Číslo

NumeralsEdit

Čísla by měla být odlišena od číslice, symboly používané k reprezentaci čísla. Egypťané vynalezl první šifrované číselné soustavě, a Řekové následuje mapování jejich počítání čísla na Iónské a Dórské abecedy., Římské číslice, systém, který používá kombinace písmen z latinky, zůstal dominantní v Evropě, dokud šíření superior Hind–arabské číslice systém kolem konce 14. století, a Hind–arabské číslice, systém zůstává nejběžnější systém pro reprezentaci čísla v dnešním světě. Klíčem k účinnosti systému byl symbol pro nulu, který byl vyvinut starověkými indickými matematiky kolem roku 500 nl.,

první použití numbersEdit

kosti a další artefakty byly objeveny se značkami, které jsou do nich vyříznuty, o nichž mnozí věří, že jsou tally marks. Tyto tally značky mohou být použity pro počítání uplynulého času, jako je počet dnů, lunární cykly nebo vedení záznamů o množství, například zvířat.

tallingový systém nemá žádnou koncepci hodnoty místa (jako v moderní desítkové notaci), která omezuje jeho reprezentaci velkých čísel. Nicméně tallying systémy jsou považovány za první druh abstraktního číselného systému.,

první známý systém s hodnotou místa byl systém Mezopotámské základny 60 (c. 3400 ) a nejstarší známá základna 10 systém pochází z roku 3100 v Egyptě.

zero Edit

první známé zdokumentované použití nulových dat do AD 628, a objevil se v Brāhmasphuṭasiddhānta, hlavním díle Indického matematika Brahmagupty. S 0 zacházel jako s číslem a diskutoval o operacích, které se ho týkají, včetně rozdělení. V této době (7. století) koncepce jasně dosáhl v Kambodži Rudých číslice a dokumentace ukazuje myšlenku, později se šíří do Číny a Islámského světa.,

Brahmaguptova Brāhmasphuṭasiddhānta je první kniha, která zmiňuje nulu jako číslo, proto je Brahmagupta obvykle považován za první, kdo formuluje koncept nuly. Dal pravidla použití nuly se zápornými a kladnými čísly, jako je „nula plus kladné číslo je kladné číslo a záporné číslo plus nula je záporné číslo.,“Brāhmasphuṭasiddhānta je nejstarší známý text, který považuje nulu za číslo samo o sobě, spíše než za pouhou zástupnou číslici v představování jiného čísla, jak to udělali Babyloňané nebo jako symbol nedostatku množství, jak to udělali Ptolemaios a Římané.

použití 0 jako čísla by mělo být odlišeno od jeho použití jako zástupné číslice v systémech s hodnotou místa. Mnoho starověkých textů používalo 0. Používaly ho babylonské a Egyptské texty. Egypťané používali slovo nfr k Označení nulového zůstatku v účetnictví s dvojitým vstupem., Indické texty používaly sanskrtské slovo Shunye nebo shunya, aby odkazovaly na pojem void. V matematických textech toto slovo často odkazuje na číslo nula. V podobném duchu použil Pāṇini (5.století př. n. l.) V Ashtadhyayi nulového (nulového) operátora, což je první příklad algebraické gramatiky pro sanskrtský jazyk (viz také Pingala).

před Brahmaguptou existují další použití nuly, i když dokumentace není tak úplná jako v Brāhmasphuṭasiddhāntě.,záznamy

ukazují, že starověcí Řekové si nebyli jisti stavem 0 jako čísla: ptali se sami sebe: „jak nemůže být“ nic “ něco?“vedoucí k zajímavým filozofickým a středověkým obdobím, náboženským argumentům o povaze a existenci 0 a vakua. Paradoxy Zeno Elea závisí částečně na nejisté interpretaci 0. (Starověcí Řekové se dokonce ptali, zda 1 bylo číslo.,)

pozdní Olmec lidé z jižního středního Mexika začali používat symbol pro nulu, shell glyph, v novém světě, možná do 4. století před naším letopočtem, ale určitě do 40 před naším letopočtem, který se stal nedílnou součástí mayských číslic a mayského kalendáře. Mayská aritmetika používala základnu 4 a základnu 5 psanou jako základ 20. George I. Sánchez v roce 1961 ohlásil základnu 4, základnu 5 „finger“ abacus.

130 AD, Ptolemaios, ovlivněn Hipparchos a Babyloňané, bylo použití symbolu pro 0 (malé kružnice s dlouhou overbar) v šedesátinný číslice systém, jinak používat abecední řecké číslice., Protože byla použita sama, ne jako zástupný symbol, byla tato helénistická nula prvním zdokumentovaným použitím skutečné nuly ve Starém světě. V pozdějších byzantských rukopisech jeho syntaxe Mathematica (Almagest) se helénistická nula proměnila v řecké písmeno Omicron (jinak znamená 70).

