × (n − 1) × (n + 1))
příklad.,
- 492 (původní číslo)
- 4 + 9 + 2 = 15 (přidejte každou jednotlivou číslici dohromady)
- 15 je dělitelná 3, na kterém místě můžeme zastavit. Alternativně můžeme pokračovat stejným způsobem, pokud je počet je stále příliš velké.
- 1 + 5 = 6 (Přidat jednotlivé číslice dohromady)
- 6 ÷ 3 = 2 (Zkontrolujte, zda počet přijatých je dělitelné 3)
- 492 ÷ 3 = 164 (Pokud se číslo získané pomocí pravidlo je dělitelné 3, pak celé číslo je dělitelné 3)
Příklad.,
- 336 (původní číslo)
- 6 × 7 × 8 = 336
- 336 ÷ 3 = 112
Dělitelnosti 4
základní pravidlo pro dělitelnosti 4 je, že pokud číslo tvoří poslední dvě číslice v číslo je dělitelné 4, původní číslo je dělitelné 4; je to proto, že 100 je dělitelné 4, a tak se přidávat stovky, tisíce, atd. je jednoduše přidat další číslo, které je dělitelné 4. Pokud jakékoli číslo končí dvoumístným číslem, o kterém víte, že je dělitelné 4 (např.,), pak bude celé číslo dělitelné 4 bez ohledu na to, co je před posledními dvěma číslicemi.
alternativně lze jednoduše rozdělit číslo na 2 a poté zkontrolovat výsledek a zjistit, zda je dělitelné 2. Pokud ano, původní číslo je dělitelné 4. Kromě toho je výsledek tohoto testu stejný jako původní číslo dělené 4.
příklad.,dělitelné 4)
Alternativní příklad
- 1720 (původní číslo)
- 1720 ÷ 2 = 860 (Dělit původní číslo 2)
- 860 ÷ 2 = 430 (Zkontrolujte, zda výsledek je dělitelné 2)
- 1720 ÷ 4 = 430 (v Případě, že výsledek je dělitelné 2, pak původní číslo je dělitelné 4)
Dělitelnosti 5
Dělitelnosti 5 je snadno určit zaškrtnutím poslední číslice v řadě (475), a jestli to je buď 0 nebo 5., Pokud je poslední číslo buď 0 nebo 5, celé číslo je dělitelné 5.
Pokud je poslední číslice v čísle 0, výsledkem budou zbývající číslice vynásobené 2. Například číslo 40 končí nulou (0), takže vezměte zbývající číslice (4) a vynásobte je dvěma (4 × 2 = 8). Výsledek je stejný jako výsledek 40 děleno 5 (40/5 = 8).
příklad.,konečné číslo děleno 5)
Pokud je poslední číslice je 5,
- 85 (původní číslo)
- 8 5 (Vzít poslední číslice číslo, a zkontrolujte, zda je 0 nebo 5)
- 8 5 (Pokud je to 5, zbývající číslice, přičemž poslední)
- 8 × 2 = 16 (výsledek Vynásobte 2)
- 16 + 1 = 17 (Přidat 1 výsledek)
- 85 ÷ 5 = 17 (výsledek je stejný jako původní číslo děleno 5)
Dělitelnosti 6
Dělitelnosti 6 je určena kontrolu původní číslo, jestli je sudé číslo (dělitelné 2) a dělitelné 3., To je nejlepší test k použití.
Pokud je číslo dělitelné šesti, vezměte původní číslo (246) a vydělte jej dvěma (246 ÷ 2 = 123). Pak vezměte tento výsledek a vydělte jej třemi (123 ÷ 3 = 41). Tento výsledek je stejný jako původní číslo dělené šesti (246 ÷ 6 = 41).
příklad.,
Obecně
- 324 (původní číslo)
- 324 ÷ 3 = 108 (Zkontrolujte, zda původní číslo je dělitelné 3)
- 324 ÷ 2 = 162 NEBO 108 ÷ 2 = 54 (Zkontrolujte, zda buď původní číslo nebo výsledek z předchozí rovnice je dělitelné 2)
- 324 ÷ 6 = 54 (Pokud je některý z testů v posledním kroku jsou pravdivé, pak původní číslo je dělitelné 6., Také, výsledek druhé zkoušky vrátí stejný výsledek jako původní číslo děleno 6)
Najít zbytek řady, když děleno 6 (1, -2, -2, -2, -2, a -2 pokračuje po zbytek) Č. období. — Sekvence minimální velikosti(1, 4, 4, 4, 4, a 4 pokračuje pro zbytek) – pozitivní sekvence vynásobte nejvíce pravou číslici levou číslicí v sekvenci a vynásobte druhou pravou číslici druhou levou číslicí v pořadí a tak dále. Dále Spočítejte součet všech hodnot a zbytek vezměte na dělení 6.,
příklad: jaký je zbytek, když je 1036125837 děleno 6?