Další pravá nula byla použita v tabulkách vedle římských číslic o 525 (první známé použití Dionysius Exiguus), ale jako slovo, nulla znamenat nic, ne jako symbol. Když divize produkoval 0 jako zbytek, nihil, také znamenat nic, byl použit., Tyto středověké nuly byly použity všemi budoucími středověkými komputisty (kalkulačky Velikonoc). Izolované použití jejich počátečního, N, bylo použito v tabulce římských číslic Bede nebo kolegou asi 725, skutečný nulový symbol.

záporná čísla Edit

abstraktní pojem záporných čísel byl rozpoznán již v letech 100-50 v Číně. Devět kapitol o matematickém umění obsahuje metody pro nalezení oblastí čísel; červené pruty byly použity k označení pozitivních koeficientů, černé pro negativní., První zmínka v západním díle byla ve 3.století nl v Řecku. Diophantus odkazoval na rovnici ekvivalentní 4x + 20 = 0 (řešení je negativní) v aritmetice, říkat, že rovnice dala absurdní výsledek.

během 600. let se v Indii používala záporná čísla k reprezentaci dluhů. Diophantus‘ předchozí odkaz byl projednán více výslovně Indický matematik Brahmagupta, v Brāhmasphuṭasiddhānta v 628, kdo používá záporná čísla na výrobu obecný tvar kvadratické rovnice, která zůstává v použití dnes., Nicméně, v 12. století v Indii, Bhaskara dává negativní kořeny kvadratické rovnice, ale říká, že negativní hodnota „je v tomto případě nesmí být přijato, protože to je nedostatečné; lidé nesouhlasí negativní kořeny“.

Evropští matematici z větší části odolávali konceptu negativních čísel až do 17.století, ačkoli Fibonacci dovolil negativní řešení finančních problémů, kde by mohly být interpretovány jako dluhy (Kapitola 13 Liber Abaci, 1202) a později jako ztráty (ve Flos)., Současně Číňané označovali záporná čísla nakreslením diagonálního tahu pravou nenulovou číslicí odpovídající číslice kladného čísla. První použití negativních čísel v Evropském díle bylo Nicolasem Chuquetem během 15. století. Použil je jako exponenty, ale označil je za „absurdní čísla“.

již v 18. století bylo běžnou praxí ignorovat jakékoli negativní výsledky vrácené rovnicemi za předpokladu, že jsou bezvýznamné, stejně jako René Descartes s negativními řešeními v kartézském souřadnicovém systému.,

Rational numbers Edit

je pravděpodobné, že pojem frakční čísla se datuje do pravěku. Staří Egypťané používali jejich egyptský zlomek notaci pro racionální čísla v matematických textech, jako je Rhind matematický Papyrus a Kahun Papyrus. Klasické řecké a indické matematici provedli studie teorie racionálních čísel jako součást obecné studie teorie čísel. Nejznámější z nich jsou Euclidovy prvky, které se datují zhruba do roku 300 př.n. l., Z indických textů je nejdůležitější Sthananga Sutra, která také pokrývá teorii čísel jako součást obecného studia matematiky.

koncept desetinných zlomků je úzce spojen s notací desetinné místo-hodnota; zdá se, že se oba vyvinuli v tandemu. Například je běžné, že Jain math sutra zahrnuje výpočty aproximací desetinných zlomků na pi nebo druhou odmocninu 2. Podobně Babylonské matematické texty používaly sexagesimální (základní 60) frakce s velkou frekvencí.,

Iracionální čísla Upravit

nejstarší známé použití iracionálních čísel byl v Indickém Sulba Sútry složený mezi 800 a 500 před naším LETOPOČTEM. První důkaz existence iracionálních čísel je obvykle připisován Pythagorasovi, konkrétněji Pythagorskému Hippasovi z Metapontumu, který vytvořil (s největší pravděpodobností geometrický) důkaz iracionality druhé odmocniny z 2. Příběh pokračuje, že Hippasus objevil iracionální čísla, když se snažil reprezentovat druhou odmocninu 2 jako zlomek., Pythagoras však věřil v absolutnost čísel a nemohl přijmout existenci iracionálních čísel. Nemohl vyvrátit jejich existenci logikou, ale nemohl přijmout iracionální čísla, a tak, údajně a často uváděný, odsoudil Hippasuse k smrti utopením, aby zabránil šíření této znepokojující zprávy.

16. století přineslo konečné Evropské přijetí negativních integrálních a zlomkových čísel. Do 17. století matematici obecně používali desetinné zlomky s moderní notací., To nebylo, nicméně, až do 19. století, že matematici odděleny irrationals do algebraické a transcendentní části, a ještě jednou se ujal vědecké studie irrationals. To zůstalo téměř spící, protože Euclid. V roce 1872 vznikla publikace teorií Karla Weierstrasse (jeho žáka e.Kossaka), Eduarda Heina, Georga Cantora a Richarda Dedekinda. V 1869, Charles Méray vzal stejný výchozí bod jako Heine, ale teorie je obecně odkazoval se na rok 1872., Weierstrass metoda byla zcela stanovené Salvatore Pincherle (1880), a Dedekind obdržel další výtečnosti přes autorovu pozdější práci (1888) a potvrzení Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor a Heine zakládají své teorie na nekonečných sériích, zatímco Dedekind zakládá jeho na myšlence řezu (Schnitt) v systému reálných čísel, oddělující všechna racionální čísla do dvou skupin, které mají určité charakteristické vlastnosti. Předmět obdržel pozdější příspěvky z rukou Weierstrasse, Kroneckera a Méraye.,

hledání kořenů kvintických a vyšších stupňových rovnic bylo důležitým vývojem, Abel–Ruffiniho věta (Ruffini 1799, Abel 1824) ukázala, že je nelze vyřešit radikály (vzorce zahrnující pouze aritmetické operace a kořeny). Proto bylo nutné zvážit širší soubor algebraických čísel (všechna řešení polynomiálních rovnic). Osnova (1832) propojené polynomiální rovnice do teorie grup, což vede k oblasti Galois teorie.,

Pokračovat frakce, úzce souvisí s iracionální čísla (a vzhledem k Cataldi, 1613), získal pozornost na rukou Euler, a při otevření 19. století byly přivezeny do popředí přes spisy Joseph Louis Lagrange. Další pozoruhodné příspěvky byly provedeny Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), a Günther (1872). Ramus první připojený objekt s determinanty, což, s následným příspěvky Heine, Möbius, a Günther, v teorii Kettenbruchdeterminanten.,

transcendentální čísla a reals Edit

existence transcendentálních čísel byla poprvé založena Liouvillem (1844, 1851). Hermite v roce 1873 dokázal, že E je transcendentální a Lindemann v roce 1882 dokázal, že π je transcendentální. Konečně, Cantor ukázal, že soubor všech reálných čísel je neuvěřitelně nekonečný, ale soubor všech algebraických čísel je počítatelně nekonečný, takže existuje nekonečný počet transcendentálních čísel.,

Nekonečno a drobnosti Upravit

nejstarší známé pojetí matematické nekonečno objeví v Yajur Vedě, starověké Indické skript, který na jednom místě uvádí, „Pokud jste odstranit část z nekonečna nebo přidání součástí do nekonečna, co stále zůstává, je nekonečno.“Nekonečno bylo oblíbeným tématem filozofického studia mezi matematiky Jain c. 400 . Rozlišovali mezi pěti typy nekonečna: nekonečný V jednom a dvou směrech, nekonečný v oblasti, nekonečný všude a nekonečný neustále.,

Aristoteles definoval tradiční západní pojem matematické nekonečnosti. Rozlišoval mezi skutečným nekonečnem a potenciálním nekonečnem—obecnou shodou je, že pouze ten druhý měl skutečnou hodnotu. Dvě nové vědy Galileo Galilei diskutovaly o myšlence vzájemných korespondencí mezi nekonečnými množinami. Další velký pokrok v teorii však učinil Georg Cantor; v roce 1895 vydal knihu o své nové teorii množin, mimo jiné představil transfinitní čísla a formuloval hypotézu kontinua.,

V roce 1960, Abraham Robinson ukázal, jak nekonečně velkých a nekonečně malých čísel může být přesně definovány a použity na rozvoj oblasti nestandardní analýzy. Systém hyperreal čísla představuje přísnou metodu léčení představy o nekonečné a nekonečně čísel, které byly použity nedbale tím, matematiků, vědců a inženýrů, někdy od vynálezu infinitezimální kalkul tím, že Newton a Leibniz.,

moderní geometrická verze nekonečna je dána projektivní geometrií, která zavádí „ideální body v nekonečnu“, jednu pro každý prostorový směr. Každá rodina rovnoběžných čar v daném směru je postulována, aby se sblížila s odpovídajícím ideálním bodem. To úzce souvisí s myšlenkou mizejících bodů v perspektivním kreslení.,

komplexní čísla Edit

nejstarší letmý odkaz na čtvercové kořeny negativních čísel se objevil v práci matematika a vynálezce Heron Alexandrie v 1.století našeho letopočtu, když zvažoval objem nemožného frustrace pyramidy. Oni stali se více prominentní, když v 16. století uzavřené vzorce pro kořeny třetího a čtvrtého stupně polynomů byly objeveny italsky matematici jako Niccolò Fontana Tartaglia a Gerolamo Cardano., Brzy bylo zjištěno, že tyto vzorce, i když se člověk zajímal pouze o skutečná řešení, někdy vyžadovaly manipulaci se čtvercovými kořeny negativních čísel.