Násobení nejpravější číslice = 1 × 7 = 7 Násobení druhý nejpravější číslice = 3 × -2 = -6 Třetí nejpravější číslice = -16 Čtvrté nejpravější číslice = -10 Pátý vpravo číslici = -4 Šesté nejpravější číslice = -2 Sedmé nejpravější číslice = -12 Osmé nejpravější číslice = -6 Deváté nejpravější číslice = 0 Desátý nejpravější číslice = -2 Součet = -51 -51 ≡ 3 (mod 6) Zbytek = 3
Dělitelnosti 7
Dělitelnosti 7 mohou být testovány pomocí rekurzivní metody., Číslo formuláře 10x + y je dělitelné 7, pokud a pouze pokud je x – 2y dělitelné 7. Jinými slovy, odečtěte dvakrát poslední číslici od čísla tvořeného zbývajícími číslicemi. Pokračujte v tom, dokud se nezíská číslo, pro které je známo, zda je dělitelné 7. Původní číslo je dělitelné číslem 7, pokud a pouze pokud je číslo získané tímto postupem dělitelné číslem 7. Například číslo 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = -7; tak, protože -7 je dělitelný 7, 371 je dělitelný 7.,
podobně číslo formuláře 10x + y je dělitelné 7, pokud a pouze pokud je X + 5y dělitelné 7. Tak, přidá se pět krát, poslední číslice počtu tvoří zbývající číslice, a nadále dělat to, dokud se získá číslo, pro které je známo, zda je dělitelné 7.
další metodou je násobení 3. Číslo formuláře 10x + y má stejný zbytek, když je děleno 7 jako 3x + y., Jeden musí násobit levé číslice původního čísla o 3, přidat další číslici, vezměte zbytek, když děleno 7, a pokračovat od začátku: vynásobte 3, přidat další číslici, atd. Například číslo 371: 3×3 + 7 = 16 zbývajících 2 a 2×3 + 1 = 7. Tuto metodu lze použít k nalezení zbytku dělení 7.
tuto metodu lze zjednodušit odstraněním nutnosti násobení. S tímto zjednodušením by stačilo zapamatovat si výše uvedenou sekvenci (132645…) a přidávat a odečítat, ale vždy pracovat s jednocifernými čísly.,
zjednodušení je následující:
- Vezměte například číslo 371
- změňte všechny výskyty 7, 8 nebo 9 na 0, 1 a 2. V tomto příkladu dostaneme: 301. Tento druhý krok může být přeskočen, s výjimkou levého nejvíce číslice, ale po něm může usnadnit výpočty později.
- nyní převeďte první číslici (3) na následující číslici v pořadí 13264513… V našem příkladu se 3 stává 2.,
- Přidat výsledek v předchozím kroku (2) druhá číslice číslo, a nahradit výsledkem pro obě číslice, takže všechny zbývající číslice nemodifikované: 2 + 0 = 2. Takže 301 se stává 21.
- opakujte postup, dokud nemáte rozpoznatelný násobek 7, nebo se ujistěte, že číslo mezi 0 a 6. Takže od 21 (což je rozpoznatelný násobek 7), vezměte první číslici (2) a převeďte ji na následující v pořadí výše: 2 se stává 6. Poté přidejte tuto druhou číslici: 6 + 1 = 7.,
- pokud je v kterémkoli bodě první číslice 8 nebo 9, stanou se z nich 1 nebo 2. Pokud se však jedná o 7, mělo by se stát 0, pouze pokud nebudou následovat žádné další číslice. V opačném případě by měl být jednoduše vynechán. Je to proto, že 7 by se stalo 0 a čísla s nejméně dvěma číslicemi před desetinnou tečkou nezačínají 0, což je zbytečné. Podle toho se naše 7 stane 0.