to bylo dvojnásob znepokojující, protože v té době ani nepovažovali záporná čísla za pevná. Když René Descartes v roce 1637 pro tyto veličiny vytvořil termín „imaginární“, považoval to za hanlivé. (Viz imaginární číslo pro diskusi o „realitě“ složitých čísel.,) Dalším zdrojem zmatku bylo, že rovnice

( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}

zdálo svévolně v rozporu s algebraické identity,

b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}

, který je platný pro kladná reálná čísla a, b, a byl také použit v komplexní číslo výpočty s jedním a, b pozitivní a druhý negativní., Nesprávné použití této identity a související identita

1 a = 1 A {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

v případě, kdy jsou a i b záporné, dokonce i Euler. Tato obtíž ho nakonec vedla k Úmluvě o použití speciálního symbolu i namísto − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}}, aby se ochránil před touto chybou.

18. století vidělo dílo Abrahama de Moivre a Leonharda Eulera., De Moivre je vzorec (1730) uvádí:

( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin\theta }

zatímco Eulerova vzorce komplexní analýzy (1748) nám dal:

cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e θ . {\displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta =e^{i \ theta }.}

existence komplexních čísel nebyla zcela přijata, dokud Caspar Wessel popsal geometrickou interpretaci v roce 1799., Carl Friedrich Gauss znovuobjevil a popularizoval ji o několik let později a v důsledku toho teorie složitých čísel získala pozoruhodnou expanzi. Myšlenka grafického znázornění komplexních čísel se však objevila již v roce 1685 ve wallisově de algebře tractatus.

také v roce 1799 poskytl Gauss první obecně uznávaný důkaz základní věty algebry, což ukazuje, že každý polynom nad komplexními čísly má v této oblasti úplnou sadu řešení., Obecné přijetí teorie komplexních čísel je způsobeno prací Augustina Louise Cauchyho a Nielse Henrika Abela, a zejména toho druhého, který jako první odvážně používal složitá čísla s úspěchem, který je dobře známý.

Gauss studoval komplexní čísla formy a + bi, kde a A b jsou integrální nebo racionální (a já je jedním ze dvou kořenů x2 + 1 = 0). Jeho student, Gotthold Eisenstein, studoval typ a + bw, kde ω je komplexní kořen x3-1 = 0., Jiné takové třídy (nazývané cyklotomické pole) komplexních čísel pocházejí z kořenů jednoty xk − 1 = 0 pro vyšší hodnoty k. Tato zobecnění je do značné míry způsobena Ernstem Kummerem, který také vynalezl ideální čísla, která Felix Klein v roce 1893 vyjádřil jako geometrické entity.

v roce 1850 Victor Alexandre Puiseux učinil klíčový krok rozlišování mezi póly a body větví a představil koncept základních singulárních bodů. To nakonec vedlo k koncepci rozšířené komplexní roviny.,

Prime numbers Edit

Prime numbers byly studovány v celé zaznamenané historii. Euclid věnoval jednu knihu z Prvků teorie prvočísel; v něm ukázal, že nekonečnost prvočísel a základní věta aritmetiky, a představil Euklidovský algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.

v roce 240 Eratosthenes použil síto Eratosthenes k rychlé izolaci prvočísel. Ale většina dalšího vývoje teorie prvočísel v Evropě se datuje do renesance a později éry.,

v roce 1796 Adrien-Marie Legendre domýšlel prvočíselnou větu, popisující asymptotické rozdělení prvočísel. Mezi další výsledky týkající se rozdělení prvočísel patří Eulerův důkaz, že součet vzájemných prvočísel se liší, a goldbachova domněnka, která tvrdí, že jakýkoli dostatečně velký sudý počet je součtem dvou prvočísel. Další domněnkou související s distribucí prvočísel je Riemannova hypotéza, formulovaná Bernhardem Riemannem v roce 1859., Prvočíselná věta byla nakonec prokázána Jacquesem Hadamardem a Charlesem de la Vallée-Poussinem v roce 1896. Goldbach a Riemannovy domněnky zůstávají neprokázané a nerefované.