Pokud tímto postupem získáte 0 nebo jakýkoli rozpoznatelný násobek 7, pak je původní číslo násobkem 7., Pokud získáte libovolné číslo od 1 do 6, bude to znamenat, kolik byste měli odečíst od původního čísla, abyste získali násobek 7. Jinými slovy, najdete zbytek dělení čísla o 7. Vezměte například číslo 186:
- nejprve změňte 8 na 1: 116.
- nyní změňte 1 na následující číslici v pořadí (3), Přidejte ji na druhou číslici a místo obou napište výsledek: 3 + 1 = 4. Takže 116 se stává nyní 46.
- opakujte postup, protože číslo je větší než 7. Nyní se 4 stane 5, které musí být přidáno k 6. To je 11.,
- opakujte postup ještě jednou: 1 se stane 3, který se přidá k druhé číslici (1): 3 + 1 = 4.
nyní máme číslo nižší než 7 a toto číslo (4) je zbytek dělení 186/7. Takže 186 mínus 4, což je 182, musí být násobek 7.
Poznámka: důvod, proč tohle funguje je to, že máme-li: a+b=c a b je násobkem daného čísla n, pak a a c bude nutně produkovat stejný zbytek, když dělí n. Jinými slovy, v 2 + 7 = 9, 7 je dělitelné 7. Takže 2 a 9 musí mít stejnou připomínku, když je děleno 7. Zbytek je 2.,
Pokud je tedy číslo n násobkem 7 (tj.: zbytek N / 7 je 0), pak přidání (nebo odčítání) násobků 7 tuto vlastnost nemůže změnit.
tento postup, jak bylo vysvětleno výše pro většinu dělitelnost pravidla, je jednoduše odečíst trochu násobky 7 z původního počtu až do dosažení počtu, který je dostatečně malý pro nás, aby si vzpomenout, jestli to je násobkem 7. Pokud se 1 stane 3 v následující desetinné pozici, je to stejné jako převedení 10×10n na 3×10n., A to je vlastně totéž, jako odečtení 7×10n (jasně násobek 7) z 10×10n.
Podobně, když zapnete 3 na 2 v následující desetinné pozici, jste soustružení 30×10n do 2×10n, což je totéž, jako odečtení 30×10n−28×10n, a to je opět odečítáme násobek 7. Stejný důvod platí i pro všechny zbývající konverze:
- 20×10n − 6×10n=14×10n
- 60×10n − 4×10n=56×10n
- 40×10n − 5×10n=35×10n
- 50×10n − 1×10n=49×10n
První metoda příklad
1050 → 105 − 0=105 → 10 − 10 = 0. Odpověď: 1050 je dělitelná 7.,
příklad druhé metody
1050 → 0501(reverzní) → 0×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (násobit a přidat). Odpověď: 1050 je dělitelná 7.
védská metoda dělitelnosti oskulací
Dělitelnost sedmi může být testována násobením Ekhādikou. Převést dělitel sedm do rodiny devítky vynásobením sedmi. 7×7=49. Přidejte jednu, přetáhněte číslici jednotek a vezměte 5, Ekhādiku, jako multiplikátor. Začněte vpravo. Vynásobte 5, Přidejte produkt na další číslici vlevo. Nastavte tento výsledek na řádku pod touto číslicí., Opakujte tento způsob vynásobení číslice jednotek pěti a přidáním tohoto produktu k počtu desítek. Přidejte výsledek na další číslici vlevo. Zapište si tento výsledek pod číslici. Pokračujte až do konce. Pokud je konečný výsledek nula nebo násobek sedmi, pak ano, číslo je dělitelné sedmi. Jinak tomu tak není. Následuje védský ideál, jednořádkový zápis.,
Védská metoda příklad:
Is 438,722,025 divisible by seven? Multiplier = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27YES
Pohlmanův–Hmotnostní metodou dělitelnosti 7
Pohlmanův–Hmotnost metoda poskytuje rychlé řešení, které může určit, zda většina čísel jsou dělitelná sedmi do tří stupňů nebo méně. Tato metoda by mohla být užitečná v soutěži matematiky jako MATHCOUNTS, kde čas je faktorem k určení řešení bez kalkulačky ve Sprintu Kolo.
krok a: pokud je celé číslo 1 000 nebo méně, odečtěte dvakrát poslední číslici od čísla tvořeného zbývajícími číslicemi., Pokud je výsledek násobkem sedmi, pak je to původní číslo (a naopak). Například:
112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 YES98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO
Protože 1,001 je dělitelné sedmi, zajímavý vzor vyvíjí pro opakování sady 1, 2, nebo 3 číslic, které tvoří 6-čísla číslice (nuly jsou povoleny) v tom, že všechna tato čísla jsou dělitelná sedmi. Například:
001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730
01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430
111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857
576,576 / 7 = 82,368
Pro všechny výše uvedené příklady, odečtením první tři číslice z posledních tří výsledků v násobkem sedmi., Všimněte si, že vedoucí nuly mohou tvořit 6místný vzor.
Tento jev tvoří základ pro Kroky B a C.
Krok B:je-Li celé číslo je mezi 1,001 a jeden milion, najít opakující se vzor 1, 2, nebo 3 číslic, které tvoří 6-místné číslo, které je blízko k celé číslo (vedoucí nuly jsou povoleny a mohou pomoci vizualizovat vzor). Pokud je kladný rozdíl menší než 1 000, použijte krok a.to lze provést odečtením prvních tří číslic z posledních tří číslic., Například:
341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 YES 67,326 − 067,067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 YES
skutečnost, že 999,999 je násobkem 7 mohou být použity pro určení dělitelnosti celá čísla větší než jeden milion snížením číslo na 6-místné číslo, které může být určena pomocí Krok B. To lze snadno provést přidáním číslice vlevo od šesti do posledního šest a postupujte podle Krok.
Krok C:Pokud číslo je větší než jeden milion, odečíst nejbližší násobek 999,999 a poté naneste Krok B. Pro ještě větší čísla, použijte větší sady, jako je například 12-číslic (999,999,999,999), a tak dále., Pak, rozbít celé číslo do menší číslo, které může být řešen pomocí Krok B. například:
22,862,420 − (999,999 × 22) = 22,862,420 − 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862 − 442 (Step B) = 420 -> 42 − (0×2) (Step A) = 42 YES
Toto umožňuje přidávání a odečtením střídající sady tři číslice k určení dělitelnosti sedmi.,ng příklady:
Pohlmanův–Hmotnostní metodou dělitelnosti 7, příklady:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 YES (Step A)
Is 634 divisible by seven?634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Step A)
Is 355,341 divisible by seven?355,341 − 341,341 = 14,000 (Step B) -> 014 − 000 (Step B) -> 14 = 1 − (4×2) (Step A) = 1 − 8 = −7 YES
Is 42,341,530 divisible by seven?42,341,530 -> 341,530 + 42 = 341,572 (Step C)341,572 − 341,341 = 231 (Step B)231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 YES (Step A)
Using quick alternating additions and subtractions: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 YES
Násobení 3 metodou dělitelnosti 7, příklady:
Is 98 divisible by seven?98 -> 9 remainder 2 -> 2×3 + 8 = 14 YES
Is 634 divisible by seven?634 -> 6×3 + 3 = 21 -> remainder 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO
Is 355,341 divisible by seven?3 * 3 + 5 = 14 -> remainder 0 -> 0×3 + 5 = 5 -> 5×3 + 3 = 18 -> remainder 4 -> 4×3 + 4 = 16 -> remainder 2 -> 2×3 + 1 = 7 YES
Nalezení zbytek řady, když děleno 7,
Vynásobte nejvíce vpravo číslice od nejvíce vlevo číslice v pořadí a násobit druhým nejvíce vpravo číslice druhá nejvíce vlevo číslice v pořadí a tak dále, a tak pro., Dále Spočítejte součet všech hodnot a vezměte modul 7.
příklad: jaký je zbytek, když je 1036125837 děleno 7?,
Násobení nejpravější číslice = 1 × 7 = 7
Násobení druhý nejpravější číslice = 3 × 3 = 9
Třetí nejpravější číslice = 8 × 2 = 16
Čtvrtý nejpravější číslice = 5 × -1 = -5
Pátý vpravo číslici = 2 × -3 = -6
Šestý nejpravější číslice = 1 × -2 = -2
Sedmý nejpravější číslice = 6 × 1 = 6
Osmý nejpravější číslice = 3 × 3 = 9
Devátý nejpravější číslice = 0
Desátý nejpravější číslice = 1 × -1 = -1
Součet = 33
33 modulo 7 = 5,
Zbytek = 5
Číslice dvojice metodou dělitelnosti 7,
Tato metoda používá 1, -3, 2 vzor na číslice párů., To znamená, že dělitelnost nějaké číslo sedm může být testováno nejprve oddělením místné číslo do párů, a pak aplikovat algoritmus na tři číslice páry (šest číslic). Když je číslo menší než šest číslic, vyplňte nula na pravou stranu, dokud nebude šest číslic. Pokud je číslo větší než šest číslic, opakujte cyklus v další šestimístné skupině a poté přidejte výsledky. Opakujte algoritmus, dokud výsledek není malé číslo. Původní číslo je dělitelné sedmi, pouze pokud je číslo získané pomocí tohoto algoritmu dělitelné sedmi., Tato metoda je vhodná zejména pro velké množství.
Příklad 1:
číslo, které má být testováno, je 157514.Nejprve rozdělíme číslo na tři číslice: 15, 75 a 14.
pak použijeme algoritmus: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
protože výsledný 182 je menší než šest číslic, přidáme nulu na pravou stranu, dokud to není šest číslic.
pak znovu použijeme náš algoritmus: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = -42ýsledek -42 je dělitelný sedmi, takže původní číslo 157514 je dělitelné sedmi.
příklad 2:
číslo, které má být testováno, je 15751537186.,
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = -180 + 103 = -77
výsledek -77 je dělitelné sedmi, tedy původní číslo 15751537186 je dělitelné sedmi.
Další číslice dvojice metodou dělitelnosti 7,
Způsob,
Toto je non-rekurzivní metoda najít zbytek řada na dělení 7:
- Samostatné číslo do číslice páry, počínaje od těch místě. V případě potřeby předepište číslo 0 a dokončete poslední pár.
- Vypočítejte zbytky, které zbyly po každém číslicovém páru při dělení 7.,
- Násobit zbytky s odpovídající multiplikátor ze sekvence 1, 2, 4, 1, 2, 4, … : zbytek z číslice dvojice složené z jednotek a desítek by měla být násobí 1, stovky a tisíce 2, deseti tisíce a sta tisíce do 4, milion a deset milionů opět o 1 a tak dále.
- Vypočítejte zbytky, které každý produkt ponechá na dělení 7.
- přidejte tyto zbytky.
- zbytek součtu, když je dělen 7, je zbytek daného čísla, když je dělen 7.,
například:
počet 194,536 zanechává zbytek 6 na dělení 7.
číslo 510,517,813 ponechává zbytek 1 při dělení 7.
důkaz správnosti metody
metoda je založena na pozorování, že 100 ponechává zbytek 2, když je děleno 7. A protože rozdělujeme číslo na číselné páry, máme v podstatě pravomoci 100.,
1 mod 7 = 1
100 mod 7 = 2,
10,000 mod 7 = 2^2 = 4
1,000,000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1
10,0000,000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2,
1,000,0000,000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4,
A tak dále.
správnost metody je pak stanovena následujícím řetězcem rovností:
Nechť N je dané číslo a 2 n a 2 n-1 . . . a 2 a 1 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…a_{2}a_{1}}}.
a 2 n a 2 n-1 . . . a 2 a 1 mod 7 {\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}…,a_{2}a_{1}}}\mod 7}
= mod 7 {\displaystyle {\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( k 2 k 2 k − 1 × 10 2 k − 2 ) mod 7 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}
= ∑ k = 1 n ( k 2 k 2 k − 1 mod 7 ) × ( 10 2 k − 2 mod 7 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}
Dělitelnosti 13
Násobit nejvíce vpravo číslice číslo s nejvíce vlevo číslo v pořadí je uvedeno výše, a druhá nejvíce vpravo číslice, na druhém levou číslici z čísla v pořadí., Cyklus pokračuje.
příklad: jaký je zbytek, když je 321 děleno 13?
pomocí první sekvence,
Ans: 1 × 1 + 2 × -3 + 3 × -4 = -17
zbytek = -17 mod 13 = 9